Đề kiểm tra Phương trình mặt phẳng lớp 12 (có lời giải) - Đề 1

w Thay tọa độ điểm $B\left( {4;\,2;\,1} \right)$ vào phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ ta được:

$3.4 - 2.1 + 2 = 0 \Leftrightarrow 12 = 0$ (Vô lí) $\Rightarrow$ Điểm $B \notin \left( P \right)$.

w Thay tọa độ điểm $A\left( {1;\,2;\,4} \right)$ vào phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ ta được:

$3.1 - 2.4 + 2 = 0 \Leftrightarrow - 3 = 0$ (Vô lí) $\Rightarrow$ Điểm $A \notin \left( P \right)$.

w Thay tọa độ điểm $D\left( {2;\,1;\,4} \right)$ vào phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ ta được:

$3.2 - 2.4 + 2 = 0 \Leftrightarrow 0 = 0$ (Thỏa mãn) $\Rightarrow$ Điểm $D \in \left( P \right)$.

w Thay tọa độ điểm $C\left( {2;\,4;\, - 1} \right)$ vào phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ ta được:

$3.2 - 2.\left( { - 1} \right) + 2 = 0 \Leftrightarrow 10 = 0$ (Vô lí) $\Rightarrow$ Điểm $C \notin \left( P \right)$.

Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng chứa điểm $A$ và trục $Oz$.

$Oz$ đi qua điểm $O\left( {0;0;0} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\vec u = \left( {0;0;1} \right)$.

Mặt phẳng $\left( P \right)$ có vectơ pháp tuyến $\vec n = \left[ {\vec u,\overrightarrow {OA} } \right] = \left( { - 2;1;0} \right)$ và đi qua điểm $O\left( {0;0;0} \right)$ nên có phương trình $2x - y = 0$.

Mặt phẳng $\left( P \right):3x - 2y + 4z - 5 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {3; - 2;4} \right)$.

Do $\left( Q \right)$song song với $\left( P \right)$ nên $\left( Q \right)$có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {3; - 2;4} \right)$.

Phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$: $3\left( {x - 2} \right) - 2\left( {y + 1} \right) + 4\left( {z + 3} \right) = 0$$\Leftrightarrow 3x - 2y + 4z + 4 = 0$.

Gọi $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$, suy ra $I\left( {1;\,1;\,2} \right)$.

Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$

$\left( \alpha \right)$ đi qua $I\left( {1;\,1;\,2} \right)$ và nhận $\overrightarrow {AB} = \left( { - 6;\,2;\,2} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến.

Phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là: $- 6\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y - 1} \right) + 2\left( {z - 2} \right) = 0$ $\Leftrightarrow$ $3x - y - z = 0$.

$\left( P \right):2x - y + 3z - 1 = 0$ có vectơ pháp tuyến ${\vec n_{\left( P \right)}} = \left( {2;\, - 1;\,3} \right)$.

$\left( Q \right):y = 0$ có vectơ pháp tuyến ${\vec n_{\left( Q \right)}} = \left( {0;\,1;\,0} \right)$.

Do mặt phẳng $\left( R \right)$ vuông góc với cả hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ nên có vectơ pháp tuyến ${\vec n_{\left( R \right)}} = \left[ {{{\vec n}_{\left( P \right)}},\,{{\vec n}_{\left( Q \right)}}} \right]$ $\Rightarrow {\vec n_{\left( R \right)}} = \left( { - 3;\,0;\,2} \right)$.

Vậy phương trình mặt phẳng $\left( R \right)$ là: $- 3\left( {x - 1} \right) + 0\left( {y - 1} \right) + 2\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x - 2z - 1 = 0$.

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 1; - 1} \right)$, $\overrightarrow {AC} = \left( {2; - 2; - 3} \right)$ suy ra $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {1;1;0} \right)$.

Vì $\overrightarrow {AB}$; $\overrightarrow {AC}$$\subset \left( {ABC} \right)$ nên $\left( {ABC} \right)$ sẽ nhận $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]$ làm một vectơ pháp tuyến.

Hiển nhiên $\left( {ABC} \right)$ đi qua $A\left( {2;3;5} \right)$ nên ta có phương trình của $\left( {ABC} \right)$ là

$1\left( {x - 2} \right) + 1\left( {y - 3} \right) + 0\left( {z - 5} \right) = 0$$\Leftrightarrow x + y - 5 = 0$.

