Đề kiểm tra Phương trình mặt cầu lớp 12 (có lời giải) - Đề 3

Mặt cầu tâm $I\left( {a;b;c} \right)$, bán kính $R$ có phương trình là ${(x - a)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {(z - c)^2} = {R^2}$.

Vậy mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( { - 3;1;7} \right)$, bán kính 5 có phương trình là:${(x + 3)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {(z - 7)^2} = 25$. Chọn C

Mặt cầu ${(x - 2)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {(z - 4)^2} = 36$ có tâm $I\left( {2; - 3;4} \right)$ và bán kính $R = 6$.

$\overrightarrow {IA} = \left( {2;0; - 2} \right) \Rightarrow IA = \sqrt {{2^2} + {0^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = 2\sqrt 2 < R$.

Vậy điểm $A$ nằm trong mặt cầu và không phải tâm mặt cầu. Chọn A.

Mặt cầu tâm $I\left( {5; - 1;3} \right)$, qua điểm $M\left( {1;2; - 7} \right)$ thì có bán kính$R = IM = \sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} + {3^2} + {{\left( { - 10} \right)}^2}} = \sqrt {125}$.

Vậy mặt cầu có phương trình là ${(x - 5)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {(z - 3)^2} = 125$. Chọn B.

Mặt cầu có tâm $I$ là trung điểm của $CD \Rightarrow I\left( {3;1;4} \right)$.

Bán kính $R = IC = \sqrt {{4^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = \sqrt {18}$.

Vậy phương trình mặt cầu thõa yêu cầu là ${(x - 3)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {(z - 4)^2} = 18$. Chọn D.

Dễ thấy đáp án A, C loại.

Kiểm tra đáp án B, ta thấy ${a^2} + {b^2} + {c^2} - d = {1^2} + {\left( { - 2} \right)^2} + {0^2} - 10 = - 5 < 0 \Rightarrow$phương trình không phải là phương trình mặt cầu.

Kiểm tra đáp án D, ta thấy ${a^2} + {b^2} + {c^2} - d = {\left( { - 1} \right)^2} + {0^2} + {\left( { - 2} \right)^2} - \left( { - 1} \right) = 6 > 0 \Rightarrow$phương trình là phương trình mặt cầu.

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $O\left( {0;0;0} \right)$ và bán kính $R = 2.$

Ta có $OM = \sqrt 6 > R;\,\,\,ON = \sqrt 3 < R;\,\,OP = \sqrt 2 < R;\,\,OQ = 2 = R.$

Vậy điểm $M$ nằm ngoài mặt cầu đã cho.

Để phương trình đã cho là phương trình mặt cầu $\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0$

$\Leftrightarrow {\left( {2m} \right)^2} + {\left( { - 2} \right)^2} + {\left( { - m} \right)^2} - {m^2} - 4m > 0 \Leftrightarrow {\left( {2m - 1} \right)^2} + 3 > 0,\forall m \in \mathbb{R}.$

Ta có bán kính mặt cầu là $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} = \sqrt {{{\left( {2m - 1} \right)}^2} + 3} \ge \sqrt 3 .$

Dấu xảy ra $\Leftrightarrow 2m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}.$

Vậy bán kính mặt cầu nhỏ nhất bằng $\sqrt 3$ khi $m = \frac{1}{2}.$

Vì mặt cầu tâm $I\left( {1;1;1} \right)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $\left( P \right) \Rightarrow R = d\left( {I;\left( P \right)} \right) = 2.$

Vậy mặt cầu đã cho có phương trình là ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 4.$

Vì tâm $I$ của mặt cầu thuộc trục $Oz$ nên giả sử $I\left( {0;0;c} \right).$

Ta có $\overrightarrow {IA} = \left( {3; - 1;2 - c} \right) \Rightarrow IA = \sqrt {{c^2} - 4c + 14} ;\,\,\overrightarrow {IB} = \left( {1;1; - 2 - c} \right) \Rightarrow IB = \sqrt {{c^2} + 4c + 6} .$

Mà mặt cầu đi qua hai điểm $A,B \Rightarrow IA = IB \Rightarrow \sqrt {{c^2} - 4c + 14} = \sqrt {{c^2} + 4c + 6} \Rightarrow c = 1.$

Do đó ta có $I\left( {0;0;1} \right);\,\,R = IA = \sqrt {11} .$ Vậy $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 11.$

Ta có $d\left( {I;\left( P \right)} \right) = 2.$ Gọi $r$ là bán kính đường tròn giao tuyến; $R$ là bán kính của mặt cầu $\left( S \right).$

Từ giả thiết ta có $2\pi r = \frac{{3\pi }}{2} \Rightarrow r = \frac{3}{4}.$

Mà $R = \sqrt {{d^2}\left( {I;\left( P \right)} \right) + {r^2}} = \frac{{\sqrt {73} }}{4}.$ Vậy diện tích của mặt cầu $\left( S \right)$ là $S = 4\pi {R^2} = \frac{{73\pi }}{4}.$

a) Đúng

Khoảng cách từ tâm đèn đến mặt biển là $84 + 26 = 110\,m$.

