Đề kiểm tra Phương trình đường thẳng lớp 10 (có lời giải) - Đề 1

Vì $d\,{\rm{//}}\,d'$nên $d$ có ve tơ chỉ phương là $\overrightarrow u \, = \left( { - 2;3} \right)$.

Phương trình đường thẳng $d$ đi qua điểm $A\left( {2;5} \right)$ nhận $\overrightarrow u \, = \left( { - 2;3} \right)$ làm vectơ chỉ phương nên có phương trình tham số là $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t\\y = 5 + 3t\end{array} \right.$.

Ta có tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ là $G\left( {2\,;\,1} \right)$, véctơ $\overrightarrow {OG} = \left( {2\,;\,1} \right)$.

Đường thẳng $OG$ đi qua $O\left( {0\,;\,0} \right)$nhận véctơ $\overrightarrow u = \left( {2\,;\,1} \right)$làm véctơ chỉ phương có dạng tham số là: $\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = t\end{array} \right.$.

Ta có $d \bot \Delta$ nên d có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {1;2} \right)$.

Mà đường thẳng $d$ đi qua $A\left( { - 1;2} \right)$ nên phương trình tổng quát của đường thẳng $d$ là:

$x + 1 + 2\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 3 = 0.$

Vậy phương trình tổng quát cuả đường thẳng $d:x + 2y - 3 = 0.$

Đường thẳng $\Delta$ có một véc tơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {2\,;\,1} \right)$.

Đường thẳng cần tìm đi qua $A$ nhận $\overrightarrow u = \left( {2\,;\,1} \right)$ là véctơ chỉ phương có dạng tham số: $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 3 + t\end{array} \right.$.

Chọn A

Vector $\overrightarrow i = (1;0)$ là một vector chỉ phương của trục $Ox$

Các đường thẳng song song với trục $Ox$có 1 vector chỉ phương là $\overrightarrow u = \overrightarrow i = (1;0)$

Chọn D

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {4;\,2} \right) = 2\left( {2;\,1} \right)$ suy ra vectơ pháp tuyến của đường thẳng $AB$ là $\overrightarrow {{n_{AB}}} = \left( { - 1;\,2} \right)$

Đường thẳng $d$ đi qua $A\left( {0;1} \right)$ và có hệ số góc $k$ nguyên dương. Phương trình dạng $d:y = kx + 1$ hay $d:kx - y + 1 = 0$.

$d \cap Ox = B\left( {\frac{1}{k};0} \right);d \cap Oy = C\left( {0;1} \right)$.

$${S_{\Delta OBC}} = \frac{1}{2}.OB.OC = \frac{1}{2}.\left| {\frac{1}{k}} \right|.1 = \frac{1}{{2\left| k \right|}}$$

Mà ${S_{\Delta OBC}} = 0{,}5$ nên $\frac{1}{{2\left| k \right|}} = 0{,}5 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = - 1\left( {\rm{L}} \right)\\k = 1\end{array} \right.$.

Vậy phương trình đường thẳng là $d:x - y + 1 = 0$.

Chọn A

Gọi I là trung điểm của AB và $d$ là trung trực đoạn AB. Ta có

$\{\begin{matrix}A(1;-4),\ B(1;2)\rightarrow I(1;-1)\in d \\ d\perp AB\rightarrow {\overrightarrow{n}}_{d}=\overrightarrow{AB}=(0;6)=6(0;1)\end{matrix}\underset{}{\rightarrow }d:y+1=0.$

Chọn B

Ta có đường thẳng vuông góc với $2x - y + 4 = 0$ có phương trình $x + 2y + m = 0$, mà đường thẳng này đi qua điểm $I\left( { - 1;2} \right)$, suy ra $- 1 + 2.2 + m = 0 \Leftrightarrow m = - 3$.

Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình $x + 2y - 3 = 0$.

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

a) Đường thẳng ${d_1}$ có phương trình tổng quát là: $2(x - 1) - (y - 2) = 0 \Leftrightarrow 2x - y = 0$.

b) Đường thẳng ${d_2}$ có phương trình tham số là: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 3 + t}\\{y = - 1 + t}\end{array}} \right.$

c) $2(x - 3) - (y + 1) = 0 \Leftrightarrow 2x - y - 7 = 0$

d) Phương trình tham số của đường thẳng ${d_4}$ đi qua $M$ và có vectơ chỉ phương $\vec u$ là $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 1 + t}\\{y = 2 + t}\end{array}} \right.$

a) Sai

b) Đúng

c) Đúng

d) Đúng

Đường thẳng ${\Delta _1}:x - y + 2 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec n(1; - 1)$ nên nhận $\vec u(1;1)$

là một vectơ chỉ phương, lại có ${\Delta _1}$ đi qua điểm $A(0;2)$ nên phương trình tham số

của ${\Delta _1}$ là: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = t}\\{y = 2 + t.}\end{array}} \right.$

