Đề kiểm tra Ôn tập chương 7 lớp 10 (có lời giải) - Đề 3

Ta có: $\overrightarrow {BA} = \left( { - 1; - 3} \right)$,$\overrightarrow {BC} = \left( { - 6;2} \right) \Rightarrow BA = \sqrt {10} ,BC = \sqrt {40}$

$${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}\sqrt {10} \sqrt {40} = 10$$

Lấy điểm $D$ đối xứng với $A$ qua $B$ ta có $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BD}$ nên góc giữa hai véc tơ $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {BC}$ bằng góc giữa hai véc tơ $\overrightarrow {BD}$ và $\overrightarrow {BC}$ bằng $\widehat{DBC}=120^{\circ}$

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {4;3} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 2;10} \right),\overrightarrow {BC} = \left( { - 6;7} \right)$

$\Rightarrow AB = 5,AC = \sqrt {104} ,BC = \sqrt {85} \Rightarrow {P_{\Delta ABC}} = \sqrt {104} + \sqrt 5 \left( {\sqrt 5 + \sqrt {17} } \right) \Rightarrow a = 17$

$\overrightarrow {OB} = - \overrightarrow i + 3\overrightarrow j \Leftrightarrow B\left( { - 1\,;\,3} \right)$ và $\overrightarrow {OC} = 3\overrightarrow i + \overrightarrow j \Leftrightarrow C\left( {3\,;\,1} \right)$

$\overrightarrow {BC} = \left( {4\,;\, - 2} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = BC = \sqrt {{4^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = \sqrt {20} = 2\sqrt 5$. Vậy $\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = 2\sqrt 5$.

Đường thẳng $d:2x + y - 1 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {2\,;\,1} \right)$.

Suy ra vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {1\,;\, - 2} \right)$, do đó loại các đáp án A, B, C

Phương trình chính tắc của heberbol $\left( H \right)$ có dạng $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ với $\left( {a > 0,b > 0} \right)$.

Do $\left( H \right)$ đi qua $M\left( {2;0} \right)$nên $\frac{{{2^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Rightarrow a = 2$

Mà $\left( H \right)$ có một tiêu điểm ${F_1}\left( { - 4;0} \right)$ nên $c = 4$

Suy ra ${b^2} = {c^2} - {a^2} = {4^2} - {2^2} = 12$

Vậy phương trình Hyperbol $\left( H \right)$ là: $\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{{12}} = 1.$

Ta có

$\frac{{{4^2}}}{{16}} - \frac{{{0^2}}}{9} = 1$ nên loại đáp án A

$\frac{{{{( - 4\sqrt 2 )}^2}}}{{16}} - \frac{{{3^2}}}{9} = 1$ nên loại đáp án B

$\frac{{{{( - 4)}^2}}}{{16}} - \frac{{{0^2}}}{9} = 1$nên loại đáp án C

$\frac{{{3^2}}}{{16}} - \frac{{{1^2}}}{9} \ne 1$ nên chọn đáp án D

Đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + 3t\end{array} \right.$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {1\,;\,3} \right)$.

Suy ra vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {3\,;\, - 1} \right)$, do đó loại các đáp án A, C,D

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

a) (C) có tâm $I( - 3;2)$ và bán kính $R = 2$.

b) (C) có tâm $O(0;0)$ và bán kính $R = 1$.

c) Đặt $a = \frac{{ - 6}}{{ - 2}} = 3,b = \frac{2}{{ - 2}} = - 1,c = - 6$. Đường tròn $(C)$ có tâm $I(3; - 1)$ và bán kính $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} = \sqrt {9 + 1 + 6} = 4$.

d) Đặt $a = \frac{{ - 4}}{{ - 2}} = 2,b = \frac{0}{{ - 2}} = 0,c = - 5$. Đường tròn $(C)$ có tâm $I(2;0)$ và bán kính $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} = \sqrt {4 + 0 + 5} = 3$.

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

a) Đường tròn $(C)$ có tâm $I( - 2; - 3)$ bán kính $R = 5$.

b) Phương trình tiếp tuyến $\Delta$ là: $(1 + 2)(x - 1) + (1 + 3)(y - 1) = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y - 7 = 0.$

c) Vì $\Delta$ nhận là vectơ pháp tuyến mà ${\Delta ^\prime } \bot \Delta$ nên có thể lấy vectơ pháp tuyến của ${\Delta ^\prime }$ là $\vec m = (4; - 3)$. Suy ra phương trình ${\Delta ^\prime }$ có dạng: $4x - 3y + c = 0$.

