Đề kiểm tra Ôn tập chương 7 lớp 10 (có lời giải) - Đề 1

$M$ là trung điểm cạnh $BC$ nên ${x_M} = \frac{{2 + 6}}{2} = 4;{y_M} = \frac{{0 + 2}}{2} = 1$. Suy ra $M\left( {4;1} \right)$.

$\overrightarrow {AM} = \left( {5; - 2} \right) \Rightarrow AM = \sqrt {{5^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = \sqrt {29}$.

Ta có: ${d_1}$ có VTPT là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {11; - 12} \right)$; ${d_2}$ có VTPT là $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {12;11} \right)$.

Xét $\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 11.12 - 12.11 = 0$ $\Rightarrow {d_1} \bot {d_2}$.

Gọi $A\left( { - 1;{y_A}} \right)$ là giao điểm của đường thẳng $\Delta$ và đường thẳng $d'$

Ta có $A \in d':\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 3t\\y = 1 + 2t\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 = 2 - 3{t_A}\\{y_A} = 1 + 2{t_A}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_A} = 1\\{y_A} = 3\end{array} \right. \Rightarrow A\left( { - 1;3} \right)$

+ $\left( d \right):\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 2t\end{array} \right.$ suy ra $\left( d \right)$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {1;2} \right)$

+ $\Delta {\rm{//}}d \Rightarrow \Delta$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {1;2} \right)$

+ $\Delta$ qua $A\left( { - 1;3} \right)$ và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {1;2} \right)$

$\Rightarrow \Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = 3 + 2t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$

Ta có $\vec a = \left( {2;4} \right) = 2\vec u$ và $B\left( {2;9} \right) \in \Delta \left( {{t_0} = 3} \right)$

Mặt khác $\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = 3 + 2t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right) \Leftrightarrow \Delta : - 2x + y - 5 = 0$.

Ta có: $H \in d \Rightarrow H\left( {1 + 2t;t} \right)$, $\overrightarrow {AH} = \left( {2t;t - 2} \right)$, đường thẳng $d$ có VTCP: $\overrightarrow u = \left( {2;1} \right)$.

Vì $AH \bot d \Rightarrow \overrightarrow {AH} .\overrightarrow u = 0$$\Leftrightarrow 2.2t + t - 2 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{2}{5} \Rightarrow H\left( {\frac{9}{5};\frac{2}{5}} \right)$.

Phương trình chính tắc của Elip có dạng $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\,\,\left( {a > b > 0} \right)$

Ta có $F\left( {4;0} \right) \Rightarrow c = 4$; $\frac{{2\sqrt 5 }}{5} = \frac{c}{a} \Rightarrow a = 2\sqrt 5$

Suy ra ${b^2} = {a^2} - {c^2} = 20 - 16 = 4$.

Vậy phương trình chính tắc của Elip là $\frac{{{x^2}}}{{20}} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1$.

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $A\left( { - 2;3} \right)$ và nhận vec tơ $\overrightarrow {AB} \left( {5;\, - 2} \right)$ làm vectơ chỉ phương.

Vậy phương trình tham số của đường thẳng $d$ là $\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + 5t\\y = 3 - 2t\end{array} \right.,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$.

Ta có ${d_1}$ có VTCP là $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1; - 2} \right)$, ${d_2}$ có VTCP là $\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 2;4} \right)$ và có điểm $B\left( {2; - 8} \right) \in {d_2}$

Thay toạ độ $B$ vào phương trình đường thẳng ${d_1}$ ta được:

$\left\{ \begin{array}{l}2 = - 1 + t\\ - 8 = - 2 - 2t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 3\\t = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow t = 3$

$\Rightarrow B \in {d_1}$

Lại có $\overrightarrow {{u_2}} = - 2\overrightarrow {{u_1}}$

Vậy ${d_1} \equiv {d_2}$.