Mặt cầu mô tả ranh giới vùng phủ sáng trên biển của hải đăng có tâm $I\left( {12.040.271\,;\,1.418.620\,;\,110} \right)$, bán kính $R = 50000\,\left( m \right)$.

b) Sai

Phương trình mặt cầu mô tả ranh giới vùng phủ sáng trên biển của hải đăng là

$\left( S \right)$ ${\left( {x - 12.040.271} \right)^2} + {\left( {y - 1.418.620} \right)^2} + {\left( {z - 110} \right)^2} = {50.000^2}$ .

c) Đúng

Ta có

$$I{B^2} = {\left( {12.026.000 - 12.040.271} \right)^2} + {\left( {1.461.000 - 1.418.620} \right)^2} + {\left( {0 - 110} \right)^2} = 1999.737.941 < {R^2}$$

Nên điểm $B$ nằm trong mặt cầu $\left( S \right)$. Vậy người đi biển nhìn thấy ánh đèn của ngọn hải đăng.

d) Sai

Đường thẳng $\Delta$ đi qua $C$và có vectơ chỉ phương là vectơ $\overrightarrow i = \left( {1\,;\,0\,;\,0} \right)$ có PTTS là $\left\{ \begin{array}{l}x = 12.040.452 + t\\y = 1.418.462\\z = 0\end{array} \right.$.

Tìm điểm $N$ là giao điểm của $\Delta$ và mặt cầu $\left( S \right)$:

$${\left( {12.040.452 + t - 12.040.271} \right)^2} + {\left( {1.418.462 - 1.418.620} \right)^2} + {\left( {0 - 110} \right)^2} = {50.000^2}$$

$\Leftrightarrow {\left( {181 + t} \right)^2} = 2.499.962.936 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t \approx 49.818{,}6\\t \approx - 50.180\end{array} \right.$.

Do tàu chuyển động cùng hướng với hướng của vectơ đơn vị $\overrightarrow i$ nên $t > 0$$\Rightarrow t \approx 49.818{,}6$

$\Rightarrow$$N\left( {12.090.270{,}6\,;\,1.418.620\,;\,0} \right)$ $\Rightarrow CN \approx 49.818{,}6\,m$.

Vậy tàu di chuyển tối đa 49.818 m để có thể nhìn thấy đèn của ngọn hải đăng

a) Sai.

Dạng tổng quát của phương trình mặt cầu có tâm $I\left( {a;b;c} \right)$, bán kính R là ${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}$ nên mặt cầu $\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 4$ có tọa độ tâm là $I\,\left( {1\,;\,1\,;\, - 2} \right)$.

b) Sai.

Mặt cầu $\left( S \right)$ có bán kính bằng $R = 2$.

c) Đúng

Từ phương trình mặt cầu $\left( C \right)$ ta có : $a = 1,b = - 2,c = 2,d = - 25$ nên mặt cầu $\left( C \right)$ có bán kính ${\rm{ }}R' = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2} + 25} = \sqrt {34}$.

Suy ra $R' > R$.

d) Sai.

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1;1; - 2} \right)$ và bán kính $R = 2$. Gọi $d$ là khoảng cách từ tâm $I$ đến mặt phẳng $\left( \alpha \right)$. Ta có $d = d\left( {I,\left( \alpha \right)} \right) = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}$.
Khi đó ta có: $r = \sqrt {{R^2} - {d^2}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}$.

a) Xét $\left( {{S_1}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 6y - 4z - 11 = 0$, ta có: $\left\{ \begin{array}{l} - 2a = - 2\\ - 2b = - 6\\ - 2c = - 4\\d = - 11\end{array} \right. \Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 3\\c = 2\\d = - 11\end{array} \right. \Rightarrow$ Mặt cầu $\left( {{S_1}} \right)$ có tâm ${I_1}\left( {1;3;2} \right)$ bán kính $R = 5$.

