Đề kiểm tra Phương trình mặt phẳng lớp 12 (có lời giải) - Đề 2

Áp dụng công thức tính tích có hướng trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ ta được:

$\overrightarrow c = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( {2; - 6; - 1} \right)$.

Gọi $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$. Suy ra $I\left( {1;1;1} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {4; - 2;2} \right)$.

Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ đi qua trung điểm $I$ của $AB$ và nhận $\overrightarrow {AB}$ làm vtpt, nên có phương trình là $\left( \alpha \right):2x - y + z - 2 = 0$.

$$\overrightarrow {AB} = ( - 4;6;2) = - 2(2; - 3; - 1)$$

$\left( P \right)$ đi qua $A\left( {5; - 4;2} \right)$ nhận $\overrightarrow n = (2; - 3; - 1)$ làm VTPT

Do đó, phương trình mặt phẳng $\left( P \right):$ $2\left( {x - 5} \right) - 3\left( {y + 4} \right) - 1\left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - 3y - z - 20 = 0$

Ta có $\overrightarrow {BC} = \left( { - 1; - 2;2} \right)$ là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$ cần tìm.

$\overrightarrow n = - \overrightarrow {BC} = \left( {1;2; - 2} \right)$ cũng là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$.

Vậy phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$là $x + 2y - 2z + 1 = 0$.

Phương trình của mặt phẳng đi qua $M$ và song song với mặt phẳng $\left( P \right)$ là

$3\left( {x - 2} \right) - 2\left( {y + 1} \right) + \left( {z - 4} \right) = 0$$\Leftrightarrow 3x - 2y + z - 12 = 0$.

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 6;3;1} \right)$.

$\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} = \left( {3;1;1} \right)$ là VTPT của mp$\left( Q \right)$.

Mp$\left( P \right)$ chứa hai điểm $A\left( {3;2;1} \right)$, $B\left( { - 3;5;2} \right)$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( Q \right)$.

$\Rightarrow \overrightarrow {{n_{\left( p \right)}}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} } \right] = \left( {2;9; - 15} \right)$ là VTPT của mp$\left( P \right)$

Vì $A\left( {3;2;1} \right) \in \left( P \right)$ $\Rightarrow \left( P \right):2x + 9y - 15z - 9 = 0$ hoặc $\left( P \right): - 2x - 9y + 15z + 9 = 0$

Mặt khác $\left( P \right):ax + by + cz - 9 = 0$$\Rightarrow a = 2;b = 9;c = - 15$.

Vậy $S = a + b + c = 2 + 9 + \left( { - 15} \right) = - 4$.

Ta có $M \in Oy\, \Rightarrow \,M\left( {0;\,y;\,0} \right)$.

Theo giả thiết: $d\left( {M\left( P \right)} \right) = d\left( {M\left( Q \right)} \right)\,\, \Leftrightarrow \,\,\frac{{\left| {y + 1} \right|}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{\left| { - y - 5} \right|}}{{\sqrt 3 }}\,\, \Leftrightarrow \,y = - 3$.

Vậy $M\left( {0;\, - 3;\,0} \right)$.

Gọi mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ cần tìm.

Vì $\left( \alpha \right){\rm{//}}\left( \beta \right)$ nên phương trình $\left( \alpha \right)$ có dạng : $x + y - z + c = 0$ với $c \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}$.

Lấy điểm $I\left( { - 1; - 1;1} \right) \in \left( \beta \right)$.

Vì khoảng cách từ $\left( \alpha \right)$ đến $\left( \beta \right)$ bằng $\sqrt 3$ nên ta có :

$d\left( {I,\left( \alpha \right)} \right) = \sqrt 3 \Leftrightarrow \frac{{\left| { - 1 - 1 - 1 + c} \right|}}{{\sqrt 3 }} = \sqrt 3$$\Leftrightarrow \frac{{\left| {c - 3} \right|}}{{\sqrt 3 }} = \sqrt 3$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 0\\c = 6\end{array} \right.$. (thỏa điều kiện $c \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}$).