Đường thẳng ${\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 1 + 3t}\\{y = - 2 + t}\end{array}} \right.$ có vectơ chỉ phương là $\vec u(3;1)$ nên nhận $\vec n(1; - 3)$

là một vectơ pháp tuyến, lại có ${\Delta _2}$ đi qua điểm $M(1; - 2)$ nên phương trình tổng quát của ${\Delta _2}$ là: $(x - 1) - 3(y + 2) = 0 \Leftrightarrow x - 3y - 7 = 0$.

a) Sai

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

Đường thẳng $AB$có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {AB} (5;2)$ nên nhận $\vec n(2; - 5)$ là một vectơ pháp tuyến

Phương trình tổng quát của đường thẳng $AB$ đi qua $A( - 2;2)$ và có vectơ pháp

tuyến $\vec n(2; - 5)$ là: $2(x + 2) - 5(y - 2) = 0 \Leftrightarrow 2x - 5y + 14 = 0$.

Đường thẳng này song song với đường thẳng $AB$ nên nhận $\overrightarrow {AB} \left( {5;2} \right)$là một vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua $M( - 1;1)$ và có vectơ chỉ phương

$\overrightarrow {AB} (5;2)$ là: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = - 1 + 5t}\\{y = 1 + 2t}\end{array}} \right.$

a) Sai

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

Đường cao kẻ từ $D$ là đường thẳng vuông góc với đường thẳng EF nên nhận

$\overrightarrow {EF} (1;4)$ là một vectơ pháp tuyến. Do đó, đường cao kẻ từ $D$ có phương trình là: $(x - 1) + 4(y + 1) = 0 \Leftrightarrow x + 4y + 3 = 0.$

Gọi $I$ là trung điểm của $DF$. Toạ độ của điểm $I$ là $(2;2)$. Đường trung tuyến kẻ

từ $E$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {EI} (0;1)$ nên nhận $n(1;0)$ là một vectơ pháp tuyến. Do đó, đường trung tuyến kẻ từ $E$ có phương trình là: $x - 2 = 0$.

Tọa độ của điểm $A$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}7x - 2y - 3 = 0\\6x - y - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right.$.

Do đó, điểm $A$ có tọa độ $(1;2)$. Đường thẳng $AB$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {AM} (1; - 2)$ nên nhận $\vec n(2;1)$ là một vectơ pháp tuyến. Phương trình đường thẳng $AB$ là: $2(x - 1) + (y - 2) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - 4 = 0.$

Gọi $\Delta$là đường thẳng đi qua $A$ và có vectơ pháp tuyến ${\vec n_\Delta } = (a;b)\left( {{a^2} + {b^2} > 0} \right)$. Ta có:

$(Δ,d)={45}^{^{\circ}}\Leftrightarrow |\cos ({\overrightarrow{n}}_{Δ},{\overrightarrow{n}}_{d})|=\cos {45}^{^{\circ}}\Leftrightarrow \frac{|{\overrightarrow{n}}_{Δ},{\overrightarrow{n}}_{d}|}{|{\overrightarrow{n}}_{Δ}|\cdot |{\overrightarrow{n}}_{d}|}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Nếu $b = 0$thì $a = 0$(loại).

Nếu $b \ne 0$thì chia cả hai vế phương trình trên cho ${b^2}$ta có: $3{\left( {\frac{a}{b}} \right)^2} + 8 \cdot \frac{a}{b} - 3 = 0$

Giải phương trình ta được $\frac{a}{b} = \frac{1}{3}$hoặc $\frac{a}{b} = - 3$. Với $\frac{a}{b} = \frac{1}{3},$ta chọn $a = 1,b = 3$. Suy ra phương trình đường thẳng $d$là: $1(x - 2) + 3(y - 3) = 0 \Leftrightarrow x + 3y - 11 = 0$

Với $\frac{a}{b} = - 3$ ta chọn $a = - 3,b = 1$. Suy ra phương trình đường thẳng $d$là: $- 3(x - 2) + 1(y - 3) = 0 \Leftrightarrow - 3x + y + 3 = 0.$

Đáp án: $I\left( {\frac{{18}}{5};\frac{6}{5}} \right) \Rightarrow C\left( {\frac{{36}}{5};\frac{2}{5}} \right),D\left( {\frac{{16}}{5}; - \frac{3}{5}} \right)$

Gọi $I$ là giao điểm của hai đường chéo. Vì $I$ thuộc $\Delta$ nên giả sử $I(3t;t)$.

