Đề kiểm tra Phương trình đường thẳng trong không gian lớp 12 (có lời giải) - Đề 1

Thay tọa độ của điểm $M(3;4; - 5)$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta có $\frac{{3 - 3}}{2} = \frac{{4 - 4}}{{ - 5}} = \frac{{ - 5 + 5}}{3}.$

Do đó $M \in d$

Đường thẳng ${d_1}:\frac{x}{{ - 2}} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 3}}{1}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 2;1;1} \right)$ và đi qua điểm $A\left( {0; - 1;3} \right)$.

Đường thẳng ${d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 4t\\y = - 2 + 2t\\z = 3 + 2t\end{array} \right.$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 4;2;2} \right).$

Ta có $\overrightarrow {{u_1}} = \frac{1}{2}\overrightarrow {{u_2}}$ và $A \notin {d_2}$. Do đó ${d_1}//{d_2}.$

Đường thẳng ${d_1}:\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y + 1}}{4} = \frac{{z - 5}}{m}\,\left( {m \ne 0} \right)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {3;4;m} \right)$.

Đường thẳng ${d_2}\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = 2t\\z = 3 + t\end{array} \right.$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 1;2;1} \right).$

Để ${d_1} \bot {d_2} \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} = 0 \Leftrightarrow 3.\left( { - 1} \right) + 4.2 + m.1 = 0 \Leftrightarrow m = - 5$

Xét hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}3 + t = 6 - t'\\2 - 3t = 1 - t'\\5 + 2t = 3 + 2t'\end{array} \right.$ có nghiệm $\left( {t;t'} \right) = \left( {1;2} \right)$.

Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng $\Delta$ và $d$ là $I\left( {4; - 1;7} \right)$

Phương trình mô tả quỹ đạo chuyển động của viên đạn là $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 + 3t\\z = - 1 - 2t\end{array} \right..$

Lần lượt thay tọa độ các điểm vào phương trình quỹ đạo chuyển động của viên đạn ta thấy tọa độ các điểm $M,N,Q$ không thỏa mãn phương trình. Do đó viên đạn không bắn trúng mục tiêu ở các điểm này.

Thay tọa độ điểm $P$ vào phương trình mô tả quỹ đạo chuyển động của viên đạn ta có $\left\{ \begin{array}{l}4 = 2 + t\\7 = 1 + 3t\\ - 5 = - 1 - 2t\end{array} \right. \Leftrightarrow t = 2$.

Vậy viên đạn bắn trúng mục tiêu đặt ở điểm $P$.

Đường thẳng $d$ và $d'$ có vectơ chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow {{u_d}} = \left( {1; - 1; - 3} \right)$ và $\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left( { - 1;2;0} \right)$

Mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau $d$ và $d'$ nên có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ;\overrightarrow {{u_{d'}}} } \right] = \left( {6;3;1} \right)$.

Mặt khác, mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = - 1 - t\\z = 12 - 3t\end{array} \right.$ nên mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa điểm $M\left( {1; - 1;12} \right)$.

Vậy phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là: $6\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y + 1} \right) + 1\left( {z - 12} \right) = 0 \Leftrightarrow 6x + 3y + z - 15 = 0$

Đường thẳng $d$ và $d'$ lần lượt chứa hai điểm $M\left( {3; - 1; - 1} \right)$ và $N\left( {0;0;1} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {MN} = \left( { - 3;1;2} \right)$, vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ là $\overrightarrow {{u_d}} = \left( {1; - 2;1} \right)$.

Mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa hai đường thẳng $d$ và $d'$ nên có vectơ pháp tuyến là

$\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ;\overrightarrow {MN} } \right] = \left( { - 5; - 5; - 5} \right)$ hay có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;1;1} \right)$.

Mặt khác, mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = - 1 - 2t\\z = - 1 + t\end{array} \right.$ nên mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa điểm $M\left( {3; - 1; - 1} \right)$.

Vậy phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là: $x + y + z - 1 = 0$.

Đường thẳng $\Delta$ có một VTCP là $\overrightarrow u = \left( {2;1; - 5} \right)$.Vậy mệnh đề A. Sai.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}5 = 1 + 2t\\5 = 3 + t\\ - 6 = 4 - 5t\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow t = 2.$ Vậy mệnh đề B. Đúng.

Ta có : $\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {2;1; - 5} \right)$ và $\overrightarrow {{u_d}} = \left( {3;4;2} \right)$. Dễ thấy: $\overrightarrow {{u_\Delta }} .\overrightarrow {{u_d}} = 0$. Vậy mệnh đề C. Đúng.

