Đề kiểm tra Phép chiếu song song lớp 11 (có lời giải) - Đề 3

Chọn C

Do $AB \cap \left( {SBC} \right) = \left\{ A \right\}$suy ra hình chiếu song song của điểm $A$ theo phương $AB$ lên mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ là điểm $B$.

Chọn A

Ta có: $AC\,{\rm{//}}\,A'C'$ nên $\left( {MA'C'} \right)\,{\rm{//}}\,{\rm{AC}}$.

$\left( {MA'C'} \right)\, \cap \,\left( {ABCD} \right) = MN$ do đó $MN\,{\rm{//}}\,{\rm{AC}}$$\Rightarrow N$ là trung điểm của $BC$.

$MN$ là đường trung bình của $\Delta ABC$.

$k = \frac{{MN}}{{A'C'}} = \frac{{MN}}{{AC}} = \frac{1}{2}$.

Chọn A

Do hai đường thẳng qua phép chiếu song song ảnh của chúng sẽ cùng thuộc một mặt phẳng.

Suy ra tính chất chéo nhau không được bảo toàn.

Chọn A

Qua phép chiếu song song chỉ có thể biến hình chóp cụt thành một đa giác.

Loại B - chỉ là một đoạn thẳng.

Loại C - phép chiếu song song không thể là một khối đa diện.

Loại D - chỉ là một điểm.

Chọn A - hình chiếu là một đa giác.

Chọn A

Xét phép chiếu song song lên mặt phẳng $\left( {A'B'C'D'} \right)$ theo phương chiếu $BA'$.

Ta có $N$ là ảnh của $M$ hay $M$ chính là giao điểm của $B'D'$ và ảnh $AC'$ qua phép chiếu này. Do đó ta xác định $M,N$ như sau:

Trên $A'B'$ kéo dài lấy điểm $K$ sao cho $A'K = B'A'$ thì $ABA'K$ là hình bình hành nên $AK\,{\rm{//}}\,BA'$ suy ra $K$ là ảnh của $A$ trên $AC'$ qua phép chiếu song song.

Gọi $N = B'D' \cap KC'$. Đường thẳng qua $N$ và song song với $AK$ cắt $AC'$ tại $M$. Ta có $M,N$ là các điểm cần xác định.

Theo định lí Ta-let, ta có $\frac{{MA}}{{MC'}} = \frac{{NK}}{{NC'}} = \frac{{KB'}}{{C'D'}} = 2$.

Chọn A

Phép chiếu song song biến $\Delta ABC$ thành $\Delta A'B'C'$ theo thứ tự đó, nên cũng biến cạnh $BC$của $\Delta ABC$ thành cạnh $B'C'$của $\Delta A'B'C'$. Do vậy nó cũng biến biến trung điểm $M$ của cạnh $BC$ thành trung điểm $M'$ của cạnh $B'C'$.

Chọn B

Phép chiếu song song trên mặt phẳng $\left( {A'B'C'D'} \right)$ theo phương chiếu $BB'$biến:

điểm $D'$ thành chính nó.

điểm $C$ thành điểm $C'$.

điểm $M$ thành điểm $M'$.

Vậy phép chiếu song song trên mặt phẳng $\left( {A'B'C'D'} \right)$ theo phương chiếu $BB'$biến $\Delta D'CM$ thành$\Delta D'C'M'$.

Chọn B

Gọi $E$ là trung điểm của $BC$.

Trong mp $\left( {AED} \right)$; kẻ $GG'//AD$; $G' \in ED$.

Khi đó $G'$ là hình chiếu song song của điểm $G$ trên mặt phẳng $\left( {BCD} \right)$.

Ta có: $\frac{{EG'}}{{ED}} = \frac{{EG}}{{EA}} = \frac{2}{3}$.

⇒ $G'$ là trọng tâm tam giác $BCD$.

Chọn C

Giả sử $N$ là ảnh của $M$ qua phép chiếu song song theo phương $AB$ lên mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$

Suy ra: $MN//AB$ mà $AB//CD$.