Vậy phương trình $\left( \alpha \right)$ là: $x + y - z + 6 = 0$; $x + y - z = 0$.

a) Đúng.

$$\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A}} \right) = \left( {0;1;1} \right)$$

b) Đúng.

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {0;1;1} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {3;0; - 1} \right)$

$$\overrightarrow a = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 1;3; - 3} \right)$$

c) Sai.

Ta có: $\overrightarrow {BC} = \left( {3; - 1; - 2} \right)$

Do đó $\overrightarrow b = 2\overrightarrow {BC}$ nên $\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow b$ là hai vectơ cùng phương. Do đó $\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow b$ không phải là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$.

d) Sai

Mặt phẳng $\left( {AOB} \right)$ có cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow {OA} = \left( {1;1;1} \right),\overrightarrow {OB} = \left( {1;2;2} \right)$ nên có vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right] = \left( {0; - 1;1} \right)$.

a) Đúng

$$\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A}} \right) = \left( {3;3;3} \right)$$

b) Đúng

Hai vectơ $\overrightarrow {AB} = \left( {3;3;3} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {1;5;2} \right)$ không cùng phương nên 3 điểm $A,B,C$ không thẳng hàng.

c) Đúng

Mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ có cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow {AB} = \left( {3;3;3} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {1;5;2} \right)$ nên có vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow b = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 9; - 3;12} \right)$. Do đó $\overrightarrow a = \left( {3;1; - 4} \right)$ cũng là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$.

d) Sai.

Vectơ $\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right)$ có giá song song mặt phẳng $\left( \alpha \right)$; vectơ $\overrightarrow {BC} = \left( { - 2;2; - 1} \right)$ có giá song song mặt phẳng $\left( \alpha \right)$. Hai vectơ $\overrightarrow j ,\overrightarrow {BC}$ không cùng phương.

Do đó: mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right),\overrightarrow {BC} = \left( { - 2;2; - 1} \right)$ nên mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow j ,\overrightarrow {BC} } \right] = \left( { - 1;0;2} \right)$.

a) Sai.

Ta có: $\overrightarrow {AB} \left( {0; - 2;2} \right),\overrightarrow {BC} \left( {1;1;1} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right] = \left( { - 4;2;2} \right) = 2\left( { - 2;1;1} \right) = 2.\overrightarrow n$

Mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ có một véctơ pháp tuyến: $\overrightarrow n \left( { - 2;1;1} \right).$

b) Đúng

Phương trình mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$: $- 2\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - 2} \right) + 1\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow - 2x + y + z = 0$.

Thay toạ độ điểm $M\left( {3;1;5} \right)$ vào phương trình mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$: $- 2.3 + 1 + 5 = 0$: thoả mãn.

c) Sai.

Ta có vecto pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$: $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 1;2} \right)$.

$\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow n = - 2.1 - 1.1 + 1.2 = - 1 \ne 0 \Rightarrow$ Mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ không vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$.

d) Sai.

$d\left( {A;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 - 2 + 2.0 + 7} \right|}}{{\sqrt {1 + 1 + 4} }} = \sqrt 6 .$

a) Đúng

Theo phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn ta có mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ có phương trình $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

b) Sai

Vì $G$ là trọng tâm $\Delta ABC$ ta có $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{\frac{a}{3} = 1}\\{\frac{b}{3} = 2}\\{\frac{c}{3} = 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{a = 3}\\{b = 6}\\{c = 9}\end{array}} \right.$

Mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ có phương trình $\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{9} = 1 \Leftrightarrow$$6x + 3y + 2z - 18 = 0$

c) Đúng

Vì $H\left( {1;1;1} \right)$ là trực tâm $\Delta ABC$ ta có $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{H \in \left( {ABC} \right)}\\{\overrightarrow {HA} .\overrightarrow {BC} = 0}\\{\overrightarrow {HB} .\overrightarrow {AC} = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1}\\{ - b + c = 0}\\{a - c = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{a = 3}\\{b = 3}\\{c = 3}\end{array}} \right.$

Phương trình $\left( {ABC} \right)$là: $x + y + z - 3 = 0$

d) Đúng

Giả sử mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ cắt tia $Ox$ tại điểm có hoành độ bằng $a$ $\left( {a > 0} \right)$ khi đó phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có dạng $\frac{x}{a} + \frac{y}{{a + 2}} + \frac{z}{{a + 4}} = 1$.

