Đề kiểm tra Phương trình mặt phẳng lớp 12 (có lời giải) - Đề 3

Ta có $\frac{x}{1} + \frac{y}{{ - 2}} + \frac{z}{3} = 1$ hay $\left( P \right):6x - 3y + 2z - 6 = 0$.

Do đó $d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {6 + 3 - 4 - 6} \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {3^2} + {2^2}} }} = \frac{1}{7}$.

Lấy $A\left( {1;1;3} \right) \in \left( P \right)$.

Do $\left( P \right)$ song song với $\left( Q \right)$ nên ta có $d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = d\left( {A,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 2.1 - 2.3 - 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{4}{3}$

${\overrightarrow n _{\left( P \right)}} = \left( {2; - 3;1} \right);{\overrightarrow n _{\left( Q \right)}} = \left( {5; - 3; - 2} \right) \Rightarrow {\overrightarrow n _{\left( P \right)}} \ne k.{\overrightarrow n _{\left( Q \right)}}\left( {k \ne 0} \right)$.

${\overrightarrow n _{\left( P \right)}}.{\overrightarrow n _{\left( Q \right)}} \ne 0$.

Vậy vị trí tương đối của $\left( P \right)\& \left( Q \right)$ là cắt nhưng không vuông góc.

Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow n _\alpha } = \left( {7\,;\, - 3\,;\,m} \right)$.

Mặt phẳng $\left( \beta \right)$ có vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow n _\beta } = \left( {1\,;\, - 3\,;\,4} \right)$.

$\left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right)$$\Leftrightarrow$${\overrightarrow n _\alpha }.{\overrightarrow n _\beta } = 0$$\Leftrightarrow 7 + 9 + 4m = 0$$\Leftrightarrow m = - 4$.

Gọi $M = Oy \cap \left( P \right)$$\Rightarrow M\left( {0;\;b;\;0} \right)$. $M \in \left( P \right)$$\Rightarrow 3b - 12 = 0$$\Leftrightarrow b = 4$.

Vậy $M\left( {0;\;4;\;0} \right)$.

Mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$nhận vectơ đơn vị $\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)$ là vectơ pháp tuyến

Mặt phẳng đi qua điểm $A\left( {2; - 3;1} \right)$và song song với mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$cũng nhận vectơ $\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)$ là vectơ pháp tuyến nên có phương trình: $0.\left( {x - 2} \right) + 0.\left( {y + 3} \right) + 1.\left( {z - 1} \right) = 0$$\Rightarrow$$z = 1$

Phương trình của mặt phẳng đi qua $M$ và song song với mặt phẳng $\left( P \right)$ là

$3\left( {x - 2} \right) - 2\left( {y + 1} \right) + \left( {z - 4} \right) = 0$$\Leftrightarrow 3x - 2y + z - 12 = 0$.

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 4;5; - 1} \right),\overrightarrow {CD} = \left( { - 1;0;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\,\overrightarrow {CD} } \right] = \left( {10;9;5} \right)$

Ta có mp $\left( P \right)$ đi qua $A\left( {5;1;3} \right)$ và nhận $\overrightarrow n = \left( {10;9;5} \right)$làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình

$$10\left( {x - 5} \right) + 9\left( {y - 1} \right) + 5\left( {z - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 10x + 9y + 5z - 74 = 0.$$

+ Ta có: $\overrightarrow {AB} \, = \,\left( {2; - 3; - 1} \right)$; $\overrightarrow {AC} \, = \,\left( { - 2;0; - 2} \right)$.

$[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]=\ (|\begin{matrix}-3 & -1 \\ 0 & -2\end{matrix}|;\ |\begin{matrix}-1 & 2 \\ -2 & -2\end{matrix}|;\ |\begin{matrix}2 & -3 \\ -2 & 0\end{matrix}|\ )\ =\ (6;\ 6;\ -6)\ .$ Suy ra $\overrightarrow n \left( {1\,;\,1\,;1} \right)$không là vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$. Nên a) sai

+ Chọn $\overrightarrow {n\,} \, = \frac{1}{6}\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \,\left( {1;\,1;\, - 1} \right)$ là một VTPT của $\left( P \right)$. Ta có pt $\left( P \right)$là:

$x\, + \,y - 1\, - z\, + 2\, = \,0 \Leftrightarrow x\, + \,y\, - \,z\, + \,1\, = \,0$. Suy ra b) đúng

+ $\left( P \right)$cắt trục $Ox$tại điểm $M\left( { - 1;0;0} \right).$Suy ra c) đúng.

+ Thay tọa độ điểm $N\left( {1; - 2;0} \right)$vào phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ta có $1\, - 2 - 0\, + \,1\, = \,0$nên d) đún

+ Gọi $A,B,C$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm $M\left( {1\,;\,2\,;\,3} \right)$ lên $Ox,Oy,Oz$.

