Đề kiểm tra Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit (có lời giải) - Đề 2

Ta có: ${9^{x + 1}} = {27^{2x + 1}}$$\Leftrightarrow {3^{2x + 2}} = {3^{6x + 3}}$$\Leftrightarrow 2x + 2 = 6x + 3$$\Leftrightarrow x = - \frac{1}{4}$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $\left\{ { - \frac{1}{4}} \right\}$.

${\log _2}\left( {x - 1} \right) < 3$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 > 0\\x - 1 < {2^3}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\x < 9\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 < x < 9$.

Vậy tập nghiệm là $S = \left( {1\,;\,9} \right)$.

Điều kiện $x - 3 > 0 \Leftrightarrow x > 3$.

${\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - 3} \right) \ge 2$$\Leftrightarrow x - 3 \le {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}$$\Leftrightarrow x \le \frac{{13}}{4}$.

Kết hợp với điều kiện $x > 3$ ta có tập nghiệm của bất phương trình là $3 < x \le \frac{{13}}{4}$.

Điều kiện $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 4x > 0\\2x + 3 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x > 0\\x < - 4\end{array} \right.\\x > - \frac{3}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 0$.

Phương trình $\Leftrightarrow {\log _3}\left( {{x^2} + 4x} \right) = {\log _3}\left( {2x + 3} \right)$$\Leftrightarrow {x^2} + 4x = 2x + 3$$\Leftrightarrow {x^2} + 2{\rm{x}} - 3 = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 3\end{array} \right.$.

Kết hợp điều kiện ta được $x = 1$.

${\log _{\frac{2}{5}}}\left( {x - 4} \right) + 1 > 0$$\Leftrightarrow$${\log _{\frac{2}{5}}}\left( {x - 4} \right) > - 1$$\Leftrightarrow$$0 < x - 4 < \frac{5}{2}$$\Leftrightarrow$$4 < x < \frac{{13}}{2}$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( {4;\,\frac{{13}}{2}} \right)$.

Ta có: ${\log _{\frac{1}{{\sqrt 5 }}}}\left( {{6^{x + 1}} - {{36}^x}} \right) = - 2 \Leftrightarrow {6^{x + 1}} - {36^x} = 5 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{6^x} = 1\\{6^x} = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = {\log _6}5\end{array} \right.$.

Vậy tích các nghiệm của phương trình là $0$.

Bất phương trình tương đương với ${2^{{x^2} - 3x + 4}} \le {2^{10 - 2x}}$ $\Leftrightarrow {x^2} - 3x + 4 \le 10 - 2x$ $\Leftrightarrow {x^2} - x - 6 \le 0$

$\Leftrightarrow - 2 \le x \le 3$.

Mà $x \in {\mathbb{Z}^ + }$ nên $x \in \left\{ {1;2;3} \right\}$.Vậy bất phương trình có có $3$ nghiệm nguyên dương.

Gọi ${N_0}$ là số vi khuẩn ban đầu, ${N_n} = 671088640$.

Vì cứ sau 20 phút (bằng $\frac{1}{3}$ giờ) số lượng vi khuẩn tăng gấp đôi nên số lượng vi khuẩn tăng theo quy luật ${N_n} = {N_0}{.2^n} \Leftrightarrow 671088640 = {40.2^n} \Rightarrow n = 24$. Vậy sau $24.\frac{1}{3} = 8$ giờ thì số vi khuẩn đạt mức $671088640$ con.

Gọi số tiền gửi ban đầu là $A$ và số năm thỏa yêu cầu bài toán là $n$.

Ta có $A{\left( {1 + 8{,}4\% } \right)^n} > 2A \Leftrightarrow 1,{084^n} > 2 \Leftrightarrow n > {\log _{1{,}084}}2 \approx 8{,}59$.

Vậy số năm tối thiểu là $9$ năm.

a) Đúng

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

a) Điều kiện: $x > 0$.

${\log _3}x = 4 \Rightarrow x = {3^4} = 81$ (thoả mãn điều kiện).

Vậy phương trình có nghiệm là $x = 81$.

b) Điều kiện: $2x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > 1$.

${\log _2}(2x - 2) = 3 \Rightarrow 2x - 2 = {2^3} \Leftrightarrow x = 5$ (thoả mãn điều kiện).

Vậy phương trình có nghiệm là $x = 5$.

c) Điều kiện: ${x^2} + 5x + 10 > 0.{\rm{(}}*{\rm{)}}$

${\log _4}\left( {{x^2} + 5x + 10} \right) = 2 \Rightarrow {x^2} + 5x + 10 = {4^2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 1}\\{x = - 6}\end{array}} \right.$.

Thay lần lượt hai giá trị này vào $(*)$, ta thấy cả hai giá trị đều thoả mãn.

Vậy phương trình có tập nghiệm là $S = \{ - 6;1\}$.

d) $3 \cdot {e^{2x + 4}} = 4 \Leftrightarrow {e^{2x + 4}} = \frac{4}{3} \Leftrightarrow 2x + 4 = \ln \left( {\frac{4}{3}} \right) \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\ln \left( {\frac{4}{3}} \right) - 2$.

Vậy phương trình có nghiệm là $x = \frac{1}{2}\ln \left( {\frac{4}{3}} \right) - 2$.

a) Đúng

b) Sai

c) Sai

d) Đúng

a) ${16^x} < \frac{1}{4} \Leftrightarrow {2^{4x}} < {2^{ - 2}} \Leftrightarrow 4x < - 2 \Leftrightarrow x < - \frac{1}{2}$ (do $2 > 1$).

