Đề kiểm tra Phương trình mặt cầu lớp 12 (có lời giải) - Đề 2

Gốc tọa độ $O\left( {0;0;0} \right)$ là tâm của mặt cầu.

Vậy phương trình mặt cầu tâm $O\left( {0;0;0} \right)$ có bán kính $R = 5$ là ${x^2} + {y^2} + {z^2} = 25$.

Ta có $R = IA = \sqrt {{{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2 - 2} \right)}^2} + {{\left( {1 - 0} \right)}^2}} = 3\sqrt 2$.

Vậy phương trình mặt cầu $I\left( {1;2;0} \right)$ và có bán kính $R = 3\sqrt 2$ là ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {z^2} = 18$

Ta có $R = IM = \sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {0 - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 3} \right)}^2}} = 2\sqrt 5$.

Vậy phương trình mặt cầu $I\left( {1;2;3} \right)$ và có bán kính $R = 2\sqrt 5$ là ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 20 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z - 6 = 0$

Gọi $I$là trung điểm của đoạn thẳng $AB$.

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{3 + 5}}{2} = 4\\{y_I} = \frac{{0 + 0}}{2} = 0\\{z_I} = \frac{{( - 1) + ( - 3)}}{2} = - 2\end{array} \right.$. Vậy $I\left( {4;0; - 2} \right)$.

$AB = \sqrt {{{(5 - 3)}^2} + {{(0 - 0)}^2} + {{( - 3 + 1)}^2}} = 2\sqrt 2 .$

$R = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}.2\sqrt 2 = \sqrt 2 .$

Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$là: ${\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = {(\sqrt 2 )^2} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x + 4z + 18 = 0$.

Gọi $I$là trung điểm của đoạn thẳng $AB$.

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{2 + 5}}{2} = \frac{7}{2}\\{y_I} = \frac{{ - 1 + \left( { - 2} \right)}}{2} = - \frac{3}{2}\\{z_I} = \frac{{1 + 4}}{2} = \frac{5}{2}\end{array} \right.$. Vậy $I\left( {\frac{7}{2}; - \frac{3}{2};\frac{5}{2}} \right)$.

$AB = \sqrt {{{(5 - 2)}^2} + {{( - 2 + 1)}^2} + {{(4 - 1)}^2}} = \sqrt {19} .$

$R = \frac{1}{2}AB = \frac{{\sqrt {19} }}{2}.$

Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$là: ${\left( {x - \frac{7}{2}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{5}{2}} \right)^2} = {(\frac{{\sqrt {19} }}{2})^2} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 7x + 3y - 5z + 16 = 0$.

Phương trình mặt phẳng $\left( {Oyz} \right):x = 0$.

$R = d\left( {I,\left( {Oyz} \right)} \right) = \frac{{\left| 1 \right|}}{{\sqrt 1 }} = 1.$

Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$là: ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 6z + 13 = 0$.

Ta có $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 4y - 2z - 7 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = {4^2}$.

Vậy $\left( S \right)$ là mặt cầu có tâm $I\left( {2;\, - 2;\,1} \right)$ và bán kính $\,R = 4$.

Ta có $R = 3km = 3000m$.

Phương trình mặt cầu mô tả ranh giới của vùng phủ sáng trên biển của hải đăng là

${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = {3000^2}$.

a) Đúng.

Gọi $I$ là tâm mặt cầu $\left( S \right)$ có đường kính $AB$, suy ra $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$.$R = IA = \sqrt {{{\left( {1 - 2} \right)}^2} + {{\left( {2 - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 4 + 2} \right)}^2}} = 3$

Vậy $I\left( {2\,;\,0\,;\, - 2} \right)$.

b) Sai.

Ta có bán kính của mặt cầu $\left( S \right)$ là .

Suy ra phương trình mặt cầu $\left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 9$.

c) Sai.

Ta có ${\left( {0 - 2} \right)^2} + {\left( {1 - 0} \right)^2} + {\left( { - 5 + 2} \right)^2} = 14 > {3^2}$.

Vậy điểm $M\left( {0\,;\,1\,;\, - 5} \right)$ nằm ngoài mặt cầu $\left( S \right)$.

d) Đúng.

Phương trình mặt cầu $\left( {S'} \right)$ tương ứng với $a = 1$, $b = - 2$, $c = 3$, $d = 5$, do đó $\left( {S'} \right)$ là phương trình của mặt cầu có tâm $I'\left( {1\,;\, - 2\,;\,3} \right)$ và bán kính $R' = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {3^2} - 5} = 3$.

Vậy mặt cầu $\left( {S'} \right)$ có cùng bán kính với mặt cầu $\left( S \right)$.

a) Đúng.

$\left( S \right){\rm{: }}{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 2z + \frac{9}{2} = 0$$\Leftrightarrow \left( S \right){\rm{:}}\,{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = \frac{3}{2}$.

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( { - 1;2;1} \right)$.

b) Sai.

Mặt cầu $\left( S \right)$ có bán kính $R = \frac{{\sqrt 6 }}{2}$.