⇒ $MN//CD$⇒ $N$ là trung điểm của $SD$.

Chọn C

Gọi $M$ là trung điểm của $AC$.

Do $ABC.A'B'C'$ là hình lăng trụ. Suy ra qua phép chiếu song song đường thẳng $AA'$ biến $B$ thành $B'$, biến $M$ thành $M'$.

Theo đầu bài $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Suy ra $B$, $M$, $G$ thẳng hàng và $\frac{{BG}}{{BM}} = \frac{2}{3}$.

Ta có $B'$, $M'$, $G'$ thẳng hàng và $\frac{{B'G'}}{{B'M'}} = \frac{2}{3}$. Mặt khác $M$ là trung điểm của $AC$, suy ra $M'$ là trung điểm của $A'C'$.

Suy ra $G'$ là trọng tâm của tam giác $A'B'C'$.

Chọn A

Ta có: $O'C' = AO$ và $O'C'||AO$ nên tứ giác $O'C'OA$ là hình bình hành $\Rightarrow O'A||C'O$.

Do đó hình chiếu của điểm $O'$ qua phép chiếu song song theo phương $O'A$ lên mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ là điểm $O.$

Mặt khác điểm $M$ và $N$ thuộc mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ nên hình chiếu của $M$ và $N$ qua phép chiếu song song theo phương $O'A$ lên mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ lần lượt là điểm $M$ và $N.$

Vậy qua phép chiếu song song theo phương $AO'$ lên mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ thì hình chiếu của tam giác $C'MN$ là đoạn thẳng $MN$.

Chọn C

Khi phương chiếu $l$ thỏa mãn $\left( \alpha \right)//l$ hoặc $\left( \alpha \right) \supset l$ thì các đoạn thẳng $AB$,$BC$,$CA$có hình chiếu lên $\left( P \right)$ nằm trên giao tuyến của $\left( \alpha \right)$ và $\left( P \right)$.

a) Đúng

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

Chọn D

Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc cùng nằm trên một đường thẳng.

a) Đúng

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

Chọn D

Theo tính chất phép chiếu song song ta có phương án D sai.

a) Đúng

b) Đúng

c) Đúng

d) Đúng

a) b) Vì $A{A^\prime }//C{C^\prime }$ và ${A^\prime }$ thuộc $\left( {{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }} \right)$ nên ${A^\prime }$ là hình chiếu song song của $A$ trên mặt phẳng $\left( {{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }} \right)$ theo phương $C{C^\prime }$.

c) Trong mặt phẳng $\left( {AB{B^\prime }{A^\prime }} \right)$, kẻ đường thẳng $M{M^\prime }//B{B^\prime }$ với ${M^\prime } \in {A^\prime }{B^\prime }$. Khi đó ${M^\prime }$ là hình chiếu song song của $M$ trên mặt phẳng $\left( {{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }} \right)$ theo phương $B{B^\prime }$.

d) Gọi $I$ là trung điểm của ${B^\prime }{C^\prime }$. Vì $OI$ là đường trung bình của tam giác $B{B^\prime }{C^\prime }$ nên $OI//B{B^\prime } \Rightarrow OI//A{A^\prime }$ mà $I \in \left( {{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }} \right)$ nên $I$ là ảnh của $O$ trên mặt phẳng $\left( {{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }} \right)$ qua phép chiếu song song phương $A{A^\prime }$.

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

Phát biểu A đúng (xem tính chất phép chiếu song song).

Phát biểu B sai (xem tính chất phép chiếu song song). Điều chỉnh lại cho đúng là: "Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng cùng nằm trên một đường thẳng hoặc nằm trên hai đường thẳng song song".

Phát biểu C đúng (xem tính chất phép chiếu song song).

Phát biểu D đúng (xem tính chất phép chiếu song song).

