Đề kiểm tra Phương trình đường thẳng lớp 10 (có lời giải) - Đề 3

Ta có $d \bot \Delta$ nên $d$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {2;3} \right).$

Mà đường thẳng $d$ đi qua $A\left( {1; - 2} \right)$ nên phương trình tổng quát của đường thẳng $d$ là:

$2\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 3y + 4 = 0.$

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng $d:2x + 3y + 4 = 0.$

Đường thẳng $d$ có phương trình tham số $\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y = 5 - t\end{array} \right.$.

Vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ là $\overrightarrow u \, = \left( {2; - 1} \right)$.

Đường thẳng $d$ có phương trình tổng quát $2x + 3y + 3 = 0$ nên có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n \, = \left( {2;3} \right)$

$\Rightarrow$một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ là $\overrightarrow u \, = \left( {3; - 2} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 3\,;\, - 2} \right)$, véctơ $\overrightarrow u = - \overrightarrow {AB} = \left( {3\,;\,2} \right)$.

Đường thẳng $AB$ đi qua $A$ nhận véc tơ $\overrightarrow u = \left( {3\,;\,2} \right)$là một véc tơ chỉ phương.

Phương trình đường thẳng $AB$ ở dạng tham số là: $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = 3 + 2t\end{array} \right.$.

Chọn C

Đường thẳng d có 1 VTPT là $\overrightarrow n = \left( {7;3} \right)$nên d có 1 VTCP là $\overrightarrow u = \left( { - 3;7} \right)$.

Chọn D

$\left( d \right):y + 2x - 1 = 0$$\Leftrightarrow 2x + y - 1 = 0$;$\left( d \right)$ có VTPT là $\vec n = \left( {2;1} \right)$ hay ${\vec n^/} = \left( { - 2; - 1} \right)$

Chọn C

Đường thẳng d có VTPT: VTCP $\vec u\left( {2;4} \right)$ hoặc $\frac{1}{2}\vec u = \left( {1;2} \right).$

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

Toạ độ của điểm $M$ là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{2x + y + 1 = 0}\\{x + y - 1 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = - 2}\\{y = 3.{\rm{ }}}\end{array}} \right.} \right.$

Suy ra điểm $M$ có toạ độ là $( - 2;3)$.

Toạ độ của điểm $N$ là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{2x + y + 1 = 0}\\{3x - y + 4 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = - 1}\\{y = 1.{\rm{ }}}\end{array}} \right.} \right.$

Suy ra điểm $N$ có toạ độ là $( - 1;1)$.

Các đường cao $MK$ và $NQ$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow {{n_1}} (1;1),\overrightarrow {{n_2}} (3; - 1)$.

Do đó các đường thẳng $NP,MP$ lần lượt nhận $\overrightarrow {{n_3}} (1; - 1),\overrightarrow {{n_4}} (1;3)$ là vectơ pháp tuyến.

Phương trình đường thẳng chứa cạnh $NP$ đi qua điểm $N( - 1;1)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_3}} (1; - 1)$ là: $(x + 1) - (y - 1) = 0 \Leftrightarrow x - y + 2 = 0$.

Phương trình đường thẳng chứa cạnh $MP$ đi qua điểm $M( - 2;3)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_4}} (1;3)$ là: $(x + 2) + 3(y - 3) = 0 \Leftrightarrow x + 3y - 7 = 0$.

a) Sai

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

Gọi $M$là trung điểm cạnh $BC$. Vì $M$nằm trên đường trung trực cạnh $BC$nên giả sử $M(t;3t + 1)$.

Gọi $G$là trọng tâm tam giác $ABC$. Vì $G$nằm trên đường trung tuyến kẻ từ $C$nên giả sử $G(s;2s + 5)$.