Vì $A{I^2} = {\left( {0 + 1} \right)^2}\, + {\left( {2 - 2} \right)^2}\, + {\left( {0 - 1} \right)^2}\, = \,2 > \,\frac{3}{2}\, = \,{R^2}$ nên điểm $A$ nằm ngoài mặt cầu $\left( S \right)$.

c) Đúng.

Vì mặt cầu $\left( {S'} \right)$ tâm $A$ đi qua điểm $B$ nên mặt cầu $\left( {S'} \right)$ có bán kính

$R\, = \,AB\, = \,\sqrt {{{\left( {2 - 0} \right)}^2}\, + \,{{\left( { - 6 - 2} \right)}^2}\, + \,{{\left( { - 2 - 0} \right)}^2}} \, = \,\sqrt {72}$.

Do đó, phương trình mặt cầu $\left( {S'} \right)$: ${x^2}\, + \,{\left( {y - 2} \right)^2}\, + \,{z^2}\, = \,72$.

d) Đúng.

Vì $B{I^2} = {\left( {2 + 1} \right)^2}\, + {\left( { - 6 - 2} \right)^2}\, + {\left( { - 2 - 1} \right)^2}\, = \,82 > \,\frac{3}{2}\, = \,{R^2}$ nên điểm $B$ nằm ngoài mặt cầu $\left( S \right)$.

Ta có hai điểm $A$, $B$ nằm ngoài mặt cầu $\left( S \right)$.

Gọi $K$ là trung điểm đoạn thẳng $AB$ thì $K\left( {1; - 2; - 1} \right)$ và $K$ nằm ngoài mặt cầu $\left( S \right)$.

Ta có: $\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}$$= \left( {\overrightarrow {MK} + \overrightarrow {KA} } \right).\left( {\overrightarrow {MK} + \overrightarrow {KB} } \right)$

$= M{K^2} + \overrightarrow {MK} .\left( {\overrightarrow {KA} + \overrightarrow {KB} } \right) + \overrightarrow {KA} .\overrightarrow {KB}$$= M{K^2} - K{A^2}$.

Suy ra $\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}$ nhỏ nhất khi $M{K^2}$ nhỏ nhất, tức là $MK$ nhỏ nhất.

Đánh giá: $IM + MK \ge IK \Rightarrow R + MK \ge IK \Rightarrow MK$$\ge IK - R$.

Suy ra $MK$ nhỏ nhất bằng $IK - R$, xảy ra khi $I$, $M$, $K$ thẳng hàng và $M$ nằm giữa hai điểm $I$, $K$. Như vậy $M$ là giao điểm của đoạn thẳng $IK$ và mặt cầu $\left( S \right)$.

Có $\overrightarrow {IK} = \left( {2; - 4; - 2} \right)$, $IK = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = 2\sqrt 6 = 4R = 4IM$.

Suy ra $\overrightarrow {IK} = 4\overrightarrow {IM}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 = 4\left( {a + 1} \right)\\ - 4 = 4\left( {b - 2} \right)\\ - 2 = 4\left( {c - 1} \right)\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{2}\\b = 1\\c = \frac{1}{2}\end{array} \right.$.

Vậy $a + b + c = 1$.

a) Đúng.

Đường kính $10000$$m$$=$$10$$km$.

Bán kính phủ sóng của trạm phát sóng điện thoại là $R = \frac{{10}}{2} = 5$ $km$.

b) Đúng.

Mặt cầu mô tả ranh giới miền bên trong và bên ngoài vùng phủ sóng của trạm phát sóng điện thoại có:

+ Tâm $I\left( {1\,;\,\,2\,\,;\,\,2} \right)$.

+ Bán kính $R = 5$ $km$.

Phương trình mặt cầu: ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 25$.

c) Đúng.

+ Ta có: $A{I^2} = {\left( {1 - 1} \right)^2} + {\left( {2 - 2} \right)^2} + {\left( {6 - 2} \right)^2} = 16$$< 25 = {R^2}$.

+ Vậy điểm $A\left( {1\,;\, - 2\,;\,1} \right)$ nằm trong vùng phủ sóng của trạm phát sóng điện thoại.

d) Sai.

+ Ta có: $M{I^2} = {\left( {1 - 1} \right)^2} + {\left( {2 - 2} \right)^2} + {\left( {7 - 2} \right)^2} = 25 = R$.

Vậy điểm $M$ nằm trong vùng phủ sóng của trạm phát sóng điện thoại nên bạn Mai có thể sử dụng dịch vụ của trạm này.

+ Ta có: $N{I^2} = {\left( {5 - 1} \right)^2} + {\left( {5 - 2} \right)^2} + {\left( {5 - 2} \right)^2} = 34 > 25 = {R^2}$.

Vậy điểm $N$ không nằm trong vùng phủ sóng của trạm phát sóng điện thoại nên nên bạn Nam không thể sử dụng dịch vụ của trạm này.

a) Đúng.

b) Đúng.

Ta có ${R^2} = A{B^2} = {\left( {3 - 1} \right)^2} + {\left( {2 - 1} \right)^2} + {\left( { - 3 - 2} \right)^2} = 30$.

Vậy phương trình mặt cầu tâm $A$, đi qua $B$ là ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 30$.

c) Sai.