Vậy SAI.

b) Ta có ${I_1}\left( {1;3;2} \right)$ và ${I_2}\left( {1; - 2;1} \right)$$\Rightarrow {I_1}{I_2} = \sqrt {26}$.

Vậy ĐÚNG.

c) Phương trình mặt phẳng đi chứa đường tròn $\left( C \right)$ có dạng: $\left( P \right):5y + z + 4 = 0$ (ta lấy phương trình $\left( {{S_1}} \right) - \left( {{S_2}} \right)$)

Vậy ĐÚNG.

d) Ta có:

Xét hai mặt cầu

$\left( {{S_1}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 6y - 4z - 11 = 0$, $\left( {{S_2}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 2z - 3 = 0$ có tâm và bán kính lần lượt là ${I_1}\left( {1;\,3;\,2} \right),{R_1} = 5,{I_2}\left( {1;\, - 2;\,1} \right),{R_2} = 3,{R_1} - {R_2} < {I_1}{I_2} = \sqrt {26} < {R_1} + {R_2}$ nên hai mặt cầu cắt nhau theo giao là đường tròn$\left( C \right)$.

Ta có $p = \frac{{3 + 5 + \sqrt {26} }}{2} = \frac{{8 + \sqrt {26} }}{2} \Rightarrow {S_{\Delta A{I_1}{I_2}}} = \sqrt {p\left( {p - {I_1}{I_2}} \right)\left( {p - {I_1}A} \right)\left( {p - {I_2}A} \right)} = \frac{{\sqrt {209} }}{2}$.

Vậy SAI.

a) SAI

Các hệ số $\left\{ \begin{array}{l} - 2a = - 2\\ - 2b = - 4\\ - 2c = - 6\\d = - 11\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\\c = 3\\d = - 11\end{array} \right.$

$\Rightarrow$ Mặt cầu $(S)$ có tâm $I\left( {1;2;3} \right)$ và bán kính $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} = 5$.

b) ĐÚNG

Mặt phẳng $\left( Q \right)$ tiếp xúc với mặt cầu $\left( S \right)$ tại điểm $A\left( {1;2;8} \right)$

$\Rightarrow$ $\left( Q \right)$ có vtpt $\overrightarrow n = \left( {0;0;5} \right)$ và qua $A\left( {1;2;8} \right)$

$\Rightarrow$ $\left( Q \right):0.\left( {x - 1} \right) + 0.\left( {y - 2} \right) + 5\left( {z - 8} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( Q \right):z = 8$.

c) ĐÚNG

Do $d\left[ {I,\left( P \right)} \right] = \frac{{\left| {1 + 2 + 3 - 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \sqrt 3 < 5 = R$ nên $\left( P \right)$ cắt mặt cầu $\left( S \right)$ theo giao tuyến là đường tròn tâm $H$, bán kính $HA = \sqrt {{R^2} - {d^2}\left[ {I,(P)} \right]} = \sqrt {{5^2} - {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} = \sqrt {22}$

d) SAI

Gọi $\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right)$ là một điểm nguyên nằm trên bề mặt của mặt cầu $\left( S \right)$.

Ta có $x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 - 2{x_0} - 4{y_0} - 6{z_0} - 11 = 0$

$\Leftrightarrow {\left( {{x_0} - 1} \right)^2} + {\left( {{y_0} - 2} \right)^2} + {\left( {{z_0} - 3} \right)^2} = 25$

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}a = {x_0} - 1\\b = {y_0} - 2\\c = {z_0} - 3\end{array} \right.$ thì ${a^2} + {b^2} + {c^2} = 25$ (*) và $a,b,c \in \mathbb{Z}$.

Số bộ $\left( {a;b;c} \right)$ bằng với số bộ $\left( {x;y;z} \right)$.

Do ${a^2},\,{b^2},{c^2}$ vai trò như nhau nên có thể giả sử ${a^2} \le {b^2} \le {c^2}$.

${a^2} + {b^2} + {c^2} = 25 \Rightarrow 3{a^2} \le 25 \Rightarrow {a^2} \in \left\{ {0;1;4} \right\}$.

Với ${a^2} = 4$,

$\left( * \right) \Rightarrow$ ${b^2} + {c^2} = 21$ à không có $b,c$ nguyên.

Với ${a^2} = 1$,

$\left( * \right) \Rightarrow$ ${b^2} + {c^2} = 24 \Rightarrow$ không tồn tại $b,c$ nguyên.

Với ${a^2} = 0$,

$\left( * \right) \Rightarrow$ ${b^2} + {c^2} = 25 = {3^2} + {4^2}$

Chọn vị trí cho số $0$trong bộ $\left( {a;b;c} \right)$ có $3$cách.