Do $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm $M\left( {2; - 2;3} \right)$ nên ta có $\frac{2}{a} + \frac{{ - 2}}{{a + 2}} + \frac{3}{{a + 4}} = 1$$\Leftrightarrow a = 2$.

Vậy $\left( \alpha \right)$ cắt $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại $A\left( {2;0;0} \right)$, $B\left( {0;4;0} \right)$,$C\left( {0;0;6} \right)$.

Gọi $d = d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right)$.

Áp dụng công thức tính nhanh ta có $\frac{1}{{{d^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}} = \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + \frac{1}{{{6^2}}} = \frac{{49}}{{144}}$$\Rightarrow {d^2} = \frac{{144}}{{49}} \Rightarrow d = \frac{{12}}{7}$.

Vậy: $T = m + n = 19$.

Chọn điểm $I$ thỏa mãn $\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \Rightarrow I\left( {2;1;1} \right)$

Ta có:

$\begin{array}{l}T = M{A^2} + M{B^2} + 3M{C^2}\\\,\,\,\,\, = {\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} + 3{\overrightarrow {MC} ^2}\\\,\,\,\,\, = {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2} + 3{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right)^2}\\\,\,\,\,\, = 5M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} .\left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} } \right) + I{A^2} + I{B^2} + I{C^2}\\\,\,\,\,\, = 5M{I^2} + I{A^2} + I{B^2} + I{C^2}\end{array}$

${T_{\min }} \Leftrightarrow M{I_{\min }}$

Suy ra, $M$ là hình chiếu của $I$ trên mặt phẳng $\left( P \right)$

Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua $I$ và vuông góc với $\left( P \right)$

$\Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }} = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {3;3; - 2} \right)$

$\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = 1 + 3t\\z = 1 - 2t\end{array} \right.$

$M \in \Delta \Rightarrow M\left( {2 + 3t;1 + 3t;1 - 2t} \right)$

$\begin{array}{l}M \in \left( P \right) \Leftrightarrow 3\left( {2 + 3t} \right) + 3\left( {1 + 3t} \right) - 2\left( {1 - 2t} \right) - 29 = 0\\ \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow M\left( {5;4; - 1} \right)\end{array}$

Vậy $a + b + c = 5 + 4 - 1 = 8$.

Phương trình mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là: $\frac{x}{2} + \frac{y}{4} + \frac{z}{6} = 1 \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 12 = 0$

Mặt phẳng $\left( P \right)$ song song với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ nên $\left( P \right)$có dạng:$6x + 3y + 2z + d = 0{\rm{ }}\left( {d \ne - 12} \right)$

Vì $\left( P \right)$ cách đều $D$ và mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ nên ta có:$d\left( {D;\left( P \right)} \right) = d\left( {\left( {ABC} \right);\left( P \right)} \right) \Leftrightarrow d\left( {D;\left( P \right)} \right) = d\left( {A;\left( P \right)} \right)$$\Leftrightarrow \left| {36 + d} \right| = \left| {12 + d} \right| \Leftrightarrow d = - 24$.

Vậy phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là: $6x + 3y + 2z - 24 = 0$

Gọi $I\left( {a;b;c} \right)$, sao cho $\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0$ $\Rightarrow I$ là trong tâm $\Delta ABC$$\Rightarrow$ $I\left( {1;1; - 1} \right)$.

Ta có: $\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MA}$

$= \left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right).\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right) + \left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right).\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right) + \left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right).\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)$

$= 3M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} } \right) + \left( {\overrightarrow {IA} .\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IB} .\overrightarrow {IC} + \overrightarrow {IC} .\overrightarrow {IA} } \right)$, (mà $\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0$)

$= 3M{I^2} + \left( {\overrightarrow {IA} .\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IB} .\overrightarrow {IC} + \overrightarrow {IC} .\overrightarrow {IA} } \right)$

Vì điểm $I,A,B,C$ cố định nên $\overrightarrow {IA} .\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IB} .\overrightarrow {IC} + \overrightarrow {IC} .\overrightarrow {IA}$ có giá trị không đổi.