Xét $(P):2x + y + z - 2 = 0$ và $\left( {{Q_1}} \right):\,\,\,\,\,\,x + \frac{1}{2}y - \frac{1}{2}z - 1 = 0$ có $\frac{2}{1} = \frac{1}{{\frac{1}{2}}} \ne \frac{1}{{ - \frac{1}{2}}} \Rightarrow \left( P \right)$không song

song với $\left( {{Q_1}} \right)$.

Xét $(P):2x + y + z - 2 = 0$ và $\left( {{Q_2}} \right):\,\,\,x - y - z - 2 = 0$ có $\frac{2}{1} \ne \frac{1}{{ - 1}} = \frac{1}{{ - 1}} \Rightarrow \left( P \right)$không song song

với $\left( {{Q_2}} \right)$.

Xét $(P):2x + y + z - 2 = 0$ và $\left( {{Q_3}} \right):\,\,\,\,4x + 2y + 2z - 4 = 0$ có $\frac{2}{4} = \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \ne \frac{{ - 2}}{4} \Rightarrow \left( P \right)$ song song

với $\left( {{Q_3}} \right)$.

Xét $(P):2x + y + z - 2 = 0$ và $\left( {{Q_4}} \right):\,\,\,2x + y + z - 2 = 0$ có $\frac{2}{2} = \frac{1}{1} = \frac{1}{1} = \frac{{ - 2}}{{ - 2}} \Rightarrow \left( P \right)$ trùng với

$\left( {{Q_4}} \right)$.

$\left( P \right):\,\,\,mx + (m - 1)y + z - 10 = 0$ có VTPT $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {m\,;\,m - 1\,;1} \right)$

$(Q):2x + y - 2z + 3 = 0$ có VTPT $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {2\,;\,1\,;\, - 2} \right)$.

$\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$vuông góc $\Leftrightarrow \overrightarrow {{n_P}} \bot \overrightarrow {{n_Q}} \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_P}} .\,\overrightarrow {{n_Q}} \Leftrightarrow m.2 + \left( {m - 1} \right).1 + 1.\left( { - 2} \right) = 0$

$\Leftrightarrow 3m - 3 = 0 \Leftrightarrow m = 1$

Khoảng cách $d$từ $A$đến $\left( P \right)$là $d(A,\,(P)) = \frac{{\left| {3{x_A} + 4{y_A} + 2{z_A} + 4} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2} + {2^2}} }} = \frac{{\left| {3 - 8 + 6 + 4} \right|}}{{\sqrt {29} }}$

$\Rightarrow d(A,\,(P)) = \frac{5}{{\sqrt {29} }}$

$\left( P \right):x + 2y + 3z - 1 = 0$ $\left( Q \right):x + 2y + 3z + 6 = 0$. Ta có: $\frac{1}{1} = \frac{2}{2} = \frac{3}{3} \ne \frac{{ - 1}}{6}$

$\left( P \right)$//$\left( Q \right)$ nên chọn A$\left( {1;0;0} \right) \in \left( P \right)$. Vì $\left( P \right)$//$\left( Q \right)$ nên $d\left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right) =$$d\left( {A,\left( Q \right)} \right)$ $= \frac{{\left| {1 + 2.0 + 3.0 + 6} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {3^2}} }} = \frac{7}{{\sqrt {14} }}$

Cách khác: Công thức tính nhanh: $\left( P \right):Ax + By + Cz + {D_1} = 0;\,\,\left( Q \right)Ax + By + Cz + {D_2} = 0$

$\left( P \right)$//$\left( Q \right)$ $\Rightarrow$d$\left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right)$ =$\frac{{\left| {{D_2} - {D_1}} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$

Áp dụng công thức: d$\left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right)$ $= \frac{{\left| { - 1 - 6} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {3^2}} }} = \frac{7}{{\sqrt {14} }}$.

+ Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow i = \left( {1\,;\,0\,;\,0} \right)\\\overrightarrow j = \left( {0\,;\,1\,;\,0} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow i ,\,\overrightarrow j } \right] = \left( {0\,;\,0\,;1} \right) = \overrightarrow k$.

+ Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u = \left( {1\,;\, - 2\,;\, - 1} \right)\\\overrightarrow i = \left( {1\,;\,0\,;\,0} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow u ,\,\overrightarrow i } \right] = \left( {0\,;\, - 1\,;2} \right)$.

+ Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( {1\,;\, - 2\,;\, - 2} \right)\\\overrightarrow u = \left( {1\,;\, - 2\,;\, - 1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow u } \right] = \left( { - 2\,;\, - 1\,;0} \right)$.

+ Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {OA} = \left( {1\,;\,1\,;\,2} \right)\\\overrightarrow {OB} = \left( {2\,;\, - 1\,;\,0} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {OA} ,\,\overrightarrow {OB} } \right] = \left( {2\,;\,4\,; - 3} \right)$.

+ Ta có một vecto pháp tuyến của mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]$.

+ Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( {2\,;\, - 2\,;\,2} \right)\\\overrightarrow {AC} = \left( {2\,;\, - 3\,;\,1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {4\,;\,2\,; - 2} \right)$ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$. Mà $\overrightarrow n = \left( {1\,;\,2\,;\,3} \right)$ không cùng phương với $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]$ do $\frac{4}{1} \ne \frac{2}{2}$ nên $\overrightarrow n = \left( {1\,;\,2\,;\,3} \right)$ không là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$.

+ Ta có một vecto pháp tuyến của mặt phẳng đi qua $O$ và chứa đưởng thẳng $AB$ là $\left[ {\overrightarrow {OA} ,\,\overrightarrow {OB} } \right] = \left( {2\,;\,2\,;\,0} \right)$. Mà $\overrightarrow n = \left( {1\,;\,1\,;\,0} \right)$ cùng phương với $\left[ {\overrightarrow {OA} ,\,\overrightarrow {OB} } \right]$ nên $\overrightarrow n = \left( {1\,;\,1\,;\,0} \right)$ cũng là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng đi qua $O$ và chứa đưởng thẳng $AB$.

+ Ta có một vecto pháp tuyến của mặt phẳng song song với hai đưởng thẳng $AB$ và $OC$ là $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {OC} } \right] = \left( {2\,;\,0\,;\, - 2} \right)$. Mà $\overrightarrow v = \left( {1\,;\,2\,;\,3} \right)$ không cùng phương với $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {OC} } \right]$ nên $\overrightarrow v = \left( {1\,;\,2\,;\,3} \right)$ không phải là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng song song với hai đưởng thẳng $AB$ và $OC$.

a) Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {1;1;1} \right);\,\overrightarrow {AC} = \left( {0;3;2} \right)$

Vectơ pháp tuyến của $\left( {ABC} \right)$ là $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 1; - 2;3} \right)$.

PT mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là: $- 1\left( {x - 1} \right) - 2\left( {y + 2} \right) + 3z = 0$ hay $x + 2y - 3z + 3 = 0$

b) Vectơ pháp tuyến của $\left( \alpha \right)$ là $\overrightarrow n = \,\overrightarrow {BC} = \left( { - 1;2;1} \right)$.

PT mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là: $- 1\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y + 2} \right) + 1z = 0$ hay $x - 2y - z - 5 = 0$

c) Ta có trung điểm của đoạn $AC$ là $M\left( {1;\frac{{ - 1}}{2};1} \right)$

Vectơ pháp tuyến của $\left( \beta \right)$ là $\overrightarrow n = \,\overrightarrow {AC} = \left( {0;3;2} \right)$.

PT mặt phẳng $\left( \beta \right)$ là: $0\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y + \frac{1}{2}} \right) + 2\left( {z - 1} \right) = 0$ hay $6y + 4z - 1 = 0$

d) Ta có $\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right);\,\overrightarrow {OC} = \left( {1;1;2} \right)$

Vectơ pháp tuyến của $\left( \gamma \right)$ là $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow i ,\overrightarrow {OC} } \right] = \left( {0; - 2;1} \right)$.

PT mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là: $0x - 2y + 1z = 0$ hay $2y - z = 0$

a) Ta có $d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2 + 4 - 3 + 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 2$.

b) Ta có VTPT của hai mặt phẳng $\left( P \right)$và $\left( Q \right)$lần lượt là $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;2; - 1} \right),\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;2; - 2} \right)$.

Hơn nữa $\frac{2}{1} \ne \frac{2}{2} \ne \frac{{ - 1}}{{ - 2}}$ nên hai véctơ $\overrightarrow {{n_P}}$ và $\overrightarrow {{n_Q}}$ không cùng phương.