Ta có: $\overrightarrow {AM} = (t - 3;3t - 3),\overrightarrow {AG} = (s - 3;2s + 1).$Khi đó $\overrightarrow {AM} = \frac{3}{2}\overrightarrow {AG} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{t - 3 = \frac{3}{2}(s - 3)}\\{3t - 3 = \frac{3}{2}(2s + 1)}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{2t - 3s = - 3}\\{6t - 6s = 9}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{t = \frac{{15}}{2}}\\{s = 6.}\end{array}} \right.} \right.} \right.$

Suy ra $M\left( {\frac{9}{2};\frac{{39}}{2}} \right)$

Đường thẳng $BC$đi qua $M\left( {\frac{9}{2};\frac{{39}}{2}} \right)$và vuông góc với đường thẳng $3x - y + 1 = 0$nên ta có phương trình đường thẳng $BC$là: $1 \cdot \left( {x - \frac{9}{2}} \right) + 3 \cdot \left( {y - \frac{{39}}{2}} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 3y - 63 = 0$

Toạ độ đỉnh $C$là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x + 3y - 63 = 0}\\{2x - y + 5 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = \frac{{48}}{7}}\\{y = \frac{{131}}{7}.}\end{array}} \right.} \right.$

Suy ra $C\left( {\frac{{48}}{7};\frac{{131}}{7}} \right)$. Vì $M$là trung điểm $BC$nên $B\left( {\frac{{15}}{7};\frac{{142}}{7}} \right)$

a) Sai

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

a) Vectơ pháp tuyến của $\Delta$ là $\vec n = (7;2)$, vì vậy phương trình tổng quát của $\Delta$ là: $7(x + 3) + 2(y - 4) = 0$ hay $7x + 2y + 13 = 0$.

b) $\Delta$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {AB} = (2;3)$ nên có vectơ pháp tuyến $\vec n = (3; - 2)$. Phương trình tổng quát của $\Delta$ là $3(x - 1) - 2(y + 4) = 0$ hay $3x - 2y - 11 = 0$.

c) Cách giải 1: Tìm một điểm và một vectơ chỉ phương đường thẳng.

Từ phương trình tham số của $\Delta$, ta biết được $\Delta$ qua điểm $M(1;2)$, vectơ chỉ phương $\vec u = (1; - 3)$, suy ra vectơ pháp tuyến $\vec n = (3;1)$. Vậy phương trình tổng quát của $\Delta :3(x - 1) + 1(y - 2) = 0$ hay $3x + y - 5 = 0$.

Cách giải 2: Khử tham số t từ phương trình tham số đường thẳng.

Với $x = 1 + t \Rightarrow t = x - 1$, thay vào phương trình $y = 2 - 3t$, ta được phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta :y = 2 - 3(x - 1)$ hay $3x + y - 5 = 0$.

d) Phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$: $2(x + 1) + 1(y - 5) = 0{\rm{ hay }}2x + y - 3 = 0.$

a) Sai

b) Sai

c) Đúng

d) Sai

Giả sử $A\left( {1; - 2} \right) \in \left( d \right):x - 2y + 5 = 0$ $\Rightarrow 1 - 2.\left( { - 2} \right) + 5 = 0\left( {vl} \right)$.

Ta có $\left( d \right):x - 2y + 5 = 0 \Rightarrow VTPT\,\overrightarrow n = \left( {1; - 2} \right) \Rightarrow VTCP\,\overrightarrow u = \left( {2;1} \right)$

Ta có $\left( d \right):x - 2y + 5 = 0 \Rightarrow y = \frac{1}{2} + \frac{5}{2}$ $\Rightarrow$ hệ số góc $k = \frac{1}{2}$

Đường cao $AH$ vuông góc với $BC$ nên nhận $\vec u = (1; - 1)$ làm vectơ chỉ phương, suy ra $AH$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec n = (1;1)$.

Phương trình tổng quát $AH:1(x + 1) + 1(y + 2) = 0$ hay $x + y + 3 = 0$.

Đỉnh $C$ nằm trên đường thẳng $y - 4 = 0$ nên giả sử $C(c;4)$. Giả sử $G(a;b)$. Vì $G$ là trọng tâm tam giác nên $a = \frac{{6 + c}}{3},b = 1$.

Do $G$ nằm trên đường thẳng $3x - 2y + 6 = 0$ nên $3\left( {\frac{{6 + c}}{3}} \right) - 2 + 6 = 0 \Leftrightarrow c = - 10$. Suy ra $G\left( { - \frac{4}{3};1} \right)$.

