Đề kiểm tra Phương trình đường thẳng trong không gian lớp 12 (có lời giải) - Đề 2

Ta có: $\frac{{2 - 2}}{1} = \frac{{1 - 1}}{{ - 2}} = \frac{{ - 1 + 1}}{3} = 0$(đúng)

$\frac{{1 - 2}}{1} = \frac{{3 - 1}}{{ - 2}} = \frac{{2 + 1}}{3}$(Sai)

$\frac{{1 - 2}}{1} = \frac{{3 - 1}}{{ - 2}} = \frac{{ - 4 + 1}}{3}$(đúng)

$\frac{{4 - 2}}{1} = \frac{{ - 3 - 1}}{{ - 2}} = \frac{{5 + 1}}{3}$(đúng)

Do đó chọn B

$d$có VTCP $\overrightarrow u = \left( {2; - 2;1} \right)$và đi qua $M\left( {1;2;0} \right)$.

$d'$có VTCP $\overrightarrow {u'} = \left( { - 2;3;1} \right)$và đi qua $M'\left( {0; - 5;4} \right)$.

Từ đó ta có:

$\overrightarrow {MM'} = \left( { - 1; - 7;4} \right)$và $\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 2}&1\\3&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&2\\1&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&{ - 2}\\{ - 2}&3\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 5\,; - 4\,;2} \right) \ne \overrightarrow 0$.

Lại có $\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'} = ( - 1).( - 5) + ( - 7).( - 4) + 4.2 = 41 \ne 0$.

Suy ra $d$ chéo nhau với $d'$.

Ta có $\overrightarrow {{n_1}} = \left( { - 2;1;3} \right),\,\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1; - 1;m} \right)$

${d_1} \bot {d_2} \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} = 0$ $\Leftrightarrow - 2 - 1 + 3m = 0 \Leftrightarrow m = 1$

Ta có $\left( \alpha \right):4x + 3y - 7z + 1 = 0$$\Rightarrow {\overrightarrow n _{\left( \alpha \right)}} = \left( {4\,;3\,; - 7} \right)$ là VTPT của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$.

Mà đường thẳng $d \bot \left( \alpha \right)$ $\Rightarrow {\overrightarrow n _{\left( \alpha \right)}} = \left( {4\,;3\,; - 7} \right)$ là VTCP của đường thẳng $d$.

Ta lại có $A\left( {1\,;2\,;3} \right) \in d$.

Suy ra phương trình chính tắc của đường thẳng $d$ là: $\frac{{x - 1}}{4} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 3}}{{ - 7}}$.

Cách 1:

Ta có: Trong thời gian từ $0$ đến $3$giây phương trình mô tả quỹ đạo chuyển động của viên đạn là:

$d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + \frac{1}{3}t\\y = 2 + \frac{1}{3}t\\z = 4 + \frac{2}{3}t\end{array} \right.$

với $t = 3$ ta được điểm $M\left( {2;\,3;\,6} \right)$.

Cách 2: Sau 3 giây viên đạn sẽ tới mục tiêu là điểm $M$ sao cho $\overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow v$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = 1 + 1 = 2\\{y_M} = 2 + 1 = 3\\{z_M} = 4 + 2 = 6\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {2;\,3;\,6} \right)$

Ta có $\overrightarrow {{u_d}} = \left( {1\,;2\,;3} \right),\,\overrightarrow {{u_d}} = \left( {1\,;2\,; - 3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{u_{d'}}} } \right] = \left( { - 12;6;0} \right)$

Mặt khác $\left( \alpha \right)$ qua ${M_0}\left( { - 1;2; - 1} \right)$$\Rightarrow \left( \alpha \right): - 12\left( {x + 1} \right) + 6\left( {y - 2} \right) + 0\left( {y + 1} \right) = 0$

$$\Leftrightarrow \left( \alpha \right):2x - y + 4 = 0$$

Ta có $\left( d \right)\parallel \left( {d'} \right)$ và $\overrightarrow {{u_d}} = \left( {1\,;2\,; - 2} \right)$,${M_0}\left( { - 1;2; - 1} \right) \in d:{M_{0'}}\left( {1;2;0} \right) \in d'$

$\Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{M_0}{M_{0'}}} } \right] = \left( {2; - 5; - 4} \right)$

Mặt khác $\left( \alpha \right)$ qua ${M_0}\left( { - 1;2; - 1} \right)$$\Rightarrow \left( \alpha \right):2\left( {x + 1} \right) - 5\left( {y - 2} \right) - 4\left( {y + 1} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left( \alpha \right):2x - 5y - 4z + 8 = 0$.

a) Đ

b) Đ

c) Đ

d) S

* Phương án a) đúng.

* Phương án b) đúng: $\frac{{ - 2}}{4} \ne \frac{1}{{ - 2}}$

* Phương án c) đúng:

Đường thẳng $d$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow v = ( - 2;1;1)$ và đi qua điểm $M(7;3;2)$ nên phương trình tham số của $d$ là: $\left\{ \begin{array}{l}x = 7 + 2u\\y = 3 - u\\z = 2 - u\end{array} \right.,\,u \in \mathbb{R}$.

* Phương án d) sai: Do hai đường thẳng d và d' có cặp vecto chỉ phương không cùng phương nên chúng chéo nhau hoặc cắt nhau.

Xét hệ $\left\{ \begin{array}{l}3 + 4t = 7 + 2u\\5 - 2t = 3 - u\\3 - t = 2 - u\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4t - 2u = 4\\ - 2t + u = - 2\\ - t + u = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 0\\t = 1\end{array} \right.$

Hệ có nghiệm duy nhất nên hai đường thẳng d và d' cắt nhau tại điểm $M(7;3;2)$.

a) Đ

b) Đ

c) S

d) Đ

* Phương án a) đúng.

