Đề kiểm tra Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit (có lời giải) - Đề 3

Phương trình ${3^x} + 2 = 0 \Leftrightarrow {3^x} = - 2$.

Nếu $b \le 0$ thì phương trình ${a^x} = b$$\left( {a > 0;a \ne 1} \right)$vô nghiệm.

Do đó phương trình ${3^x} + 2 = 0$ vô nghiệm.

${\log _3}x\left( {x + 2} \right) = 1$$\Leftrightarrow {x^2} + 2x - 3 = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 3\end{array} \right.$$\Rightarrow A = \left\{ { - 3;{\rm{ }}1} \right\}$.

Với điều kiện $x > 0$, phương trình ${\log _3}\left( {x + 2} \right) + {\log _3}x = 1$$\Leftrightarrow {\log _3}x\left( {x + 2} \right) = 1$

$\Leftrightarrow {x^2} + 2x - 3 = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 3\left( l \right)\end{array} \right.$$\Rightarrow B = \left\{ 1 \right\}$. Vậy $B \subset A$.

${3^{x + 2}} \ge \frac{1}{9}$$\Leftrightarrow {3^{x + 2}} \ge {3^{ - 2}}$$\Leftrightarrow x + 2 \ge - 2$$\Leftrightarrow x \ge - 4$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left[ { - 4; + \infty } \right)$.

Ta có ${\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - 5x + 7} \right) > 0$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 5x + 7 > 0\,\,\left( {luon\,dung} \right)\\{x^2} - 5x + 7 < 1\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow {x^2} - 5x + 6 < 0$$2 < x < 3$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình $S = \left( {2;\,3} \right)$.

Ta có

${3^{2x + 8}} - {4.3^{x + 5}} + 27 = 0 \Leftrightarrow {\left( {{3^{\left( {x + 4} \right)}}} \right)^2} - {12.3^{x + 4}} + 27 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{3^{x + 4}} = 9}\\{{3^{x + 4}} = 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = - 2}\\{x = - 3}\end{array}} \right.$

Tổng các nghiệm của phương trình đã cho bằng $- 5$.

Áp dụng công thức tính lãi kép ${P_n} = P{\left( {1 + r} \right)^n}$ với $P$ là số tiền ban đầu, ${P_n}$ là số tiền sau $n$ năm, $r$ là lãi suất.

Ta có $250 = 100{\left( {1 + 0{,}07} \right)^n}$$\Leftrightarrow$$n = {\log _{1{,}07}}2{,}5$$\Leftrightarrow n \approx 13{,}54$.

Vậy cần gửi trong khoảng thời gian ít nhất $14$ năm.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}k.{a^2} = 3\% \\k.{a^5} = 10\% \end{array} \right. \Rightarrow a = \sqrt[3]{{\frac{{10}}{3}}};k = \frac{{3\% }}{{{a^2}}}$

Tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm đến 20% $\Rightarrow \frac{{3\% }}{{{a^2}}}.{a^t} = 20\%$$\Rightarrow {a^{t - 2}} = \frac{{20}}{3}$$\Rightarrow t = 2 + {\log _a}\frac{{20}}{3} = 2 + {\log _{\sqrt[3]{{\frac{{10}}{3}}}}}\frac{{20}}{3} \approx 6{,}7$

a) Đúng

b) Sai

c) Sai

d) Sai

a) ${3^{x - 1}} = 9 \Leftrightarrow {3^{x - 1}} = {3^2} \Leftrightarrow x - 1 = 2 \Leftrightarrow x = 3$.

Vậy phương trình có nghiệm là $x = 3$.

b) ${5^{x - 1}} = {\left( {\frac{1}{{25}}} \right)^x} \Leftrightarrow {5^{x - 1}} = {5^{ - 2x}} \Leftrightarrow x - 1 = - 2x \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}$.

Vậy phương trình có nghiệm là $x = \frac{1}{3}$.

c) ${3^{x - 2}} = 6 \Leftrightarrow x - 2 = {\log _3}6 \Leftrightarrow x = {\log _3}6 + 2$.