Để $\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MA}$ có giá trị min $\Leftrightarrow MI$ min.

Mà $I$ cố định nên $M$ là hình chiếu của $I$ lên$\left( {Oyz} \right)$, suy ra $M\left( {0;1; - 1} \right)$.

Vậy $a - 2b + c = 0 - 2.1 - 1 = - 3$.

Gọi $A,B,C$ là các điểm như hình vẽ bên dưới và $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên mặt phẳng $\left( P \right)$.

Hình vẽ

Theo đề $\widehat {BAC} = 116^\circ \Rightarrow \widehat {BAH} = 58^\circ$.

Khi đó $AH = {\rm{d}}\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2 \cdot 2 - 1 - 2 \cdot 5 + 13} \right|}}{{\sqrt {4 + 1 + 4} }} = 2$ (đvđd).

Xét tam giác $ABH$ vuông tại $H$, ta có:

$\tan \widehat {BAH} = \frac{{BH}}{{AH}} \Rightarrow BH = \tan 58^\circ \cdot 2 = 2\tan 58^\circ$ (đvđd).

Suy ra $BC = 2BH = 2 \cdot 2\tan 58^\circ \approx 6{,}4$(đvđd)

Vậy vùng quan sát của camera trên mặt phẳng $\left( P \right)$ là hình tròn có đường kính khoảng $6{,}4$ (đvđd).

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho: $O \equiv A$, tia $Ox \equiv AD$; tia $Oy \equiv AB$.

Khi đó, $A\left( {0;\,0;\,0} \right)$; $B\left( {0;\,2500;\,0} \right)$; $C\left( {1800;\,2500;\,0} \right)$;$D\left( {1500;\,0;\,0} \right)$.

Khi hạ độ cao các điểm ở các điểm $B$, $C$, $D$ xuống thấp hơn so với độ cao ở $A$ là $10\,{\rm{cm}}$, $a\,{\rm{cm}}$, $6\,{\rm{cm}}$ tương ứng ta có các điểm mới $B'\left( {0\,;\,2500\,;\, - 10} \right)$; $C'\left( {1800\,;\,2500\,;\, - a} \right)$;$D'\left( {1500\,;\,0\,;\, - 6} \right)$.

Theo bài ra có bốn điểm $A$; $B'$; $C'$; $D'$ đồng phẳng.

Phương trình mặt phẳng $\left( {AB'D'} \right):x + y + 250z = 0$.

Do $C'\left( {1800\,;\,\,2500\,;\, - a} \right) \in \left( {AB'D'} \right)$ nên có: $1800 + 2500 - 250a = 0 \Leftrightarrow a = 17{,}2$.

Vậy $a = 17{,}2\,{\rm{cm}}$.

Chọn hệ trục như hình vẽ. Gọi $M$ là điểm mà quả bóng chạm đất.

Khi đó ${x_M} = 0{,}5$, ${y_M} = \sqrt {4,{5^2} - 0,{5^2}} = 2\sqrt 5$

Vì $\left( \alpha \right) \bot \left( {Oxy} \right)$ nên $\left( \alpha \right)$ có véc tơ chỉ phương $\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)$.

Mà $\left( \alpha \right)$ có véc tơ chỉ phương $\overrightarrow {OM} = \left( {0{,}5;2\sqrt 5 ;0} \right)$

Khi đó véc tơ pháp tuyến của $\left( \alpha \right)$ là $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow k ,\overrightarrow {OM} } \right] = \left( { - 2\sqrt 5 ;0{,}5;0} \right)$.

Vậy $\left( \alpha \right): - 2\sqrt 5 x + 0{,}5y = 0$ nên $a = - 2\sqrt 5 ;b = 0{,}5;c = 0;d = 0 \Rightarrow a + b + c + d \approx - 4{,}5$.