Hình chóp $S.ABCD$ có các mặt bên là các hình tam giác nên hình biểu diễn của nó cũng có các mặt bên là hình tam giác, đáy $ABCD$ là hình bình hành nên hình biểu diễn của đáy $ABCD$ cũng là một hình bình hành. Từ đó ta vẽ được hình biểu diễn của hình chóp $S.ABCD$như sau:

Tam giác là hình chiếu của tam giác $ABC$ trên mặt phẳng $\left( P \right)$ theo phương $d$.

Gọi $M,N,P$lần lượt là trung điểm của $AB,BC,AC$. Khi đó $MN,NP,MP$là các đường trung bình của tam giác $ABC$.

Gọi $M',N',P'$lần lượt là hình chiếu của $M,N,P$trên mặt phẳng $\left( P \right)$theo phương $d$.

Vì $M$ là trung điểm của $AB$ nên $A,M,B$ thẳng hàng theo thứ tự đó và $\frac{{AM}}{{MB}} = 1$. Do vậy ${A^\prime },{M^\prime },{B^\prime }$ thẳng hàng theo thứ tự đó và $\frac{{{A^\prime }{M^\prime }}}{{{M^\prime }{B^\prime }}} = 1$, tức là ${M^\prime }$ là trung điểm của . Chứng minh tương tự ta có là trung điểm của ${B^\prime }{C^\prime }$ và ${P^\prime }$ là trung điểm của . Vậy , là các đường trung bình của tam giác ${A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }$.

Ta có $AB{\rm{//}}\left( P \right)$ và $A'B' = \left( {ABB'A'} \right) \cap \left( P \right)$. Do đó $A'B'{\rm{//}}AB$. Ta có $AA'{\rm{//}}BB'{\rm{//}}d$.

Vậy $ABB'A'$ là hình bình hành. Suy ra $A'B' = AB$.

Phần ngược lại là sai:

Giả sử lấy điểm $C$ trên $BB'$ sao cho $AC = AB$ thì hình chiếu của $AC$ vẫn là $A'B'$ và $A'B' = AC$. Nhưng $AC$ không song song $\left( P \right)$.

Nếu tam giác là hình chiếu của tam giác $ABC$ qua một phép chiếu song song thì tam giác $ABC$ cũng là hình chiếu của tam giác qua một phép chiếu song song.

Giả sử tam giác là hình chiếu của tam giác $ABC$ trên mặt phằng $(P)$ theo phương chiếu $d$. Khi đó $AA',BB',CC'$ đôi một song song với nhau và đều song song với phương chiếu $d$. Do vậy, tam giác $ABC$ là hình chiếu của tam giác trên mặt phẳng $(ABC)$ theo phương $d$.

Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ và ${G^\prime }$ là hình chiếu song song của nó. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ thì $A,G,M$ thẳng hàng theo thứ tự đó. Gọi ${M^\prime }$ là hình chiếu của $M$. Khi đó, theo tính chất của phép chiếu song song ta có:

$A',G',M'$thẳng hàng theo thứ tự đó và $\frac{{{A^\prime }{G^\prime }}}{{{A^\prime }{M^\prime }}} = \frac{{AG}}{{AM}} = \frac{2}{3}(1)$.

${B^\prime },{M^\prime },{C^\prime }$ thằng hàng theo thứ tự đó và $\frac{{{B^\prime }{M^\prime }}}{{{M^\prime }{C^\prime }}} = \frac{{BM}}{{MB}} = 1$$(2)$.

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra ${G^\prime }$ là trọng tâm của tam giác .

${\rm{V\`i }}B = 2\;cm,D = 6\;cm{\rm{ n\^e n }}D = 3B{\rm{. }}$

Hình chóp $S.ABCD$có các mặt bên là hình tam giác nên hình biểu diễn của nó cũng có các mặt bên là hình tam giác, đáy $ABCD$ là hình thang có hai đáy $AB,CD$ (do $AB//CD)$ và $CD = 3AB$ nên hình biểu diễn của $ABCD$ là một hình thang có độ dài một đáy gấp ba lần độ dài của đáy còn lại. Từ đó, ta vẽ được hình biểu diễn của hình chóp $S.ABCD$như sau: