Đề kiểm tra Phép tính lũy thừa (có lời giải) - Đề 1

${\left( {0{,}2} \right)^{0{,}3}} = {\left( {0{,}2} \right)^{\frac{3}{{10}}}} = {\left[ {{{\left( {0{,}2} \right)}^3}} \right]^{\frac{1}{{10}}}} = {\left( {0{,}008} \right)^{\frac{1}{{10}}}}$.

${\left( {0{,}7} \right)^{3{,}2}} = {\left( {0{,}7} \right)^{\frac{{32}}{{10}}}} = {\left[ {{{\left( {0{,}7} \right)}^{32}}} \right]^{\frac{1}{{10}}}}$.

${\sqrt 3 ^{0{,}2}} = {\left( 3 \right)^{\frac{1}{2}.\frac{2}{{10}}}} = {3^{\frac{1}{{10}}}}$.

Do ${\left( {0{,}7} \right)^{32}} < 0{,}008 < 3$ nên ${\left( {0{,}7} \right)^{3{,}2}} < {\left( {0{,}2} \right)^{0{,}3}} < {\sqrt 3 ^{0{,}2}}$.

Số tiền nhận về sau 1 năm của 100 triệu gửi trước là $100{\left( {1 + 2\% } \right)^4}$ triệu.

Số tiền nhận về sau 6 tháng của 100 triệu gửi sau là $100{\left( {1 + 2\% } \right)^2}$ triệu.

Vậy tổng số tiền là $100{\left( {1 + 2\% } \right)^4} + 100{\left( {1 + 2\% } \right)^2} = 212{,}283216\left( { \approx 212{,}283} \right)$ triệu.

Số tiền nhận về sau 15 tháng của 140 triệu gửi trước là $140.\,{\left( {1 + 2{,}1\% } \right)^5}$ triệu.

Số tiền nhận về sau 15 tháng của 180 triệu gửi sau là $180.\,{\left( {1 + 0{,}73\% } \right)^{15}}$ triệu.

Suy ra tổng số tiền cả vốn lẫn lãi mà bác Nam thu được là

$140.\,{\left( {1 + 2{,}1\% } \right)^5} + 180.\,{\left( {1 + 0{,}73\% } \right)^{15}} \approx 356{,}080253$ triệu.

Suy ra số tiền lãi: $356{,}080253 - 320 = 360{,}80253 = 36080253$ đồng.

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

Ta có: $\sqrt[5]{{2 \cdot \sqrt[3]{{2 \cdot \sqrt 2 }}}} = \sqrt[5]{{2 \cdot \sqrt[3]{{2 \cdot {2^{\frac{1}{2}}}}}}} = \sqrt[5]{{2 \cdot \sqrt[3]{{{2^{\frac{3}{2}}}}}}} = \sqrt[5]{{2 \cdot {2^{\frac{1}{2}}}}} = \sqrt[5]{{{2^{\frac{3}{2}}}}} = {2^{\frac{3}{{10}}}}$.

Ta có: $\sqrt[6]{{3 \cdot \sqrt[3]{{3 \cdot \sqrt 3 }}}} = \sqrt[6]{{3 \cdot \sqrt[3]{{3 \cdot {3^{\frac{1}{2}}}}}}} = \sqrt[6]{{3 \cdot \sqrt[3]{{{3^{\frac{3}{2}}}}}}} = \sqrt[6]{{3 \cdot {3^{\frac{1}{2}}}}} = \sqrt[6]{{{3^{\frac{3}{2}}}}} = {3^{\frac{1}{4}}}$.

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

Ta có: $A = {\left( {3 \cdot \frac{1}{3}} \right)^{2x - 1}} + 9 \cdot {9^x} = 1 + 9{\left( {{3^x}} \right)^2}$.

a) Đúng

b) Sai

c) Sai

d) Sai

a) Sai

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

Ta có: $A = \frac{{\sqrt[3]{{{a^7}}}.{a^{\frac{{11}}{3}}}}}{{{a^4}.\sqrt[7]{{{a^{ - 5}}}}}}$$= \frac{{{a^{\frac{7}{3}}}.{a^{\frac{{11}}{3}}}}}{{{a^4}.{a^{ - \frac{5}{7}}}}}$$= {a^{\frac{{19}}{7}}}$.

Suy ra $m = 19$, $n = 7$ $\Rightarrow {m^2} - {n^2} = 312$.

Ta có ${x^2},{y^2},\sqrt[3]{{{x^4}{y^2}}},\sqrt[3]{{{x^2}{y^4}}}$ là những số thực dương với mọi $x,y \ne 0$.

$\begin{array}{l}Q = 2\sqrt {{{\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{{{y^2}}}} \right)}^3}} = 2\sqrt {{x^2} + 3\sqrt[3]{{{x^4}{y^2}}} + 3\sqrt[3]{{{x^2}{y^4}}} + {y^2}} \\ = \sqrt {{x^2} + 3\sqrt[3]{{{x^4}{y^2}}} + 3\sqrt[3]{{{x^2}{y^4}}} + {y^2}} + \sqrt {{x^2} + 3\sqrt[3]{{{x^4}{y^2}}} + 3\sqrt[3]{{{x^2}{y^4}}} + {y^2}} \\ > \sqrt {{x^2} + 3\sqrt[3]{{{x^4}{y^2}}}} + \sqrt {3\sqrt[3]{{{x^2}{y^4}}} + {y^2}} > \sqrt {{x^2} + \sqrt[3]{{{x^4}{y^2}}}} + \sqrt {\sqrt[3]{{{x^2}{y^4}}} + {y^2}} = P.\\\end{array}$

Vậy với điều kiện trên của $x,y$ thì $P < Q$.

Số tiền người đó nhận sau 10 năm là: ${T_{10}} = 100{\left( {1 + \frac{8}{{100}}} \right)^{10}} \approx 215{,}89$ (triệu đồng).

Số tiền lãi sau 10 năm gửi tiền xấp xỉ là: $215{,}89 - 100 = 115{,}89$ (triệu đồng).

Nếu trữ lượng gỗ của khu rừng ban đầu là $A$ thì sau năm thứ nhất, lượng gỗ có được là $A + Ar = A(1 + r)$ với $r$ là tốc độ tăng trưởng mỗi năm.

Sau năm thứ hai, lượng gỗ có được là $A(1 + r) + A(1 + r) \cdot r = A{(1 + r)^2}$.

Theo phương pháp quy nạp, ta chứng minh được công thức tính lượng gỗ trong khu rừng là ${T_n} = A{(1 + r)^n}$ với $A$ là lượng gỗ ban đầu, $r$ là tốc độ tăng trưởng mỗi năm và $n$ là số năm tăng trưởng của rừng.

Vậy sau 5 năm, lượng gỗ trong khu rừng là:

${T_5} = 4 \cdot {10^5}{\left( {1 + \frac{4}{{100}}} \right)^5} = 486661{,}161\left( {\;{m^3}} \right)$

Sau 3 phút, số lượng vi khuẩn $A$ là 625 nghìn con nên $s(3) = s(0) \cdot {2^3}$ $\Rightarrow s(0) = \frac{{s(3)}}{{{2^3}}} = \frac{{625000}}{8} = 78125$ (tức là ban đầu có 78125 con vi khuẩn $A$ trong phòng thí nghiệm).

Sau 10 phút, số lượng vi khuẩn là: $s(10) = 78125 \cdot {2^{10}} = 80 \cdot {10^6}$ (con).