Để ${\Delta ^\prime }$ là tiếp tuyến của $(C)$ thì $d\left( {I,{\Delta ^\prime }} \right) = R \Leftrightarrow \frac{{|4 \cdot ( - 2) - 3 \cdot ( - 3) + c|}}{{\sqrt {{4^2} + {{( - 3)}^2}} }} = 5 \Leftrightarrow |c + 1| = 25.{\rm{ }}$

Vậy $c = 24$ hoặc $c = - 26$ nên có hai trường hợp của phương trình ${\Delta ^\prime }$ là: $4x - 3y + 24 = 0$ hoặc $4x - 3y - 26 = 0.$

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Sai

a) Ta có: $p = 6 \Rightarrow \frac{p}{2} = \frac{6}{2} = 3$. Vậy $(P)$ có tiêu điểm $F(3;0)$, đường chuẩn $x = - 3$.

b) Gọi $M$ là điểm trên $(P)$ có hoành độ $x = 2 \Rightarrow MF = {x_M} + \frac{p}{2} = 2 + 3 = 5$

c) Đường thẳng đi qua $F(3;0)$ và vuông góc với trục đối xứng có dạng: $x = 3(d)$.

Tọa độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là nghiệm của hệ $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 3}\\{{y^2} = 12x}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 3}\\{y = \pm 6}\end{array}} \right.} \right.$ Vậy $(d)$ cắt $(P)$ tại $M(3; - 6),N(3;6) \Rightarrow MN = \sqrt {{{(3 - 3)}^2} + {{(6 + 6)}^2}} = 12$.

d) Phương trình đường thẳng đi qua $I(2;0)$ có dạng: $A(x - 2) + B(y - 0) = 0\left( {{A^2} + {B^2} \ne 0} \right) \Leftrightarrow Ax + By - 2A = 0(d)$

Tọa độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là nghiệm của hệ $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{Ax + By - 2A = 0(1)}\\{{y^2} = 12x(2)}\end{array}(*)} \right.$

(2) $\Leftrightarrow x = \frac{{{y^2}}}{{12}}$

Thế vào (1) ta được $A\frac{{{y^2}}}{{12}} + By - 2A = 0 \Leftrightarrow A{y^2} + 12By - 24A = 0$

Do ${\Delta ^\prime } = 36{B^2} + 24{A^2} > 0,\forall {A^2} + {B^2} \ne 0$ nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt. Gọi ${y_A}$ và ${y_B}$ là nghiệm của phương trình trên nên $d(A;Ox) \cdot d(B;Ox) = \left| {{y_A} \cdot {y_B}} \right| = 24$ (không đổi).

a) Sai

b) Đúng

c) Đúng

d) Đúng

Ta có ${a^2} = 16 \Rightarrow a = 4,{b^2} = 9 \Rightarrow b = 3;{c^2} = {a^2} + {b^2} = 16 + 9 = 25 \Rightarrow c = 5$

Tiêu điểm: ${F_1}( - 5;0),{F_2}(5;0)$

Có 4 điểm thỏa mãn yêu cầu:

${M_1}\left( { - \frac{{4\sqrt {34} }}{5};\frac{9}{5}} \right) \cdot ,{M_2}\left( { - \frac{{4\sqrt {34} }}{5}; - \frac{9}{5}} \right),{M_3}\left( {\frac{{4\sqrt {34} }}{5}; - \frac{9}{5}} \right),{M_4}\left( {\frac{{4\sqrt {34} }}{5};\frac{9}{5}} \right){\rm{. }}$

Đáp án: $\left( {{\Delta _1}} \right):x - 4 = 0;\left( {{\Delta _2}} \right):3x + 4y + 12 = 0$

(C) có tâm $I(2;2),R = 2$

Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua $M(4;6)$.