Suy ra: $A\left( {1\,;\,0\,;\,0} \right),B\left( {0\,;\,2\,;\,0} \right),C\left( {0\,;\,0\,;\,3} \right)$.

+ Vậy phương trình mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$theo đoạn chắn là $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1 \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 6 = 0$.

+ Từ đó ta có a) đúng và b) sai

+ Thay tọa độ điểm $M\left( {3;0; - 2} \right)$vào phương trình $6x + 3y + 2z - 6 = 0$ta có $6.3 + 3.0 + 2.( - 2) - 6 = 8 \ne 0$nên điểm $M\left( {3;0; - 2} \right)$không thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$. Suy ra c) sai.

+ Ta có $d\left( {O,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 6} \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {3^2} + {2^2}} }} = \frac{6}{7}.$ Suy ra d) đúng

+ Mặt phẳng $\left( P \right)$ có 1 véctơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_p}} = (1;\,1;\,1)$. Véc tơ $\overrightarrow {AB} = (1;\,2;\, - 1)$.

+ Gọi $\overrightarrow n$ là một véc tơ pháp tuyến của $\left( Q \right)$, do $\left( Q \right)$vuông góc với $\left( P \right)$ nên $\overrightarrow n$có giá vuông góc với $\overrightarrow {{n_p}}$, mặt khác véc tơ $\overrightarrow {AB}$ có giá nằm trong mặt phẳng $\left( Q \right)$ nên $\overrightarrow n$ cũng vuông góc với $\overrightarrow {AB}$

+ Mà ${\overrightarrow n _p}$ và $\overrightarrow {AB}$ không cùng phương nên ta có thể chọn $\overrightarrow n$=$\left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( { - 3;2;1} \right)$ suy ra $\left( {3\,; - 2\,; - 1} \right)$cũng là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( Q \right)$nên a) đúng

+ Mặt khác $\left( Q \right)$đi qua $A\left( {1; - 1;2} \right)$ nên phương trình của mặt phẳng $\left( Q \right)$ là: $- 3\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y + 1} \right) + 1(z - 2) = 0 \Leftrightarrow 3x - 2y - z - 3 = 0$. Suy ra b) sai

+ Thay tọa độ điểm $M\left( {3;1;2} \right)$vào phương trình $3x - 2y - z - 3 = 0$ta có $3.3 - 2.1 - 2 - 3 = 2 \ne 0$nên điểm $M\left( {3;1;2} \right)$không thuộc mặt phẳng $\left( Q \right)$. Suy ra c) đúng.

+ Ta có $\frac{3}{6} = \frac{{ - 2}}{{ - 4}} = \frac{{ - 1}}{{ - 2}} = \frac{{ - 3}}{{ - 6}}$ nên $\left( P \right) \equiv \left( Q \right).$ Vậy d) sai

Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ vuông góc với hai mặt phẳng: $\left( P \right):\;x + y + z + 2 = 0;\;\left( Q \right):\;2x - y + z - 4 = 0$nên có cặp vectơ chỉ phương: $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;1;1} \right)$ và $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2; - 1;1} \right)$.

Do đó mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có vectơ pháp tuyến: $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} } \right] = \left( {2;1; - 3} \right)$.

Phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là: $2\left( {x - 1} \right) + \left( {y - 2} \right) - 3\left( {z + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - 3z - 13 = 0$.

Do $2.2 + 0 - 3.0 - 13 \ne 0 \Rightarrow B \notin \left( \alpha \right).$

Dễ thấy, mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ song song với mặt phẳng $\left( \beta \right):\;4x + 2y - 6z - 3 = 0$.

Trục $Ox$chứa điểm $O\left( {0\,;\,0\,;\,0} \right)$ và điểm $B\left( {1\,;\,0\,;\,0} \right)$.

Do mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $A\left( {1\,;\,2\,;\, - 3} \right)$ và chứa trục $Ox$ nên mặt phẳng $\left( P \right)$ có cặp vectơ chỉ phương:

$\begin{array}{l}\overrightarrow {OA} = \left( {1\,;\,2\,;\, - 3} \right)\\\overrightarrow {OB} = \left( {1\,;\,0\,;\,0} \right)\end{array}$

Do đó mặt phẳng $\left( P \right)$ có vectơ pháp tuyến: $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow {OB} } \right] = \left( {0\,;\, - 3\,;\, - 2} \right)$.

Phương trình mặt phẳng là: $0\left( {x - 0} \right) - 3\left( {y - 0} \right) - 2\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow 3y + 2z = 0.$

Vậy $2a + 3c - d = 6$.

Do mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ song song với mặt phẳng $\left( P \right):\;x - 2y + 2z - 15 = 0$ nên phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có dạng $x - 2y + 2z + d = 0$.