Tâm của mặt cầu là trung điểm $M$ của $AB$, $M\left( {2;\,\frac{3}{2};\, - \frac{1}{2}} \right)$.

${R^2} = M{A^2} = {\left( {1 - 2} \right)^2} + {\left( {1 - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {2 + \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{{15}}{2}$.

Vậy phương trình mặt cầu đường kính $AB$ là ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {z + \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{{15}}{2}$.

d) Sai.

Gọi $I\left( {a\,;\,0\,;\,0} \right) \in Ox$$\Rightarrow \overrightarrow {IA} \left( {1 - a\,;\,1\,;\,2} \right);\,\overrightarrow {IB} \left( {3 - a\,;\,2\,; - 3} \right)$.

Do $\left( S \right)$ đi qua hai điểm $A,\,B$ nên $IA = IB \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {1 - a} \right)}^2} + 5} = \sqrt {{{\left( {3 - a} \right)}^2} + 13}$$\Leftrightarrow 4a = 16 \Leftrightarrow a = 4$

$\Rightarrow \left( S \right)$ có tâm $I\left( {4\,;\,0\,;\,0} \right)$, bán kính $R = IA = \sqrt {14}$.

Ta có $\overrightarrow {IA} = \left( { - 2;1;1} \right)$

$R = IA = \sqrt 6$

Phương trình của $\left( S \right)$ là: ${\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 6$hay ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4z - 1 = 0$

Vậy ${a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} = {1^2} + {2^2} + {\left( { - 1} \right)^2} = 6$

Đoạn thẳng $AB$có trung điểm $I\left( {0;\frac{3}{2}; - \frac{3}{2}} \right)$

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I$và bán kính $R = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( {1 + 1} \right)}^2} + {{\left( {1 - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2 + 1} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 6 }}{2}$

Phương trình của $\left( S \right)$ là: ${x^2} + {\left( {y - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {z + \frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{3}{2}$

Vậy $a + b + c + {R^2} = 0 + \frac{3}{2} - \frac{3}{2} + \frac{3}{2} = \frac{3}{2} = 1{,}5$

Ta có: $R = d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {3.2 + 4.0 - 24 - 8} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \sqrt {26}$

Ta có $a = 2;b = 0;c = 24$ và $d = {a^2} + {b^2} + {c^2} - {R^2} = 554$

Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ có dạng: ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$.

Vì $A,B,C,D$ thuộc $\left( S \right)$ nên ta có: $\left\{ \begin{array}{l}d = 0\\9 + 6a + d = 0\\64 - 16c + d = 0\\81 + 18b + d = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{3}{2}\\b = - \frac{9}{2}\\c = 4\\d = 0\end{array} \right.$.

Vậy $4 \cdot \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2}} \right) = 154$.

Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng đi qua $A$ và vuông góc với đường thẳng $d$. Phương trình của mặt phẳng $\left( P \right)$là: $1\left( {x - 3} \right) + 2\left( {y - 2} \right) + 2\left( {z - 0} \right) = 0$ $\Leftrightarrow x + 2y + 2z - 7 = 0$.

Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên đường thẳng $d$, khi đó $H = d \cap \left( P \right)$

Suy ra $H \in d \Rightarrow H\left( { - 1 + t;\, - 3 + 2t;\, - 2 + 2t} \right)$, mặt khác $H \in \left( P \right)$ $\Rightarrow - 1 + t - 6 + 4t - 4 + 4t - 7 = 0$ $\Rightarrow t = 2$. Vậy $H\left( {1;\,1;\,2} \right)$.

Vì $\left( S \right)$ tiếp xúc với $d$ nên $R = d\left( {A,d} \right) = AH = 3$.

Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ là ${\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {z^2} = 9$. Suy ra $a = 3,\,\,b = 2,\,\,c = 0,\,\,{R^2} = 9$

Vậy ${a^2} + 2{b^2} + 3{c^2} + 4{R^2} = 53.$

Theo giả thiết, ta suy ra $\Delta$ đi qua $M\left( { - 1;1;0} \right)$ và có VTCP $\overrightarrow u = \left( {1; - 4;1} \right)$.

Gọi $H$ là hình chiếu của $I$ lên đường thẳng $\Delta$.

Vì $H \in \Delta$ nên $H\left( { - 1 + t;1 - 4t;t} \right) \Rightarrow \overrightarrow {IH} \left( {t - 3\;;\; - 2 - 4t\;;\;t + 1} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {IH} \bot \overrightarrow u$ suy ra $\overrightarrow {IH} \cdot \overrightarrow u = 0 \Leftrightarrow 1\left( {t - 3} \right) - 4\left( { - 2 - 4t} \right) + 1\left( {t + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 18t + 6 = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{1}{3}$.

Suy ra $H\left( { - \frac{4}{3};\frac{7}{3}; - \frac{1}{3}} \right)$$\Rightarrow d\left( {I,\Delta } \right) = IH = 2\sqrt 3$.

Suy ra ${R^2} = A{I^2} + I{H^2} = {8^2} + {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} = 76$. Vậy ${R^2} = 76$.