Khi đó $\overrightarrow {IA} = ( - 3t;2 - t),\overrightarrow {IB} = (4 - 3t;3 - t)$.

Vì tứ giác $ABCD$ là hình thoi nên $\overrightarrow {IA} \cdot \overrightarrow {IB} = 0 \Leftrightarrow ( - 3t)(4 - 3t) + (2 - t)(3 - t) = 0 \Leftrightarrow 10{t^2} - 17t + 6 = 0$

Suy ra $t = \frac{1}{2}$ hoặc $t = \frac{6}{5}$.

Với $t = \frac{1}{2}$ta có: $I\left( {\frac{3}{2};\frac{1}{2}} \right) \Rightarrow C(3; - 1),D( - 1; - 2)$

Với $t = \frac{6}{5}$ta có: $I\left( {\frac{{18}}{5};\frac{6}{5}} \right) \Rightarrow C\left( {\frac{{36}}{5};\frac{2}{5}} \right),D\left( {\frac{{16}}{5}; - \frac{3}{5}} \right)$

a) Vì ${d_1}$ song song với $d$ nên phương trình của ${d_1}$ có dạng: $4x - y + c = 0(c \ne 11)$.

Vì $M$ thuộc ${d_1}$ nên $4.( - 2) - 1 + c = 0 \Leftrightarrow c = 9$.

Vậy phương trình đường thẳng ${d_1}$ là: $4x - y + 9 = 0$.

b) Vì ${d_2}$ vuông góc với $d$ nên phương trình của ${d_2}$ có dạng: $x + 4y + m = 0$.

Vì ${d_2}$ cách đều hai điểm $P,Q$ nên

$d\left( {P,{d_2}} \right) = d\left( {Q,{d_2}} \right) \Leftrightarrow \frac{{| - 3 + 4 \cdot 3 + m|}}{{\sqrt {{1^2} + {4^2}} }} = \frac{{|5 + 4 \cdot ( - 1) + m|}}{{\sqrt {{1^2} + {4^2}} }} \Leftrightarrow |m + 9| = |m + 1|.$

Suy ra $m = - 5$. Vậy phương trình đường thẳng ${d_2}$ là: $x + 4y - 5 = 0$.

Phương trình đường thẳng $AB$ là: $\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 1 \Leftrightarrow 2x + 3y - 6 = 0$.

Điểm $I$ nằm trên đường thẳng $y = - x$ nên giả sử $I(t; - t)$.

Vì $I$ là trung điểm của $AC$ nên $C(2t; - 2t - 2),I$ là trung điểm của $BD$ nên $D(2t - 3; - 2t)$

Ta có: $AB = \sqrt {{{(3 - 0)}^2} + {{(0 - 2)}^2}} = \sqrt {13}$. Suy ra $d(C,AB) = \frac{2}{{\sqrt {13} }}$. Khi đó $\frac{{|2 \cdot 2t + 3( - 2t - 2) - 6|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt {13} }} \Leftrightarrow | - 2t - 12| = 2$. Suy ra $t = - 5$ hoặc $t = - 7$. Với $t = - 5$, ta có: $C( - 10;8),D( - 13;10)$.

Với $t = - 7$, ta có: $C( - 14;12),D( - 17;14)$.

Đáp án: $d(M,d) = \frac{{|3 - ( - 2) + 3|}}{{\sqrt {{1^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{8}{{\sqrt 2 }} = 4\sqrt 2 {\rm{. }}$

a) Vì $A \in {d_1},B \in {d_2}$ nên giả sử $A( - 2t - 3;t),B(s;3s + 5)$.

Ta có: $P( - 2;1)$ là trung điểm $AB$ nên $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{\frac{{ - 2t - 3 + s}}{2} = - 2}\\{\frac{{t + 3s + 5}}{2} = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 2t + s = - 1}\\{t + 3s = - 3}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{t = 0}\\{s = - 1}\end{array}} \right.} \right.} \right.$

Suy ra $A( - 3;0),B( - 1;2)$.

b) Phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua hai điểm $A,B$là: $\frac{{x + 3}}{2} = \frac{y}{2} \Leftrightarrow x - y + 3 = 0.$Vậy khoảng cách từ $M$đến đường thẳng $\Delta$là: $d(M,d) = \frac{{|3 - ( - 2) + 3|}}{{\sqrt {{1^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{8}{{\sqrt 2 }} = 4\sqrt 2 {\rm{. }}$