Ta có:

$$\begin{array}{l}{d_{\left( {A;\left( \alpha \right)} \right)}} = \frac{{\left| {2 - 2.1 + 2.1 + d} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{{\left| {2 + d} \right|}}{3} = 5\\ \Rightarrow \left| {2 + d} \right| = 15\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}d = 13\\d = - 17\end{array} \right..\end{array}$$

Do $d > 0 \Rightarrow d = 13$

Phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là: $x - 2y + 2z + 13 = 0$.

Vậy $a + b - 2d = 1 - 2 - 2.13 = - 27$.

Do mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ song song với mặt phẳng $\left( P \right):\;x - 3y + 4z + 5 = 0$ nên phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có dạng $\;x - 3y + 4z + d = 0$.

Ta có:

$$\begin{array}{l}{d_{\left( {A;\left( \alpha \right)} \right)}} = {d_{\left( {B;\left( \alpha \right)} \right)}}\\\frac{{\left| {3 - 3.\left( { - 1} \right) + 4.2 + d} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {4^2}} }} = \frac{{\left| {2 - 3.0 + 4.\left( { - 1} \right) + d} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {4^2}} }}\\ \Leftrightarrow \left| {14 + d} \right| = \left| {d - 2} \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}14 + d = d - 2\\14 + d = 2 - d\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow d = - 6.\end{array}$$

Phương trình mặt phẳng là: $\;x - 3y + 4z - 6 = 0$.

Vậy $b + 2c + 3d = - 3 + 2.4 + 3\left( { - 6} \right) = - 13$.

Phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có dạng: $ax + by + cz + d = 0$.

Do $C \in \left( \alpha \right) \Rightarrow 2a + b + d = 0 \Rightarrow d = - 2a - b\quad \left( 1 \right)$.

Do $D \in \left( \alpha \right) \Rightarrow a + 4b + c + d = 0 \Rightarrow c = - a - 4b - d = - a - 4b + 2a + b = a - 3b\quad \left( 2 \right)$

Ta có:

$$\begin{array}{l}{d_{\left( {A;\left( \alpha \right)} \right)}} = {d_{\left( {B;\left( \alpha \right)} \right)}}\\\frac{{\left| {1 + c.2 + d} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \frac{{\left| {1 + 2b - 3c + d} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {b^2} + {c^2}} }} \Leftrightarrow \left| {2c + d + 1} \right| = \left| {2b - 3c + d + 1} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {2 - 6b - 2 - b + 1} \right| = \left| {2b - 3 + 9b - 2 - b + 1} \right| \Leftrightarrow \left| {1 - 7b} \right| = \left| {10b - 4} \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 - 7b = 10b - 4\\1 - 7b = 4 - 10b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = \frac{{17}}{5}\quad (l)\\b = 1{\kern 1pt} \quad (tm)\end{array} \right..\end{array}$$

Với $b = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = - 2\\d = - 3\end{array} \right.$.

Phương trình mặt phẳng là: $\;x + y - 2z - 3 = 0$.

Vậy $5b + c + d = 5.1 - 2 - 3 = 0$.

Trong hệ trục tọa độ như hình vẽ ta có

$B(3;0;0);\;C(3;3;0);\;S(0;0;3)$.

Mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ có cặp vectơ chỉ phương $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {SB} = \left( { - 3;0;3} \right)\\\overrightarrow {SC} = \left( { - 3; - 3;3} \right)\end{array} \right.$.

Do đó, mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {SB} ;\overrightarrow {SC} } \right] = \left( {9;0;9} \right)$.

Phương trình mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ là: $9\left( {x - 3} \right) + 9\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x + z - 3 = 0$.

Vậy ${b^2} + {c^2} + {d^2} = {0^2} + {1^2} + {\left( { - 3} \right)^2}.$

Trong hệ trục tọa độ như hình vẽ ta có

$A(0;0;0);\;C(2;2;0);\;D\left( {0;2;0} \right);\;S(0;0;3)$.

Mặt phẳng $\left( {SCD} \right)$ có cặp vectơ chỉ phương $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {SC} = \left( { - 2; - 2;3} \right)\\\overrightarrow {SD} = \left( {0; - 2;3} \right)\end{array} \right.$.

Do đó, mặt phẳng $\left( {SCD} \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {SC} ;\overrightarrow {SD} } \right] = \left( {0;6;4} \right)$.

Phương trình mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ là: $0\left( {x - 0} \right) + 6\left( {y - 0} \right) + 4\left( {z - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 3y + 2z - 6 = 0$.

Vậy ${d_{\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right)}} = \frac{{\left| {3.0 + 2.0 - 6} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2}} }} = \frac{{6\sqrt {13} }}{{13}}$.