Ta có: $y = 0 \Leftrightarrow 3 + t = 0 \Leftrightarrow t = - 3$ nên điểm $M\left( { - 5;0;19} \right)$ là giao điểm của đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $\left( {Oxz} \right)$ . Vậy mệnh đề D. Đúng.

Đường thẳng ${\Delta _1}$ có một VTCP là: $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1; - 1;2} \right)$ và đi qua điểm $A\left( {1;2; - 1} \right)$.Vậy mệnh đề A. Sai.

Ta có: $\frac{{10 - 4}}{3} = \frac{{1 + 1}}{1} = \frac{{ - 2}}{{ - 1}}$ là mệnh đề đúng. Vậy mệnh đề B. Đúng.

Ta có : $\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {2;1; - 5} \right)$ và $\overrightarrow {{u_d}} = \left( {3;4; - 2} \right)$. Dễ thấy: $\overrightarrow {{u_\Delta }} .\overrightarrow {{u_d}} = 0$. Vậy mệnh đề C. Đúng.

Ta có: Đường thẳng ${\Delta _1}$ có một VTCP là: $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1; - 1;2} \right)$ và đi qua điểm $A\left( {1;2; - 1} \right)$. Đường thẳng ${\Delta _2}$ có một VTCP là: $\overrightarrow {{u_2}} = \left( {3;1; - 1} \right)$ và đi qua điểm $M\left( {10;1; - 2} \right)$.

Ta có: $\overrightarrow {MA} = \left( {9; - 1; - 1} \right)$ và $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {MA} = - 20$.Vậy mệnh đề D. Đúng.

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {2;2;6} \right)$ . Nên Một vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$ là: $\overrightarrow u = \left( {1;1;3} \right)$.Vậy mệnh đề A. Đúng.

Ta có: Phương trình tham số của đường thẳng $AB$ là: $\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 5 + t\\z = 9 + 3t\end{array} \right.\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$. Vậy mệnh đề B. Sai.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}4 = 3 + t\\6 = 5 + t\\9 = 9 + 3t\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\t = 1\\t = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow t \in \emptyset$. Vậy mệnh đề C.Sai.

Ta có: $\overrightarrow {{u_d}} = \left( {1;1;3} \right)$ và điểm $C \in d$ . Vậy mệnh đề D. Đúng.

Đường thẳng ${\Delta _1}$ có một VTCP là: $\overrightarrow u = \left( {1; - 1;2} \right)$ và đi qua điểm $A\left( { - 1;4; - 5} \right)$.Vậy mệnh đề A. Đúng.

Ta có: Đường thẳng ${\Delta _2}$ cắt trục toạ độ $Oz$ tại $M\left( {0;0;2} \right)$ . Vậy mệnh đề B. Sai.

Ta có : $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1; - 1;2} \right)$ và $\overrightarrow {{u_2}} = \left( {2;1; - 1} \right)$. Dễ thấy: $\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{u_d}}$ không cùng phương.Vậy mệnh đề C.Sai.

Ta có: Đường thẳng ${\Delta _1}$ có một VTCP là: $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1; - 1;2} \right)$ và đi qua điểm $A\left( { - 1;4; - 5} \right)$. Đường thẳng ${\Delta _2}$ có một VTCP là: $\overrightarrow {{u_2}} = \left( {2;1; - 1} \right)$ và đi qua điểm $M\left( { - 4; - 2;4} \right)$.

Ta có: $\overrightarrow {MA} = \left( { - 3; - 6;9} \right)$ và $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {MA} = 0$. Vậy mệnh đề D. Sai.

Các véc tơ chỉ phương của đường thẳng $AB$ có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của hình hộp gồm: $\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {BA} ,\,\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {B'A'} ,\overrightarrow {D'C'} ,\overrightarrow {C'D'}$. Có tất cả là 8 véc tơ.

+) Thay tọa độ của điểm $A$ vào phương trình đường thẳng $\Delta$ ta được:

$\frac{0}{2} = \frac{{1 - 1}}{3} = \frac{{ - 2 + 2}}{{ - 1}} \Leftrightarrow 0 = 0 = 0$ điều này là đúng, do đó $A \in \Delta$.

+) Thay tọa độ của điểm $B$ vào phương trình đường thẳng $\Delta$ ta được:

$\frac{2}{2} = \frac{{4 - 1}}{3} = \frac{{ - 3 + 2}}{{ - 1}} \Leftrightarrow 1 = 1 = 1$ điều này là đúng, do đó $B \in \Delta$.

