Đề kiểm tra Ôn tập chương 7 lớp 10 (có lời giải) - Đề 2

Ta có $\overrightarrow {OA} = \left( {2;0} \right)$, $\overrightarrow {OB} = \left( {0;2} \right)$, $\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;2} \right)$.

Suy ra $OA = 2$, $OB = 2$, $AB = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} = 2\sqrt 2$.

Khi đó $OA = OB$, $O{A^2} + O{B^2} = A{B^2}$ nên tam giác $OAB$ vuông cân tại $O$.

Do đó đường phân giác trong $OD$ của tam giác $OAB$ vừa là đường trung tuyến.

Vậy $OD = \frac{1}{2}.AB = \frac{1}{2}.2\sqrt 2 = \sqrt 2$.

Ta có $\cos \left( {\vec a,\vec b} \right) = \frac{{\vec a.\vec b}}{{\left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right|}} = \frac{{1.\left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right).\left( { - 3} \right)}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$

Như vậy $(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=45^{\circ}$

Vì $\left( d \right)$ có vecto chỉ phương $\vec u = \left( {3;2} \right)$ nên $\left( d \right)$ có một vecto pháp tuyến là $\vec n = \left( { - 2;3} \right)$

Ta có phương trình tổng quát của $\left( d \right)$ là: $- 2\left( {x - 2} \right) + 3\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow - 2x + 3y + 7 = 0$.

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {2\,;\,2} \right)$.

Vì $\Delta$ đi qua điểm $A\left( {1\,;\,2} \right)$ và $B\left( {3\,;\,4} \right)$ nên $\Delta$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {1\,;\,1} \right)$.

Vậy phương trình tham số của $\Delta$ là: $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + t\end{array} \right.$.

Phương trình chính tắc của elip có dạng $\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1;(a,b > 0)$

Nên $a = 4;b = 2$.

Vì $M{F_1} = M{F_2}$ nên $M$thuộc đường trung trực của ${F_1}{F_2}$, chính là trục $Oy$.

$M$là điểm thuộc $\left( E \right)$ nên $M$là giao điểm của elip với trục $Oy$.

Vậy ${M_1}\left( {0;2} \right);{M_2}\left( {0; - 2} \right)$.

$\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {NM} = \left| {\overrightarrow {MN} \left| . \right|\overrightarrow {NM} } \right|.{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {NM} } \right) = M{N^2}.{\rm{cos}}{180^ \circ } = - M{N^2}$.

Do đó: $- M{N^2} = - 4 \Rightarrow MN = 2$.

Gọi $H$ là chân đường cao xuất phát từ đỉnh $A$ của tam giác $ABC$.

$\overrightarrow {BC} = \left( {4;0} \right) \Rightarrow BC = 4$.

$${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}.AH.BC \Rightarrow AH = \frac{{2.{S_{\Delta ABC}}}}{{BC}} = \frac{{2.16}}{4} = 8.$$

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {6; - 5} \right)\;$.

Véctơ chỉ phương của ${\Delta _2}\;$ là $\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 6;5} \right)\;$$\Rightarrow \;$vectơ pháp tuyến của đường thẳng là $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {5;6} \right)\;$.

Ta có:$\overrightarrow {{n_1}} \overrightarrow {{n_2}} = 0 \Leftrightarrow \;\overrightarrow {{n_1}} \bot \overrightarrow {{n_2}}$.

Ta có: ${d_{\left( {M,\left( d \right)} \right)}} = \frac{{\left| {{x_M} - 2{y_M} + 5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 2\sqrt 5$.

Khi đó: ${S_{\Delta MNP}} = \frac{1}{2}{d_{\left( {M,\left( d \right)} \right)}}.NP = \frac{1}{2}2\sqrt 5 .4 = 4\sqrt 5$

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

a) Qua $M(2; - 3)$ và vuông góc với $AB$ và $A(1{,}5),B( - 4{,}7)$

$M(2; - 3) \in \Delta$. Vì $\Delta \bot AB \Rightarrow$ Vectơ pháp tuyến của $\Delta$ là $\vec n = \overrightarrow {AB} = ( - 5{,}2)$

$\Delta : - 5(x - 2) + 2(y + 3) = 0 \Leftrightarrow - 5x + 2y + 16 = 0$

b) Vì $\Delta$ đi qua $A$ và $B$

$\Rightarrow$ vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\overrightarrow {{u_\Delta }} = \overrightarrow {AB} = (4, - 3)$

$\Rightarrow$ vectơ pháp tuyến của $\Delta$ là $\overrightarrow {{n_\Delta }} = (3{,}4)$

Ta có: $A( - 1{,}2) \in \Delta$ nên

Phương trình tổng quát của $\Delta :3(x + 1) + 4(y - 2) = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y - 5 = 0$

c) Qua $A( - 3{,}5),\Delta \bot d:x - 2y + 3 = 0$

$A( - 3{,}5) \in \Delta$. Vì $\Delta \bot d \Rightarrow$ vectơ pháp tuyến của $\Delta$ là $\overrightarrow {{n_\Delta }} \bot \overrightarrow {{n_d}} = (1, - 2)$

$\Rightarrow$ Vectơ pháp tuyến của $\Delta :\overrightarrow {{n_\Delta }} = (2{,}1)$

Phương trình tổng quát của $\Delta :2(x + 3) + 1(y - 5) = 0 \Leftrightarrow 2x + y + 1 = 0$

d) Qua $A( - 1{,}2),\Delta //d:x = 3$

$A( - 1{,}2) \in \Delta$.

Vì $\Delta //d:x + 0y - 3 = 0 \Rightarrow$ vectơ pháp tuyến của $\Delta :\overrightarrow {{n_\Delta }} = \overrightarrow {{n_d}} = (1{,}0)$

Phương trình tổng quát của $\Delta :1(x + 1) + 0(y - 2) = 0 \Leftrightarrow x + 1 = 0$

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

Phương trình đường tròn (C) có dạng ${x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0$ $\left( {{a^2} + {b^2} - c > 0} \right)$ tâm $I(a;b)$.

Vì $(C)$ tiếp xúc với $Oy$ tại $K(0;6) \Rightarrow I(a;b) \in \Delta :y = 6 \Rightarrow b = 6$

Ta có:

$\begin{array}{l}A(9;9) \in (C) \Rightarrow - 18a - 18b + c = - 102\\K(0;6) \in (C) \Rightarrow - 12b + c = - 36\end{array}$

Ta có hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{18a + 18b - c = 162}\\{12b - c = 36}\\{b = - 6}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{a = 5}\\{b = 6.{\rm{ }}}\\{c = 36}\end{array}} \right.} \right.$.

Vậy $(C):{x^2} + {y^2} - 10x - 12y + 36 = 0$.

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

a) Giả sử $M\left( {{x_M};{y_M}} \right) \in (P)$ suy ra $y_M^2 = 8{x_M}$.

Từ phương trình $(P)$ có $p = 4$ nên $F(2;0)$.

Ta có $FM = {x_M} + \frac{p}{2}$ suy ra ${x_M} = 1$, thay vào $y_M^2 = 8{x_M} \Rightarrow {y_M} = \pm 2\sqrt 2$

b) Vậy có hai điểm thỏa mãn là ${M_1}(1;2\sqrt 2 ),{M_2}(1; - 2\sqrt 2 )$.

c) Ta có $M \in (P) \Rightarrow M\left( {\frac{{{a^2}}}{8};a} \right)$ với $a \ge 0$.

${S_{\Delta OMF}} = 8 \Leftrightarrow \frac{1}{2}OF.d(M;OF) = 8 \Leftrightarrow a = 8.$

Vậy điểm cần tìm là $M(8;8)$.

d) Với mọi điểm $A \in (P),B \in \Delta$ ta luôn có $AB \ge d(A;\Delta )$. $A \in (P) \Rightarrow A\left( {\frac{{{a^2}}}{8};a} \right)$ với $a \ge 0$, khi đó $d(A;\Delta ) = \frac{{\left| {4 \cdot \frac{{{a^2}}}{8} - 3 \cdot a + 5} \right|}}{5} = \frac{{{{(a - 3)}^2} + 1}}{{10}} \ge \frac{1}{{10}}$. Suy ra $AB$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $A\left( {\frac{9}{8};3} \right)$ và $B$ là hình chiếu của $A$ lên $\Delta$.