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x < - \frac{1}{2}$.

b) ${5^{x - 1}} \ge {\left( {\frac{1}{{25}}} \right)^x} \Leftrightarrow {5^{x - 1}} \ge {5^{ - 2x}} \Leftrightarrow x - 1 \ge - 2x \Leftrightarrow x \ge \frac{1}{3}($do $5 < 1)$.

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x \ge \frac{1}{3}$.

c) ${(0{,}3)^{x - 2}} \le 3 \Leftrightarrow x - 2 \ge {\log _{0{,}3}}3 \Leftrightarrow x \ge 2 + {\log _{0{,}3}}3$ (do $0 < 0{,}3 < 1$).

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x \ge 2 + {\log _{0{,}3}}3$.

d) ${2.7^{x + 2}} > 9 \Leftrightarrow {7^{x + 2}} > \frac{9}{2} \Leftrightarrow x + 2 > {\log _7}\left( {\frac{9}{2}} \right) \Leftrightarrow x > - 2 + {\log _7}\left( {\frac{9}{2}} \right)({\mathop{\rm do}\nolimits} 7 > 1)$.

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x > - 2 + {\log _7}\left( {\frac{9}{2}} \right)$.

a) Sai

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

${\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} > 32 \Leftrightarrow {2^{ - x}} > {2^5} \Leftrightarrow {2^x} < {2^{ - 5}} \Leftrightarrow {2^{x + 5}} < {2^{ - 5}}{.2^5} \Leftrightarrow {2^{x + 5}} < 1$.

a) Đúng

b) Sai

c) Sai

d) Sai

a) b) Giả thiết cho $P = 100$ triệu đồng, $r\% = 7\% ,n = 2$ năm.

Ta có: $A = {100.10^6}{\left( {1 - \frac{7}{{100}}} \right)^2} = 86490000$ đồng.

Vậy sau hai năm sức mua còn lại của 100000000 là 86490000 đồng.

c) Giả thiết cho $P = 100$ triệu đồng, $A = 80$ triệu đồng, $n = 3$ năm.

Ta có: $80 = 100{\left( {1 - \frac{r}{{100}}} \right)^3} \Leftrightarrow 1 - \frac{r}{{100}} = \sqrt[3]{{\frac{4}{5}}} \Leftrightarrow r \approx 7{,}17$.

Vậy tỉ lệ lạm phát trung bình của ba năm là $r\% \approx 7{,}17\%$.

d) Giả thiết cho $P = X$ triệu đồng, $A = \frac{X}{2}$ triệu đồng, $r\% = 6\%$.

Ta có: $\frac{X}{2} = X{\left( {1 - \frac{6}{{100}}} \right)^n} \Leftrightarrow {(0{,}94)^n} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow n \approx 11{,}2$ (năm).

Vậy sau khoảng 12 năm sức mua của số tiền còn lại là một nửa.

Điều kiện: $- x + 2 > 0 \Leftrightarrow x < 2$.

${\log _{\frac{1}{4}}}( - x + 2) = - 2 \Leftrightarrow - x + 2 = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^{ - 2}} \Leftrightarrow x = - 14$ (thoả mãn điều kiện).

Vậy phương trình có nghiệm là $x = - 14$.

Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{2x - 3 > 0}\\{x - 2 > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x > 2.{\rm{(}}*{\rm{)}}$

${\log _3}(2x - 3) = {\log _3}(x - 2) + 1 \Leftrightarrow {\log _3}(2x - 3) = {\log _3}(x - 2) + {\log _3}3$

$\Leftrightarrow {\log _3}(2x - 3) = {\log _3}3(x - 2) \Rightarrow 2x - 3 = 3x - 6 \Leftrightarrow x = 3$(thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình có nghiệm là $x = 3$.

$\frac{{0{,}5}}{{{2^{x - 2}}}} \ge {4^{\frac{x}{2}}} \Leftrightarrow 0{,}5 \ge {2^{x - 2}} \cdot {2^x} \Leftrightarrow {2^{ - 1}} \ge {2^{2x - 2}} \Leftrightarrow - 1 \ge 2x - 2 \Leftrightarrow x \le \frac{1}{2}($do $2 > 1)$.

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x \le \frac{1}{2}$.

Theo công thức lãi kép: $T = A{(1 + r)^n}$, số tiền người đó nhận được sau $n$ năm là:

$T = {10.10^9}{(1 + 7\% )^n} = {10^{10}} \cdot 1,{07^n}$(đồng)

Để nhận được số tiền nhiều hơn 12 tỉ đồng thì

$T = {10^{10}} \cdot 1,{07^n} > 12 \cdot {10^9} \Leftrightarrow 1,{07^n} > \frac{6}{5} \Leftrightarrow n > {\log _{1{,}07}}\left( {\frac{6}{5}} \right) \approx 2{,}695.$

Vậy sau ít nhất 3 năm người đó nhận được số tiền nhiều hơn 12 tỉ đồng.

Ta có:

$\begin{array}{l}{10^{ - 12}} \le I \le {10^1} \Leftrightarrow \frac{{{{10}^{ - 12}}}}{{{{10}^{ - 12}}}} \le \frac{I}{{{{10}^{ - 12}}}} \le \frac{{{{10}^1}}}{{{{10}^{ - 12}}}}\\ \Leftrightarrow 1 \le \frac{I}{{{{10}^{ - 12}}}} \le {10^{13}} \Leftrightarrow \log 1 \le \log \left( {\frac{I}{{{{10}^{ - 12}}}}} \right) \le \log {10^{13}}\\ \Leftrightarrow 0 \le 10\log \left( {\frac{I}{{{{10}^{ - 12}}}}} \right) \le 130({\rm{ do }}10 > 1)\\ \Leftrightarrow 0 \le L \le 130.\end{array}$

Vậy mức cường độ âm mà tai người có thể nghe được là từ $0\;dB$ đến $130\;dB$.