+) Thay tọa độ của điểm $C$ vào phương trình đường thẳng $\Delta$ ta được:

$\frac{4}{2} = \frac{{7 - 1}}{3} = \frac{{1 + 2}}{{ - 1}} \Leftrightarrow 2 = 2 = - 3$ điều này là vô lí, do đó $C \notin \Delta$.

+) Thay tọa độ của điểm $D$ vào phương trình đường thẳng $\Delta$ ta được:

$\frac{{ - 2}}{2} = \frac{{ - 2 - 1}}{3} = \frac{{ - 1 + 2}}{{ - 1}} \Leftrightarrow - 1 = - 1 = - 1$ điều này là đúng, do đó $D \in \Delta$.

Vậy có $3$ điểm thuộc đường thẳng $\Delta$ là $A,\,\,B,\,\,D$.

+) Thay tọa độ của điểm $A$ vào phương trình đường thẳng $\Delta$ ta được:

$\left\{ \begin{array}{l}1 = 1 + 2t\\0 = - t\\2 = 2 + t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 0\\t = 0\\t = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow t = 0$. Hệ có nghiệm, do đó $A \in \Delta$.

+) Thay tọa độ của điểm $B$ vào phương trình đường thẳng $\Delta$ ta được:

$\left\{ \begin{array}{l}3 = 1 + 2t\\ - 1 = - t\\1 = 2 + t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\t = 1\\t = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow t \in \emptyset$. Hệ vô nghiệm, do đó $B \notin \Delta$.

+) Thay tọa độ của điểm $C$ vào phương trình đường thẳng $\Delta$ ta được:

$\left\{ \begin{array}{l}5 = 1 + 2t\\ - 2 = - t\\4 = 2 + t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 2\\t = 2\\t = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow t = 2$. Hệ có nghiệm, do đó $C \in \Delta$.

+) Thay tọa độ của điểm $D$ vào phương trình đường thẳng $\Delta$ ta được:

$\left\{ \begin{array}{l} - 1 = 1 + 2t\\1 = - t\\ - 1 = 2 + t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = - 1\\t = - 1\\t = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow t \in \emptyset$. Hệ vô nghiệm, do đó $D \notin \Delta$.

Vậy có $2$ điểm không thuộc đường thẳng $\Delta$ là $\,B,\,\,D$.

+) $\Delta$ có VTCP $\overrightarrow u = \left( { - m;2m; - 4} \right)$, $d$ có VTCP $\overrightarrow v = \left( {2; - 3;1} \right)$.

+) $\Delta \bot d \Leftrightarrow \overrightarrow u .\overrightarrow v = 0 \Leftrightarrow \left( { - m} \right).2 + 2m.\left( { - 3} \right) + \left( { - 4} \right).1 = 0 \Leftrightarrow m = - \frac{1}{2} = - 0{,}5$.

+) $d$ có PTTS $\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 - s\\y = 6 + 2s\\z = - 3 - 2s\end{array} \right.$.

+) Để xét VTTĐ của $\Delta$ và $d$ ta xét hệ: $\left\{ \begin{array}{l}2 - t = - 1 - s\\2t = 6 + 2s\\1 - t = - 3 - 2s\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t - s = 3\\t - s = 3\\t - 2s = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 2\\s = - 1\end{array} \right.$.

Hệ có nghiệm duy nhất nên $\Delta$ và $d$ cắt nhau. Thay $t = 2$ vào phương trình $\Delta$ (hoặc thay $s = - 1$ vào phương trình của $d$) ta được tọa độ giao điểm của $\Delta$ và $d$ là $M\left( {0;4; - 1} \right) \Rightarrow a + b + c = 0 + 4 + \left( { - 1} \right) = 3.$

+) $\Delta$ có VTCP là $\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 3;4} \right) = \frac{1}{2}\left( {2; - 6;8} \right) \Rightarrow b = - 6,c = 8$.

+) Thay tọa độ điểm $B$ vào phương trình $\Delta$ ta được:

$\left\{ \begin{array}{l}2 = 2t\\ - 1 = {y_0} - 6t\\3 = {z_0} + 8t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\{y_0} = 5\\{z_0} = - 5\end{array} \right.$

Từ đó ta có: ${y_0} + {z_0} + b + c = 5 - 5 - 6 + 8 = 2$.