Đường thẳng đi qua $A$ vuông góc với $\Delta$ nhận $\vec u(3;4)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là $3\left( {x - \frac{9}{8}} \right) + 4(y - 3) = 0$ hay $24x + 32y - 123 = 0$.

Do đó tọa độ điểm $B$ là nghiệm của hệ $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{4x - 3y + 5 = 0}\\{24x + 32y - 123 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = \frac{{209}}{{200}}}\\{y = \frac{{153}}{{50}}}\end{array}} \right.} \right.$.

Vậy $A\left( {\frac{9}{8};3} \right),B\left( {\frac{{209}}{{200}};\frac{{153}}{{50}}} \right)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

a) Sai

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

a) Ta có ${y^2} = 2x$ có dạng: ${y^2} = 2px \Rightarrow 2p = 2 \Rightarrow \frac{p}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow F\left( {\frac{1}{2};0} \right) \Rightarrow x = - \frac{1}{2}$.

b) Gọi $M\left( {\frac{{{m^2}}}{2};m} \right) \in (P);d(M;d) = \frac{{\left| {\frac{{{m^2}}}{2} - 2m + 6} \right|}}{{\sqrt 5 }} = \frac{1}{{2\sqrt 5 }}\left[ {{m^2} - 4m + 12} \right]$

$\begin{array}{l} = \frac{1}{{2\sqrt 5 }}\left[ {{{(m - 2)}^2} + 8} \right] = \frac{1}{{2\sqrt 5 }}{(m - 2)^2} + \frac{4}{{\sqrt 5 }} \cdot \\d{(M;d)_{\min }} = \frac{4}{{\sqrt 5 }} = \frac{{4\sqrt 5 }}{5} \Rightarrow m = 2\end{array}$.

$(C):{x^2} + {y^2} - 7x - y = 0$.

(C) có tâm $I\left( {\frac{7}{2};\frac{1}{2}} \right)$, bán kính $R = \frac{5}{{\sqrt 2 }}$.

Ta có $d[I,\Delta ] = 0$.

Vậy $\Delta$ đi qua tâm của $(C)$ và cắt $(C)$ tại 2 điểm phân biệt.

Tọa độ giao điểm $\Delta$ của đi qua tâm của $(C)$ là nghiệm của hệ: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x - y - 3 = 0}&{(1)}\\{{x^2} + {y^2} - 7x - y = 0}&{(2)}\end{array}} \right.$

Từ $(1) \Leftrightarrow y = x - 3$ thay vào $(2)$ ta được:

${x^2} + {(x - 3)^2} - 7x - (x - 3) = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} - 14x + 12 = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 1 \Rightarrow y = - 2}\\{x = 6 \Rightarrow y = 3}\end{array}.} \right.$

Vậy $\Delta$ cắt $(C)$ tại hai điểm $A(1; - 2)$ và $A(6;3)$.

Đáp án: $(C):{\left( {x - \frac{7}{3}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{{11}}{3}} \right)^2} = \frac{{50}}{9}$

Ta có: $\overrightarrow {AB} = (2;2)$.

Đường trung trực $d$ của đoạn $AB$ đi qua $M(1;5)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec n = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = (1;1)$ là

$d:x + y - 6 = 0.$

- Tâm $I$ là giao điểm của $d$ và $\Delta$ nên tọa độ $I$ là nghiệm của hệ phương trình sau:

$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x + y - 6 = 0}\\{x - 2y + 5 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = \frac{7}{3}}\\{y = \frac{{11}}{3}}\end{array} \Rightarrow I\left( {\frac{7}{3};\frac{{11}}{3}} \right).} \right.} \right.$

- Bán kính: $R = IA = \sqrt {{{\left( {0 - \frac{7}{3}} \right)}^2} + {{\left( {4 - \frac{{11}}{3}} \right)}^2}} = \frac{{5\sqrt 2 }}{3}$.

Vậy phương trình đường tròn là $(C):{\left( {x - \frac{7}{3}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{{11}}{3}} \right)^2} = \frac{{50}}{9}$.

