Đề kiểm tra Phương trình mặt cầu lớp 12 (có lời giải) - Đề 1

Chọn B

Ta xác định các hệ số tương ứng như sau : $a = 0;b = \frac{2}{{ - 2}} = - 1;c = \frac{{ - 4}}{{ - 2}} = 2;\,d = - 5$.

Tọa độ tâm $I\left( {0;\, - 1;\,2} \right)$.

Bán kính $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} = \sqrt {10}$.

Vậy tâm $I\left( {0;\, - 1;\,2} \right)$ và $R = \sqrt {10}$.

Chọn D

Phương trình mặt cầu tâm $I\left( {2;3; - 3} \right)$ và có bán kính $R = 3$ là

${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 9$.

Chọn A

Phương trình mặt cầu cần tìm có dạng: ${\left( {x - 0} \right)^2} + {\left( {y - 0} \right)^2} + {\left( {z - 0} \right)^2} = {5^2}$

Hay ${x^2} + {y^2} + {z^2} = 25$.

Chọn B

Phương trình mặt cầu cần tìm có dạng: ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 0} \right)^2} + {\left( {z - \left( { - 3} \right)} \right)^2} = {5^2}$.

Hay ${\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = {5^2}$.

Chọn D

Bán kính mặt cầu thỏa mãn ${R^2} = K{B^2} = {\left( {3 - 4} \right)^2} + {\left( { - 4 + 2} \right)^2} + {\left( { - 1 - 1} \right)^2} = 9$

Phương trình mặt cầu cần tìm có dạng: ${\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9$.

Hay ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x + 4y - 2z + 12 = 0$.

Gọi $I$ là trung điểm của $AB$$\Rightarrow I\left( {2;1;4} \right)$, bán kính $R = IA = \sqrt {11}$.

Phương trình mặt cầu cần tìm có dạng: ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 11$.

Gọi $I$ là trung điểm của $AB$ $\Rightarrow$ $I\left( {\frac{1}{2}\,;\,0\,;\,0} \right)$ là tâm của mặt cầu.

Bán kính của mặt cầu là $R = IA = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} = \frac{{\sqrt {33} }}{2}$.

Vậy phương trình mặt cầu đường kính $AB$ là ${\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = \frac{{33}}{4}$.

Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng nên bán kính $R = d\left( {I,\left( {Oyz} \right)} \right) = \frac{{\left| { - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} }} = 2$.

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là ${\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 4$.

Từ phương trình của mặt cầu $\left( S \right)$, suy ra $a = - \frac{1}{2}$; $b = 1$; $c = - 2$; $d = - 3$.

Nên ${a^2} + {b^2} + {c^2} - d = \frac{{33}}{4} \Rightarrow R = \frac{{\sqrt {33} }}{2}$.

Khu vực phủ sóng của thiết bị là một vùng không gian có dạng hình cầu có tâm là $I\left( { - 1;2;4} \right)$, bán kính $R = 4$.

Ta có: $IM = \sqrt {21} > R$; $IP = \sqrt {42} > R$; $IQ = \sqrt {26} > R$ nên 3 vị trí $M,P,Q$ không thu được sóng từ thiết bị; còn $IN = 3 < R$ nên ở vị trí $N$ sẽ thu được sóng.

Gọi $M\left( {a;b;c} \right)$. Khi đó ta có:

${\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {b - 6} \right)^2} + {\left( {c - 3} \right)^2} = 36 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2a - 12b - 6c + 10 = 0$ (1)

${\left( {a - 4} \right)^2} + {\left( {b - 8} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2} = 49 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - 8a - 16b - 2c + 32 = 0$ (2)

${\left( {a - 9} \right)^2} + {\left( {b - 6} \right)^2} + {\left( {c - 7} \right)^2} = 144 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - 18a - 12b - 14c + 22 = 0$ (3)

${\left( {a + 15} \right)^2} + {\left( {b - 18} \right)^2} + {\left( {c - 7} \right)^2} = 576 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 30a - 36b - 14c + 22 = 0$ (4)

Giải hệ gồm 4 phương trình trên ta được $a = 1;b = 2;c = - 1$. Nên $M\left( {1;2; - 1} \right)$.

a) Đúng.