$\Delta$ có dạng $Ax + By - 4A - 6B = 0$

$\Delta$ là tiếp tuyến của $(C) \Rightarrow d[I,\Delta ] = R$

$\Leftrightarrow \frac{{|2A + 2B - 4A - 6B|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} }} = 2 \Leftrightarrow |2A + 4B| = 2\sqrt {{A^2} + {B^2}}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4{A^2} + 16{B^2} + 16AB = 4{A^2} + 4{B^2} \Leftrightarrow 12{A^2} + 16AB = 0 \Leftrightarrow 4B(3B + 4A) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{B = 0}\\{B = \frac{{4A}}{3}}\end{array}{\rm{. }}} \right.\end{array}$

Chọn $A = 3 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{B = 0}\\{B = 4}\end{array}.} \right.$

Vậy $A = 3,B = 0 \Rightarrow \left( {{\Delta _1}} \right):x - 4 = 0;A = 3,B = 4 \Rightarrow \left( {{\Delta _2}} \right):3x + 4y + 12 = 0$.

Đường tròn màu đỏ mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng có tâm $I( - 2;1)$ và bán kính phủ sóng $3\;km$ nên phương trình đường tròn đó là: ${(x + 2)^2} + {(y - 1)^2} = 9$

Giả sử vị trí đứng của người đó là $B( - 3;4)$.

Gọi $A$ (như trên hình vẽ) là giao điểm thứ nhất của đường tròn tâm $I$ và $BI$

$\Rightarrow$ Khoảng cách ngắn nhất để người đó di chuyển được từ vị trí $B( - 3;4)$ tới vùng phủ sóng là $BA$

Ta có: $IB = \sqrt {{{( - 3 + 2)}^2} + {{(4 - 1)}^2}} = \sqrt {10}$, suy ra $AB = IB - IA = \sqrt {10} - 3 = 0{,}16$.

Gọi $(H):\frac{{{x^2}}}{{25}} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1$

$\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{a^2} = 25}\\{{b^2} = 16}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{a = 5}\\{b = 4}\end{array} \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {39} .} \right.} \right.$

Tiêu điểm của gương là ${F_1}( - \sqrt {39} ;0)$ và ${F_2}(\sqrt {39} ;0)$.

Đỉnh của gương là ${A_1}( - 5;0)$.

Vậy khoảng cách từ tâm của máy ảnh tới đỉnh của gương là ${F_2}{A_1} = \sqrt {{{( - 5 - \sqrt {39} )}^2}} = 5 + \sqrt {39}$.

Đường tròn $(C)$ có tâm $I(3; - 1)$ bán kính $R = \sqrt {{3^2} + 1 - 6} = 2$.

Phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua $A$ có dạng:

$a(x - 1) + b(y - 3) = 0{\rm{ }}$ với ${\rm{( }}{a^2} + {b^2} \ne 0{\rm{ ) hay }}ax + by - a - 3b = 0$

Đường thẳng $\Delta$ là tiếp tuyến của đường tròn

$\Leftrightarrow d(I;\Delta ) = R \Leftrightarrow \frac{{|3a - b - a - 3b|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 2 \Leftrightarrow {(a - 2b)^2} = {a^2} + {b^2} \Leftrightarrow 3{b^2} - 4ab = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{b = 0}\\{3b = 4a}\end{array}} \right.$

+ Nếu $b = 0$, chọn $a = 1$ suy ra phương trình tiếp tuyến là $x = 1$.

+ Nếu $3b = 4a$, chọn $a = 3,b = 4$ suy ra phương trình tiếp tuyến là $3x + 4y - 15 = 0$.

Ta có $(C)$: ${x^2} + {y^2} - 2x - 6y + 6 = 0$ có tâm $I(1;3)$, bán kính $R = 2$ $IM = \sqrt {{{(2 - 1)}^2} + {{(4 - 3)}^2}} = \sqrt 2 < 2 = R$.

Vậy $M$ nằm trong đường tròn $(C)$.

Vì $M$ là trung điểm đoạn $AB$ nên

$AB \bot IM$

Vi $AB \bot IM \Rightarrow$ Vectơ pháp tuyến của $AB$ là $\overrightarrow {{n_{AB}}} = \overrightarrow {IM} = (1;1)$.

Vậy phương trình đường thẳng $AB$ là: $1(x - 2) + 1(y - 4) = 0 \Leftrightarrow x + y - 6 = 0.{\rm{ }}$

$(E):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {{a^2} = {b^2} + {c^2};a,b,c > 0} \right) \cdot \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\frac{c}{a} = \frac{{\sqrt 5 }}{3}}\\{2(2a + 2b) = 20 \Rightarrow {a^2} = 9,{b^2} = 4.}\\{{c^2} = {a^2} - {b^2}}\end{array}} \right.$

$(E):\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1$.