Do đó hai mặt phẳng $\left( P \right)$và $\left( Q \right)$cắt nhau.

c) Ta có hai mặt phẳng $\left( P \right)$và $\left( R \right)$song song nhau.

Lấy điểm $O\left( {0;0;0} \right)$thuộc mặt phẳng $\left( R \right)$.

$$d\left( {\left( R \right),\left( P \right)} \right) = d\left( {O,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| 3 \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 1$$

d) Mặt phẳng $\left( P \right)$ có VTPT là $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;2; - 1} \right)$.Mặt phẳng $\left( T \right)$ có VTPT là $\overrightarrow {{n_T}} = \left( {1;1;m} \right)$.

Vì hai mặt phẳng $\left( P \right)$và $\left( T \right)$ cắt nhau nên hai VTPT $\overrightarrow {{n_P}}$ và $\overrightarrow {{n_T}}$ không cùng phương.

$\Rightarrow m \ne \frac{{ - 1}}{2}$.

Vậy với $m \ne \frac{{ - 1}}{2}$ thì hai mặt phẳng $\left( P \right)$và $\left( T \right)$ cắt nhau.

Gọi $A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right)$, điều kiện $a > 0;b > 0;c > 0$

Độ dài $OA,OB,OC$theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội bằng $3$

Suy ra $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{OB = 3OA}\\{OC = 3OB}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{b = 3a}\\{c = 3b}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{b = 3a}\\{c = 9a}\end{array}} \right.} \right.$

Nên $A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;3a;0} \right),C\left( {0;0;9a} \right)$

Khi đó phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là: $\frac{x}{a} + \frac{y}{{3a}} + \frac{z}{{9a}} = 1$.

Vì $M\left( {1;2;3} \right) \in \left( \alpha \right)$nên $\frac{1}{a} + \frac{2}{{3a}} + \frac{3}{{9a}} = 1 \Leftrightarrow 6 = 3a \Leftrightarrow a = 2$

$\Rightarrow \left( \alpha \right):$$\frac{x}{2} + \frac{y}{6} + \frac{z}{{18}} = 1 \Leftrightarrow \left( \alpha \right):9x + 3y + z - 18 = 0$

$\Rightarrow A = 9,B = 3,D = - 18 \Rightarrow A + B + D = - 6$.

Gọi $I$ là trung điểm của $AB$ nên $I\left( {1;\;2;\;4} \right)$

$$MA{\,^2} + MB{\,^2} = {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2} = MI{\,^2} + 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IA} + IA{\,^2} + MI{\,^2} + 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IB} + IB{\,^2}$$

$= 2.MI{\,^2} + 2\overrightarrow {MI} (\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} ) + IA{\,^2} + IB{\,^2} = 2.MI{\,^2} + IA{\,^2} + IB{\,^2}$

$MA{\,^2} + MB{\,^2}$ đạt giá trị nhỏ nhất Û $2.MI{\,^2}$ đạt giá trị nhỏ nhất Û $MI$ đạt giá trị nhỏ nhất.

$\left( \alpha \right):x - 2y + z + 5 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {1;\; - 2;\;1} \right)$

Do $M \in \left( \alpha \right)$ nên $M\left( {{x_0};\;{y_0};\;{z_0}} \right)$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên mặt phẳng $\left( \alpha \right)$.

Suy ra: $\left\{ \begin{array}{l}M \in \left( \alpha \right)\\\overrightarrow {IM} = k.\overrightarrow n \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} - 2{y_0} + {z_0} + 5 = 0\\{x_0} - 1 = k\\{y_0} - 2 = - 2k\\{z_0} - 4 = k\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{y_0} = 4\\{z_0} = 3\\k = - 1\end{array} \right.$

Vậy tung độ của điểm $M$ là $4$.

Do $\left( P \right)$ song song với $\left( \alpha \right)$ nên $\left( P \right)$ có phương trình: $2x + 3y + z + m = 0$, điều kiện $m \ne 1$.

Khi đó: $\left( P \right)$ cắt các tia ${\rm{O}}x\,,{\rm{O}}y\,,{\rm{O}}z$ lần lượt tại các điểm là: $A\left( { - \frac{m}{2}\,;0\,;0} \right)$, $B\left( {0\,; - \frac{m}{3}\,;0} \right)$, $C\left( {0\,;0\,; - \,m} \right)$, với $m < 0$.