Mặt cầu $\left( S \right):$${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}$ có tâm $I\left( {a;b;c} \right)$ và bán kính $R$.

b) Sai.

Thay $x = y = z = 0$ vào phương trình của $\left( S \right)$, được: ${\left( {0 - 1} \right)^2} + {\left( {0 + 2} \right)^2} + {0^2} = 9$, vô lí.

Vậy $\left( S \right)$ không đi qua gốc tọa độ $O$.

c) Sai.

Vì $IM = \sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2 + 2} \right)}^2} + {{\left( {4 - 0} \right)}^2}} = 4 > R = 3$ nên $M$ nằm ngoài $\left( S \right)$.

d) Đúng.

Gọi $A\left( {0;0;a} \right)$ là giao điểm của $\left( S \right)$ với trục $Oz$.

Vì $A \in \left( S \right)$ nên ${\left( {0 - 1} \right)^2} + {\left( {0 + 2} \right)^2} + {a^2} = 9 \Leftrightarrow {a^2} = 4$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = - 2\\a = 2\end{array} \right.$.

Vậy $\left( S \right)$ cắt trục $Oz$ tại các điểm có tọa độ $\left( {0\,;\,0\,;\,2} \right)$ và $\left( {0\,;\,0\,;\, - 2} \right)$.

a) Đúng.

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm là $I\left( { - 1;\, - 2;\, - 3} \right)$.

b) Sai.

Ta có: $IM = \sqrt {{{\left( { - 1 + 1} \right)}^2} + {{\left( { - 3 + 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2 + 3} \right)}^2}} = \sqrt 2$.

c) Đúng.

Ta có $IM = \sqrt 2$ và mặt cầu $\left( S \right)$ có bán kính $R = \sqrt {14}$$\Rightarrow IM < R$.

Vậy điểm $M$ nằm trong mặt cầu $\left( S \right)$.

d) Sai.

Do điểm $M$ nằm trong mặt cầu $\left( S \right)$ nên mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $M$ luôn cắt mặt cầu $\left( S \right)$ theo giao tuyến là một đường tròn.

Gọi $H$ là tâm của đường tròn giao tuyến $\Rightarrow IH \bot \left( P \right)$, do đó bán kính đường tròn giao tuyến là $r = \sqrt {{R^2} - I{H^2}} = \sqrt {14 - I{H^2}}$. Suy ra bán kính $r$ nhỏ nhất khi $IH$ lớn nhất.

Ta có: $IH \le IM \Leftrightarrow IH \le \sqrt 2 \, \Rightarrow \max IH = \sqrt 2$ khi $M$ trùng $H$, khi đó $IM \bot \left( P \right)$.

Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $M$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {IM} = \left( {0;\, - 1;\,1} \right)$.

Vậy phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là $0.\left( {x + 1} \right) - \left( {y + 3} \right) + \left( {z + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow y - z + 1 = 0$.

a) Ta có trung điểm $I$ của $AB$ có tọa độ là:

${x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \frac{{1 + \left( { - 3} \right)}}{2} = - 1;\,{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \frac{{2 + 0}}{2} = 1;\,{z_I} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2} = \frac{{\left( { - 5} \right) + 1}}{2} = - 2$

Vậy $I\left( { - 1;1; - 2} \right)$. Do đó mệnh đề a) sai.

b) Mặt cầu nhận $AB$ là đường kính nên nhận $I$ là tâm mặt cầu.