Chọn $3$ hoặc $- 3$ và xếp vào một vị trí trong bộ $\left( {a;b;c} \right)$ có $2.2 = 4$cách.

Vị trí còn lại cho $4$ hoặc $- 4$ trong bộ $\left( {a;b;c} \right)$ có $2$cách.

Vậy có $3.4.2 = 24$ bộ $\left( {a;b;c} \right)$.

Vậy có $24$ bộ $\left( {a;b;c} \right)$ hay $24$ điểm nguyên nằm trên mặt cầu $\left( S \right)$.

Mặt cầu $\left( S \right):\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2y + 4z - 4 = 0$ có tâm $I\left( {0;1; - 2} \right)$ và bán kính

$R = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + 4} = 3.$

Khi đó thể tích khối cầu $\left( S \right)$ là $V = \frac{{4\pi {R^3}}}{3} = 36\pi .$

Hình chiếu vuông góc của $A\left( {1;4;3} \right)$ lên trục $Ox$ là $H\left( {1;0;0} \right) \Rightarrow d\left( {A,Ox} \right) = AH = 5.$

Vậy $R = \sqrt {{d^2}\left( {A,Ox} \right) + {{\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {{5^2} + {{\left( {\frac{6}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {34} .$

Điểm thuộc ${d_1}$ có hoành độ $x = 1 \Rightarrow \frac{{1 + 1}}{2} = \frac{{y - 3}}{{ - 1}} = \frac{{z + 2}}{1} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2\\z = - 1\end{array} \right..$

Vậy $\left( S \right)$ tiếp xúc với ${d_1}$ tại điểm $A\left( {1;2 - 1} \right)$ do đó tâm mặt cầu $I$ thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$ qua điểm

$A$ và vuông góc với ${d_1}$ và $\left( P \right):2x - y + z + 1 = 0.$

Mặt khác $I \in {d_2} \Rightarrow I = {d_2} \cap \left( P \right):\left\{ \begin{array}{l}2x - y + z + 1 = 0\\\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 2}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {2;1; - 4} \right) \Rightarrow R = IA = \sqrt {11} .$

Do đó $\left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 11 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 1\\c = - 4\end{array} \right. \to a + 2b + 3c = - 8.$

Mặt cầu có tâm $I$là trung điểm đoạn $AB$ nên $I\left( {1;2;1} \right)$.

Bán kính của mặt cầu $R = \frac{{AB}}{2} = 6$.

Suy ra phương trình mặt cầu là ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = {6^2}$.

Vậy $P = a + b + c + R = 10$.

$I$ là hình chiếu vuông góc của điểm $M$ trên mặt phẳng $\left( {{\rm{O}}xy} \right)$ suy ra $I\left( {1; - 2;0} \right)$.

Bán kính của mặt cầu $R = IM = 3$.

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {2;1;1} \right)$ và bán kính $R = 3$.

Ta có $P = {x_0} + 2{y_0} + 2{z_0} \Leftrightarrow {x_0} + 2{y_0} + 2{z_0} - P = 0$ suy ra điểm $M \in \left( \alpha \right):x + 2y + 2z - P = 0$.

Để tồn tại điểm $M$là điểm chung của mặt cầu $\left( S \right)$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ khi và chỉ khi $d\left( {I,\left( \alpha \right)} \right) \le R \Leftrightarrow \frac{{\left| {6 - P} \right|}}{3} \le 3 \Leftrightarrow \left| {6 - P} \right| \le 9 \Leftrightarrow - 9 \le 6 - P \le 9 \Leftrightarrow - 3 \le P \le 15$.

Vậy GTNN của biểu thức $P$ là $- 3$. Dấu “$=$” xảy ra khi và chỉ khi $d\left( {I,\left( \alpha \right)} \right) = R$ tức là $M$ là tiếp điểm của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và mặt cầu $\left( S \right)$ hay $M$ là hình chiếu vuông góc của điểm $I$ trên mặt phẳng $\left( \alpha \right)$.

Phương trình đường thẳng $IM:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 + 2t\\z = 1 + 2t\end{array} \right.$.

Tọa độ điểm $M$ là nghiệm của hệ phương trình:$\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 + 2t\\z = 1 + 2t\\x + 2y + 2z + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = - 1\\x = 1\\y = - 1\\z = - 1\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {1; - 1; - 1} \right)$.

Vậy ${x_0} + {y_0} + {z_0} = - 1.$