* Phương án b) đúng.

* Phương án c) sai: Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A$ và song song với đường thẳng $d$ nên có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_\Delta }} = \overrightarrow u = \left( {2; - 1;1} \right)$. Suy ra phương trình tham số đường thẳng $\Delta$ là: $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 3 - t\\z = 4 + t\end{array} \right.,\,t \in \mathbb{R}$.

* Phương án d) đúng: Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A$ và song song với đường thẳng $d$ có phương trình chính tắc là: $\frac{x}{2} = \frac{{y - 4}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{1}$.

Đường thẳng $d$ có 1 VTCP $\overrightarrow {{u_d}} = \left( {1;\, - 2;2} \right)$

Mặt phẳng $\left( P \right)$ có 1 VTPT $\overrightarrow n = \left( {1;1; - 2} \right)$, gọi $\overrightarrow u$ là 1 VTCP của đường thẳng $\Delta$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\Delta \bot d\\\Delta //\left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u \bot \overrightarrow {{u_d}} \\\overrightarrow u \bot \overrightarrow n \end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow n } \right] = \left( {2;4;3} \right)$.

Suy ra PTTS của đường thẳng $\Delta$ :$\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = 1 + 4t\\z = 3 + 3t\end{array} \right.$. Chọn $t = 1 \Rightarrow \Delta$đi qua điểm $M\left( {5;5;6} \right)$

Suy ra PTCT của đường thẳng $\Delta$: $\frac{{x - 5}}{2} = \frac{{y - 5}}{4} = \frac{{z - 6}}{3}$$\Rightarrow a = - 5,b = 2,c = 4,d = - 6 \Rightarrow M = - 5$.

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 1\,;\,3\,;\,1} \right)$; $\overrightarrow {AC} = \left( {1\,;\, - 1\,;\,0} \right)$; ${\vec n_{\left( {ABC} \right)}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} } \right]$$= \left( {1\,;\,1\,;\, - 2} \right)$.

Đường thẳng đi qua $D$và vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$nên có véc tơ chỉ phương là${\vec n_{\left( {ABC} \right)}} = \left( {1\,;\,1\,; - 2} \right)$, phương trình tham số là: $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1 + t\\z = - 3 - 2t\end{array} \right.$. Chọn $t = 1 \Rightarrow M\left( {2;2; - 5} \right)$.

Suy ra $a = 2;b = - 5 \Rightarrow {a^b} = {2^{ - 5}} = 0{,}03.$

$d:\,\frac{{x - 2}}{2} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{z}{4}$$\Rightarrow d$ qua $M\left( {2;0;0} \right)$ và nhận $\overrightarrow u = \left( {2; - 1;4} \right)$ làm một VTCP

$\Delta :\,\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{4}$$\Rightarrow \Delta$ qua $N\left( {1;2; - 1} \right)$ và nhận $\overrightarrow u = \left( {2; - 1;4} \right)$ làm một VTCP

Thế tọa độ điểm $M\left( {2;0;0} \right)$vào đường thẳng $\Delta$, ta được: $\frac{1}{2} \ne \frac{{ - 2}}{{ - 1}} \ne \frac{1}{4}$$\Rightarrow d//\Delta$.

$\overrightarrow {MN} = \left( { - 1;2; - 1} \right)$. $\left( P \right)$ chứa $d$ và $\Delta$$\Rightarrow \overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow {MN} } \right] = \left( {7; - 7;7} \right)$

Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$:$x - y + z - 2 = 0$

$\Rightarrow a = 1,b = - 1;c = - 2 \Rightarrow a + b + c = - 2$.

Phương trình mô tả quỹ đạo chuyển động của viên đạn là : $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 + t\\z = 3 + 5t\end{array} \right.{\rm{ }}\left( 1 \right)$.

Khi viên đạn trúng mục tiêu tại điểm $B\left( { - 5;a;b} \right)$thì tọa độ của điểm $B$ thỏa $\left( 1 \right)$, tức là $\left\{ \begin{array}{l} - 5 = 1 + 2t\\a = 2 + t\\b = 3 + 5t\end{array} \right.{\rm{ }} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = - 3\\a = 2 + t\\b = 3 + 5t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = - 3\\a = - 1\\b = - 12\end{array} \right. \Rightarrow {b^a} = - 0{,}1.$

Gọi $M = d \cap d' \Rightarrow M\left( {1;2;4} \right)$.

Ta có $N \in d' \Rightarrow N\left( {1;2;1 + 3t'} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {0;0;3t' - 3} \right)$. Theo giả thiết $MN = 6$

Suy ra $\left| {3t' - 3} \right| = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t' = 3\\t' = - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}N\left( {1;2;7} \right)\\N\left( {1;2; - 2} \right)\end{array} \right.$. Vì $c < 0 \Rightarrow$nhận $N\left( {1;2; - 2} \right)$

Vậy $a = 1,b = 2,c = - 2 \Rightarrow a - b + c = - 5.$

Gọi $B = \Delta \cap \left( P \right) \Rightarrow$tọa độ điểm $B$ là nghiệm của hệ phương trình

$\left\{ \begin{array}{l}x + 2y + z - 6 = 0\\\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\\z = 2\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {2;1;2} \right)$

Vì $d \subset \left( P \right)$ và $d$ cắt $\Delta \Rightarrow B \in d \Rightarrow d$ đi qua $A\left( {1;1;3} \right)$ và nhận $\overrightarrow {AB} = \left( {1;0; - 1} \right)$ làm một VTCP.

Suy ra PTTS của $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1\\z = 3 - t\end{array} \right. \Rightarrow a = 1,b = - 1 \Rightarrow M = 2025.$