Bán kính $R = IA = \sqrt {{{\left( { - 1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {1 - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2 + 5} \right)}^2}} = \sqrt {14}$

Phương trình mặt cầu là: ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 14$

Vậy mệnh đề b) đúng.

c) Phương trình mặt cầu có tâm là $A,$ đi qua $B$ nên có bán kính $R = AB = \sqrt {{{\left( {1 + 3} \right)}^2} + {{\left( {2 - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 5 - 1} \right)}^2}} = 2\sqrt {14}$

Do đó phương trình mặt cầu là:

${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 5} \right)^2} = {\left( {2\sqrt {14} } \right)^2} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y + 10z - 26 = 0$

Vậy mệnh đề c) sai.

d) Phương trình mặt cầu $S$ có dạng: ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$

Gọi $J$ là tâm mặt cầu $S$, vì $J \in Ox \Rightarrow J\left( {a;0;0} \right) \Rightarrow b = 0,c = 0$

Do đó phương trình mặt cầu có dạng: ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax + d = 0$.

Vì $A\left( {1;2; - 5} \right)$ thuộc mặt cầu $S$ nên ta thay vào được: $- 2a + d = - 30$.

Vì $B\left( { - 3;0;1} \right)$ thuộc mặt cầu $S$ nên ta thay vào được: $6a + d = - 10$.

Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} - 2a + d = - 30\\6a + d = - 10\end{array} \right. \Leftrightarrow a = \frac{5}{2},d = - 25$.

$R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} = \sqrt {{{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^2} - \left( { - 25} \right)} = \frac{{5\sqrt 5 }}{2}$. Vậy mệnh đề d) sai.

a) Sai.

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 4;4} \right)$ suy ra $AB = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {4^2}} = 6$.

b) Đúng.

Gọi $I$ là trung điểm của $AB$ suy ra $I\left( {3;1; - 2} \right)$.

Mặt cầu $\left( S \right)$ đường kính $AB$ có tâm $I\left( {3;1; - 2} \right)$ và bán kính $R = 3$.

Phương trình mặt cầu .

c) Sai.

Ta có $d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {3 - 2.1 + 2.\left( { - 2} \right) - 15} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} }} = 6 > R$

Suy ra mặt cầu $\left( S \right)$ không tiếp xúc mặt phẳng $\left( P \right)$.

d) Đúng.

Bán kính mặt cầu $\left( S \right)$ là $R = 3$.

Ta có $\overrightarrow {AM} = \left( {0; - 2;3} \right)$, $AM = \sqrt {13} > R$ suy ra không sử dụng được dịch vụ ở trạm thu phát sóng vị trí $A$.

Ta có $\overrightarrow {BM} = \left( { - 2;2; - 1} \right)$, $BM = 3 = R$ suy ra sử dụng được dịch vụ ở trạm thu phát sóng vị trí $B$.

Vậy người sử dụng có thể sử dụng được dịch vụ.

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1;2;1} \right)$ và bán kính $R = IA = \sqrt 6$ là:

${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 6$$\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 2z = 0$.

Suy ra $a = 1;b = 2;c = 1;d = 0$.

Vậy $P = 8$.

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {\frac{5}{4};\frac{{ - 1}}{2};\frac{5}{4}} \right)$ là trung điểm $AB$ và bán kính $R = \frac{{AB}}{2} = \frac{{\sqrt {14} }}{4}$

Suy ra $\left( S \right):{\left( {x - \frac{5}{4}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{5}{4}} \right)^2} = \frac{7}{8} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - \frac{5}{2}x + y - \frac{5}{2}z + \frac{5}{2} = 0$

Khi đó ta có $a = \frac{5}{4};b = \frac{{ - 1}}{2};c = \frac{5}{4};d = \frac{5}{2} \Rightarrow P = \frac{9}{2}$.

Vậy $m = 9,n = 2 \Rightarrow m + n = 11.$

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1;2;3} \right)$ và bán kính $R = d\left( {I;P} \right) = \frac{{\left| {1 + 2.2 - 2.3 + 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 1$ là:

$\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z + 13 = 0$.