Vậy phương trình có nghiệm là $x = {\log _3}6 + 2$.

d) ${7^{x + 2}} - {40.7^x} = 9 \Leftrightarrow {7^2}{.7^x} - {40.7^x} = 9 \Leftrightarrow {9.7^x} = 9 \Leftrightarrow {7^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0$.

Vậy phương trình có nghiệm là $x = 0$.

Suy ra $\underset{x\rightarrow 0}{\lim }({x}^{2}+2x+5)=5$

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

a) ${\left( {\frac{3}{2}} \right)^{x - 5}} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{x + 3}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{x - 5}} = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{ - x - 3}} \Leftrightarrow x - 5 = - x - 3 \Leftrightarrow x = 1$.

Vậy phương trình có nghiệm là $x = 1$.

b) Ba số $a,2{,}3$ tạo thành cấp số cộng với công sai bằng $d = 1$

c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^2} + 2x + 5} \right) = 8$

d) ${x^2} + x + 1 > 0,\forall x$

a) Đúng

b) Sai

c) Sai

d) Đúng

Điều kiện: ${x^2} - 3x + 21 > 0$. $(*)$

${\log _5}\sqrt {{x^2} - 3x + 21} = 1 \Rightarrow \sqrt {{x^2} - 3x + 21} = 5 \Rightarrow {x^2} - 3x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = - 1}\\{x = 4}\end{array}} \right.$

Thay lần lượt hai giá trị này vào $(*)$, ta thấy cả hai giá trị đều thoả mãn. Vậy phương trình có tập nghiệm là $S = \{ - 1;4\}$.

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

a) Điều kiện: $- x + 3 > 0 \Leftrightarrow x < 3$. ${\rm{(}}*{\rm{)}}$

Khi đó, do cơ số $2 > 1$ nên bất phương trình đã cho trở thành:

$- x + 3 \ge {2^1} \Leftrightarrow x \le 1.{\rm{ }}$

Kết hợp với điều kiện ${\rm{(}}*{\rm{)}}$, ta được nghiệm của bất phương trình là $x \le 1$.

b) Điều kiện: $2x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > 1$. ${\rm{(}}*{\rm{)}}$

Khi đó, do cơ số $0 < \frac{1}{3} < 1$ nên bất phương trình đã cho trở thành:

$2x - 2 \ge {\left( {\frac{1}{3}} \right)^3} \Leftrightarrow 2x \ge \frac{{55}}{{27}} \Leftrightarrow x \ge \frac{{55}}{{54}}.$

Kết hợp với điều kiện $(*)$, ta được nghiệm của bất phương trình là $x \ge \frac{{55}}{{54}}$.

c) Điều kiện: ${x^2} + 5x + 4 > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x > - 1}\\{x < - 4}\end{array}} \right.$.

Khi đó, do cơ số $2 > 1$ nên bất phương trình đã cho trở thành

${x^2} + 5x + 4 < {2^2} \Leftrightarrow {x^2} + 5x < 0 \Leftrightarrow - 5 < x < 0.$

Kết hợp với điều kiện ${\rm{(}}*{\rm{)}}$, ta được tập nghiệm của bất phương trình là:

$S = ( - 5; - 4) \cup ( - 1;0){\rm{. }}$

d) Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{ - 2x - 1 > 0}\\{x + 1 > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x < - \frac{1}{2}}\\{x > - 1}\end{array} \Leftrightarrow - 1 < x < - \frac{1}{2}} \right.} \right.$. ${\rm{(}}*{\rm{)}}$

Khi đó, do cơ số $0 < \frac{1}{9} < 1$ nên bất phương trình đã cho trở thành:

$- 2x - 1 < x + 1 \Leftrightarrow x > - \frac{2}{3}$. Kết hợp điều kiện ${\rm{(}}*{\rm{)}}$, nghiệm của bất phương trình là $- \frac{2}{3} < x < - \frac{1}{2}$.

Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{2x > 0}\\{x - 1 > 0}\\{{x^2} > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x > 1.{\rm{(}}*{\rm{)}}$

$\ln 2x + \ln (x - 1) = \ln {x^2} \Leftrightarrow \ln [2x(x - 1)] = \ln {x^2} \Rightarrow 2x(x - 1) = {x^2}$

$\Leftrightarrow {x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 0}\\{x = 2}\end{array}} \right.$, ta thấy chỉ có nghiệm $x = 2$ thoả mãn điều kiện ${\rm{(}}*{\rm{)}}$.

Vậy phương trình có nghiệm là $x = 2$.

$\begin{array}{l}{25^x} - {5^{1 + x}} - 6 \ge 0 \Leftrightarrow {5^{2x}} - {5.5^x} - 6 \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{5^x}} \right)^2} - 1 - 5 \cdot \left( {{5^x} + 1} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left( {{5^x} + 1} \right)\left( {{5^x} - 6} \right) \ge 0.\end{array}$

Vì ${5^x} + 1 > 0$ nên bất phương trình trở thành: ${5^x} \ge 6 \Leftrightarrow x \ge {\log _5}6$ (do $5 > 1$).

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x \ge {\log _5}6$.

Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{x^2} - 3x + 2 > 0}\\{2x - 4 > 0}\end{array}} \right.$.$(*)$

$\begin{array}{l}\log \left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = 2{\log _{100}}(2x - 4) \Leftrightarrow \log \left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = \log (2x - 4)\\ \Rightarrow {x^2} - 3x + 2 = 2x - 4 \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 2}\\{x = 3}\end{array}} \right.\end{array}$

Thay lần lượt hai giá trị này vào $(*)$, ta thấy chỉ có giá trị $x = 3$ thoả mãn.

Vậy phương trình có nghiệm là $x = 3$.

Dân số đạt gấp đôi nghĩa là $S = 2A$, ta có:

$2A = A \cdot {e^{1{,}13\% .t}} \Leftrightarrow {e^{1{,}13\% .t}} = 2 \Leftrightarrow 1{,}13\% .t = {\ln _e}2 \Leftrightarrow t = \frac{{\ln 2}}{{1{,}13\% }} \approx 61{,}34{\rm{ (do }}e > 1{\rm{ )}}{\rm{. }}$

Vậy sau 62 năm tức đến năm 2085 thì dân số ở địa phương đó sẽ gấp đôi dân số năm 2023.

Ta có: $A = 500,S(360) = 2000{,}6$ giờ $= 360$ phút.

Sau 6 giờ số lượng vi khuẩn là 2000 con, tức là: $2000 = 500 \cdot {e^{r.360}}$

$\Leftrightarrow {e^{r.360}} = 4 \Leftrightarrow r = \frac{{\ln 4}}{{360}}{\rm{ (do }}e > 1{\rm{)}}{\rm{. }}$

Số lượng vi khuẩn đạt ít nhất 120000 con, nghĩa là: $500 \cdot {e^{\frac{{\ln 4}}{{360}} \cdot t}} \ge 120000$

$\Leftrightarrow {e^{\frac{{\ln 4}}{{360}} \cdot t}} \ge 240 \Leftrightarrow \frac{{\ln 4}}{{360}} \cdot t \ge \ln 240 \Leftrightarrow t \ge \frac{{360 \cdot \ln 240}}{{\ln 4}} \approx 1423{,}24{\rm{ (ph\'u t)}}{\rm{. }}$

Vậy sau ít nhất 24 (giờ) thì số lượng vi khuẩn đạt ít nhất 120000 con.

Ta có: $A = 150$ (triệu đồng), $r = 8{,}4\%$

Vốn và tiền lãi hơn 200 triệu đồng nghĩa là ${T_n} > 200$ (triệu đồng)

Ta có: $150{(1 + 8{,}4\% )^n} > 200 \Leftrightarrow {(1 + 8{,}4\% )^n} > \frac{4}{3} \Leftrightarrow n > {\log _{1 + 8{,}4\% }}\frac{4}{3} \approx 3{,}6$

Vậy thực tế thì sau ít nhất 4 năm người đó thu được cả vốn và tiền lãi hơn 200 triệu đồng.