Thể tích khối tứ diện $OABC$ bằng $6$ nên $\frac{1}{6}OA\,.\,OB\,.\,OC = 6$

$\Leftrightarrow \frac{1}{6}.\left| { - \frac{m}{2}} \right|.\left| { - \frac{m}{3}} \right|.\left| { - \,m} \right| = 6 \Leftrightarrow - \frac{{{m^3}}}{{36}} = 6$ (do $m < 0$)

$\Leftrightarrow {m^3} = - \,216 \Leftrightarrow m = - \,6$ (thỏa mãn).

Ta có: $\left( P \right):2x + 3y + z - 6 = 0$ $\Rightarrow d\left( {O;\left( P \right)} \right) = \frac{{\,\left| {\,2.0 + 3.0 + 0 - 6\,} \right|\,}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {1^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt {14} }} \approx 1{,}60$.

Giả sử $A\left( {a;0;0} \right),{\rm{ }}B\left( {0;b;0} \right),{\rm{ }}C\left( {0;0;c} \right)$ với $a,b,c > 0.$

Phương trình mặt phẳng $\left( P \right):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$; $OA + OB + OC = a + b + c$

$M\left( {1;4;9} \right) \in \left( P \right) \Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c} = 1$.

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:

$\left( {\frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c}} \right)\left( {a + b + c} \right) = \left( {{{\left( {\sqrt {\frac{1}{a}} } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt {\frac{4}{b}} } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt {\frac{9}{c}} } \right)}^2}} \right)\left( {{{\left( {\sqrt a } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt b } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt c } \right)}^2}} \right) \ge {\left( {1 + 2 + 3} \right)^2}.$

$\Rightarrow a + b + c \ge 36.$

Dấu “$=$” xảy ra khi Nên $\left( P \right):\frac{x}{6} + \frac{y}{{12}} + \frac{z}{{18}} = 1.$

Vậy $d = \frac{{36}}{7} \approx 5{,}14$.

Gọi $A,B$ là giao điểm của mp $\left( Q \right)$ với trục $Ox$ và $Oy$, $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ lên $AB$.

Vì khoảng cách giữa hai mặt phẳng bằng $30m$ nên $OH = 30$

Theo giả thiết, ta có góc $\widehat {OAH} = {38^0}$, khi đó $OA = \frac{{OH}}{{\sin {{38}^0}}} = \frac{{30}}{{\sin {{38}^0}}}$, ${x_H} = - OH\cos {52^0} = - 30\cos {52^0}$, ${y_H} = - OH\cos {38^0} = - 30\cos {38^0}$

Tọa độ điểm $A\left( { - \frac{{30}}{{\sin {{38}^0}}};\,0\,;\,0} \right)$, $H\left( { - 30\cos {{52}^0};\, - 30\cos {{38}^0};0} \right)$ chọn VTPT $\overrightarrow n = \left( {1;\,\frac{{\cos {{38}^0}}}{{\cos {{52}^0}}}\,;\,0} \right)$

Mặt phẳng $\left( Q \right)$ đi qua $A$ vuông góc $OH$ nhận $\overrightarrow n$ làm véc tơ pháp tuyến có phương trình

$\left( {x + \frac{{30}}{{\sin {{38}^0}}}} \right) + \frac{{\cos {{38}^0}}}{{\cos {{52}^0}}}y = 0 \Leftrightarrow x + \frac{{\cos {{38}^0}}}{{\cos {{52}^0}}}y + \frac{{30}}{{\sin {{38}^0}}} = 0$

Vậy $m + n = 68$.

Gắn hình chóp cụt vào hệ trục $Oxyz$, ta có:

$$O(0;0;0),A(100;0;0),G(100;60;0),D(0;60;0),B(10;10;8)$$

Do $\overrightarrow {OA} = (100;0;0),\overrightarrow {OB} = (10;10;8)$ nên $\vec n = [\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} ] = (0; - 100;1000)$.

Suy ra mặt phẳng $\left( {OACB} \right)$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_1}\,} = \left( {0;1; - 10} \right)$.

Phương trình tổng quát của mặt phẳng $\left( {OACB} \right)$ là $y - 10z = 0$.

Do đó $a = 0,\,c = - 10,\,d = 0$. Vậy $a + c + d = 0 - 10 + 0 = - 10$.