Suy ra $a = 1;b = 2;c = 3;d = 13 \Rightarrow P = - 13.$

Gọi $D\left( {x;y;z} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AD} = \left( {x + 2;y;z} \right);\,\,\overrightarrow {BD} = \left( {x;y + 2;z} \right);\,\,\overrightarrow {CD} = \left( {x;y;z + 2} \right)$.

Vì $DA,DB,DC$ đôi một vuông góc nên:

$\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BD} = 0\\\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {CD} = 0\\\overrightarrow {BD} .\overrightarrow {CD} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\left( {x + 2} \right) + y\left( {y + 2} \right) + {z^2} = 0\\x\left( {x + 2} \right) + {y^2} + z\left( {z + 2} \right) = 0\\{x^2} + y\left( {y + 2} \right) + z\left( {z + 2} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = z = - \frac{4}{3}$.

$I\left( {a;b;c} \right)$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$ nên:

$\left\{ \begin{array}{l}IA = IB\\IA = IC\\IA = ID\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a + 2} \right)^2} + {b^2} + {c^2} = {a^2} + {\left( {b + 2} \right)^2} + {c^2}\\{\left( {a + 2} \right)^2} + {b^2} + {c^2} = {a^2} + {b^2} + {\left( {c + 2} \right)^2}\\{\left( {a + 2} \right)^2} + {b^2} + {c^2} = {\left( {a + \frac{4}{3}} \right)^2} + {\left( {b + \frac{4}{3}} \right)^2} + {\left( {c + \frac{4}{3}} \right)^2}\end{array} \right.$.

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b\\a = c\\4a + 4 = 8a + \frac{{16}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = \frac{{ - 1}}{3}$. Vậy $a + b + c = - 1$.

Gọi $H\left( {2t;3t - 1; - t + 4} \right) \in \left( d \right)$ là điểm tiếp xúc của mặt cầu và đường thẳng $\left( d \right)$

Khi đó $\overrightarrow {IH} = \,\left( {2t - 1;\,3t - 2;\, - t + 6} \right)$

Do mặt cầu tiếp xúc với đường thẳng $\left( d \right):\,\,\frac{x}{2} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z - 4}}{{ - 1}}$ có VTCP $\overrightarrow u \,\left( {2;3; - 1} \right)$

Nên $\overrightarrow {IH} .\overrightarrow u = 0 \Leftrightarrow 2\left( {2t - 1} \right) + 3\left( {3t - 2} \right) - ( - t + 6) = 0 \Leftrightarrow t = 1$

Hay $\overrightarrow {IH} = \left( {1;1;5} \right) \Rightarrow IH = \sqrt {27}$

Vậy phương trình mặt cầu là ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 27$.

Suy ra bán kính mặt cầu là $R = \sqrt {27} = 3\sqrt 3 \approx 5{,}2$.

Giả sử mặt cầu $\left( S \right)$ có phương trình $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 6y + 2m = 0$.

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( { - 2;3;0} \right)$ và bán kính $R = \sqrt {13 - 2m}$ với $m < \frac{{13}}{2}$.

Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M\left( {4;3;3} \right)$ và có một vtcp là $\overrightarrow u = \left( {2;1;2} \right)$.

Khoảng cách từ tâm $I$ đến đường thẳng $\Delta$ bằng

$d = d\left( {I;\Delta } \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IM} ,\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = 3$.

Vì đường thẳng ${\rm{\Delta }}$ cắt mặt cầu $\left( S \right)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ sao cho $AB = 8$ nên ta có ${d^2} + \frac{{A{B^2}}}{4} = {R^2} \Leftrightarrow {3^2} + 16 = 13 - 2m \Leftrightarrow m = - 6$. ( thỏa điều kiện).

Suy ra bán kính mặt cầu là $R = \sqrt {13 - 2.\left( { - 6} \right)} = 5$.