Tìm $a$ để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$ sao cho $\widehat{AOB}={120}^{^{\circ}}$

Ta có: $x = a \Rightarrow {y^2} = 16a \Rightarrow y = \pm 4\sqrt a (a > 0) \Rightarrow A(a; - 4\sqrt a ),B(a;4\sqrt a )$.

$\begin{matrix}\widehat{AOB}={120}^{^{\circ}}\Leftrightarrow (\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})={120}^{^{\circ}}\Leftrightarrow \cos (\overrightarrow{OA}, \\ \Leftrightarrow \frac{{a}^{2}-16a}{\sqrt{{a}^{2}+16a}\cdot \sqrt{{a}^{2}+16a}}=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow a=\frac{16}{3}.\end{matrix}$

Đáp án: ${\Delta _1}:(\sqrt {51} - 8)x + y + 26 - 4\sqrt {51} = 0;\,\,{\Delta _2}:(\sqrt {51} + 8)x - y - 26 - 4\sqrt {51} = 0.$

Khi $AB = 2$ thì $\Delta IAB$ đều do đó $d[I,AB] = \frac{{2\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3$.

Đường thẳng đi qua $M$ có dạng: $d:Ax + By - 4A - 6B = 0$.

Ta có $d[I,AB] = d[I,d] = \sqrt 3 \Leftrightarrow |2A + 4B| = \sqrt 3 \cdot \sqrt {{A^2} + {B^2}} \Leftrightarrow {A^2} + 16AB + 13{B^2} = 0$.

Chọn $B = 1$ ta được $\left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{A = - 8 + \sqrt {51} }\\{A = - 8 - \sqrt {51} }\end{array}} \right.$.

$\begin{array}{l}A = - 8 + \sqrt {51} ,B = 1 \Rightarrow {\Delta _1}:(\sqrt {51} - 8)x + y + 26 - 4\sqrt {51} = 0.\\A = - 8 - \sqrt {51} ,B = 1 \Rightarrow {\Delta _2}:(\sqrt {51} + 8)x - y - 26 - 4\sqrt {51} = 0.\end{array}$

Đáp án: $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < \frac{1}{5}}\\{m > 1}\end{array}} \right.$

(1) có dạng ${x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0$ với $a = m,b = - 2m,c = 6m - 1$.

Vậy để (1) là phương trình đường tròn thì

${a^2} + {b^2} - c > 0 \Leftrightarrow {m^2} + 4{m^2} - 6m + 1 > 0 \Leftrightarrow 5{m^2} - 6m + 1 > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{m < \frac{1}{5}}\\{m > 1}\end{array}} \right.$

Vậy $\left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{m < \frac{1}{5}}\\{m > 1}\end{array}} \right.$ thì $(1)$ trở thành phương trình đường tròn.

Đáp án: ${(x - 1)^2} + {(y + 1)^2} = 1$ và ${(x - 5)^2} + {(y + 5)^2} = 25$.

Gọi đường tròn cần tìm là $(I;R)$ với $I(a;b)$ là tâm đường tròn.

Đường tròn $(I;R)$ tiếp xúc với các trục $Ox;Oy$ nên

$d(I;Ox) = d(I;Oy) = R \Rightarrow |a| = |b| = R \Rightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{a = b = R}\\{a = - b = R}\end{array}.} \right.$

Nếu $a = b$ thì phương trình đường tròn có dạng ${(x - a)^2} + {(y - a)^2} = {a^2}$

Mà điểm $A(2; - 1) \in (I;R)$ nên ${(2 - a)^2} + {( - 1 - a)^2} = {a^2}$ $\Rightarrow {a^2} - 2a + 5 = 0$ vô nghiệm.

Vậy trường hợp này không có giá trị thoả mãn.

Nếu $a = - b$ thì phương trình đường tròn có dạng ${(x - a)^2} + {(y + a)^2} = {a^2}$

Mà điểm $A(2; - 1) \in (I;R)$ nên ${(2 - a)^2} + {( - 1 + a)^2} = {a^2}$

$\Rightarrow {a^2} - 6a + 5 = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{a = 1}\\{a = 5}\end{array}} \right.$