Gọi ${\vec n_{AB}} = (a;b)\left( {{a^2} + {b^2} > 0} \right)$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $AB$. Đường thẳng $AB$ đi qua $M(0;2)$nên có phương trình dạng: $a(x - 0) + b(y - 2) = 0 \Leftrightarrow ax + by - 2b = 0.$

Đường thẳng $BC$ vuông góc với $AB$ nên ta có thể chọn ${\vec n_{BC}} = (b; - a)$ làm vectơ pháp tuyến của đường thẳng $BC$. Đường thẳng $BC$ đi qua $N(5; - 3)$ nên có phương trình dạng:

$b(x - 5) - a(y + 3) = 0 \Leftrightarrow bx - ay - 5b - 3a = 0.$

Tứ giác $ABCD$ là hình vuông nên $d(P,AB) = d(Q,BC)$. Do đó, ta có: $\frac{{| - 2a - 2b - 2b|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{{|2b + 4a - 5b - 3a|}}{{\sqrt {{b^2} + {a^2}} }} \Leftrightarrow |2a + 4b| = |a - 3b|{\rm{. }}$

Suy ra $a = - 7b$ hoặc $3a = - b$

Với $a = - 7b$ta chọn $b = 1,a = - 7$. Suy ra phương trình đường thẳng $AB$là: $- 7x + y - 2 = 0,d(P,AB) = \sqrt 2$

Vậy diện tích hình vuông $ABCD$bằng: ${(\sqrt 2 )^2} = 2$

Với $3a = - b$ta chọn $a = 1,b = - 3$. Suy ra phương trình đường thẳng $AB$ là: $x - 3y + 6 = 0$

và $d(P,AB) = \sqrt {10}$

Vậy diện tích hình vuông $ABCD$bằng ${(\sqrt {10} )^2} = 10$

Tọa độ $A$là nghiệm của hệ: $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{y = 0}\\{x - y - 2 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 2}\\{y = 0.}\end{array}} \right.} \right.$

Suy ra $A(2;0)$. Gọi $E$ là điểm đối xứng với $B$ qua $AD$ thì ta có $E \in AC$ và $E(1; - 3)$

Đường thẳng $AC$đi qua hai điểm $A$ và $E$ nên phương trình đường thẳng $AC$ là: $\frac{{x - 2}}{{1 - 2}} = \frac{{y - 0}}{{ - 3 - 0}} \Leftrightarrow 3x - y - 6 = 0$

Điểm $C$ thuộc đường thẳng $AC,M$là trung điểm $BC$nên giả sử $C(c;3c - 6)$ và $M\left( {\frac{{c + 1}}{2};\frac{{3c - 3}}{2}} \right)$

Điểm $M$thuộc đường thẳng $AM$nên $\frac{{c + 1}}{2} - \frac{{3c - 3}}{2} - 2 = 0 \Leftrightarrow c = 0$. Vậy $C(0; - 6)$.

Phương trình đường thẳng $AB$là: $\frac{{x - 2}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{3} \Leftrightarrow 3x + y - 8 = 0$. $C$nằm trên đường thẳng $d$nên giả sử $C(t;2t - 8)$.

Ta có: $AB = \sqrt {{{(1 - 2)}^2} + {{(5 - 2)}^2}} = \sqrt {10}$. Do ${S_{\Delta ABC}} = 2$suy ra $d(C,AB) = \frac{4}{{\sqrt {10} }}$. Khi đó $\frac{{|3t + (2t - 8) - 8|}}{{\sqrt {{3^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt {10} }} \Leftrightarrow |5t - 16| = 4$. Suy ra $t = 4$hoặc $t = \frac{{12}}{5}$. Với $t = 4$thì $2t - 8 = 0$(loại vì $C$có tung độ âm). Với $t = \frac{{12}}{5}$thì $2t - 8 = \frac{{ - 16}}{5}$. Vậy $C\left( {\frac{{12}}{5};\frac{{ - 16}}{5}} \right)$.