Véctơ pháp tuyến của ${\Delta _1},\,\,\;{\Delta _2}\;$lần lượt là $\overrightarrow {{n_1}} (2;3),\,\,\overrightarrow {{n_2}} (2; - 3).$

Ta có: $\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = |c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)| = \frac{{\overrightarrow {|{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}|} }}{{|\overrightarrow {{n_1}|} |\overrightarrow {{n_2}|} }} = \frac{5}{{13}}.$

Đường thẳng ${d_1}$ có 1 VTPT là $\overrightarrow n \left( {2; - 1} \right)$.

Đường thẳng ${d_2}$ có 1 VTPT là $\overrightarrow {n'} \left( {3;1} \right)$.

$\cos ({d}_{1};{d}_{2})=\frac{|\overrightarrow{n}.\overrightarrow{n'}|}{|\overrightarrow{n}|.|\overrightarrow{n'}|}=\frac{|2.3-1|}{\sqrt{5}.\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow ({d}_{1};{d}_{2})={45}^{0}$

Đường thẳng ${d_1}$ có 1 VTPT là $\overrightarrow n \left( {2; - 1} \right)$.

Đường thẳng ${d_2}$ có 1 VTPT là $\overrightarrow {n'} \left( {3;1} \right)$.

$\cos \left( {{d_1};{d_2}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {n'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow {n'} } \right|}} = \frac{{\left| {2.3 - 1} \right|}}{{\sqrt 5 .\sqrt {10} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \left( {{d_1};{d_2}} \right) = {45^0}$.

a) Sai

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

a) $\Delta$ có vectơ chỉ phương là $\vec u = (3; - 2)$ nên có phương trình tham số:

$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 10 + 3t}\\{y = - 8 - 2t}\end{array}} \right.$

b) $\Delta$ vuông góc với trục $Oy$ nên nhận vectơ đơn vị của trục $Ox$ là vectơ chỉ phương, tức là $\vec u = \vec i = (1;0);$ phương trình tham số $\Delta :\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = t}\\{y = 1}\end{array}} \right.$.

c) $\Delta$ có hệ số góc $k = - 2$ nên có vectơ chỉ phương $\vec u = (1; - 2)$, vậy phương trình tham số của $\Delta$ là $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = - 1 + t}\\{y = - 5 - 2t}\end{array}} \right.$.

d) Xét phương trình tổng quát $\Delta :10x + y - 20 = 0$; thay $x = 0 \Rightarrow y = 20$ nên $\Delta$ qua điểm $M(0;20)$. Mặt khác $\Delta$ có vectơ pháp tuyến $\vec n = (10;1)$ nên có vectơ chỉ phương là $\vec u = (1; - 10)$.

Vậy phương trình tham số của $\Delta$ là $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = t}\\{y = 20 - 10t}\end{array}} \right.$.

a) Sai

b) Sai

c) Đúng

d) Sai

Giả sử $A\left( {1; - 2} \right) \in \left( d \right):x - 2y + 5 = 0$ $\Rightarrow 1 - 2.\left( { - 2} \right) + 5 = 0\left( {vl} \right)$.

Ta có $\left( d \right):x - 2y + 5 = 0 \Rightarrow VTPT\,\overrightarrow n = \left( {1; - 2} \right) \Rightarrow VTCP\,\overrightarrow u = \left( {2;1} \right)$

Ta có $\left( d \right):x - 2y + 5 = 0 \Rightarrow y = \frac{1}{2} + \frac{5}{2}$ $\Rightarrow$ hệ số góc $k = \frac{1}{2}$

a) Đúng

b) Sai

c) Sai

d) Đúng

Gọi tâm đường tròn $I(a;b)$. Ta có vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {4;3} \right)$ và $\overrightarrow {IB} = \left( {1 - a; - 3 - b} \right)$. Theo giả thiết: $\overrightarrow {IB} \bot \overrightarrow {{u_\Delta }} \Rightarrow \overrightarrow {IB} .\overrightarrow {{u_\Delta }} = 0 \Rightarrow 4a + 3b + 5 = 0\left( 1 \right)$. Ta lại có $\begin{array}{l}IA = IB \Leftrightarrow I{A^2} = I{B^2}\\ \Leftrightarrow {\left( { - 2 - a} \right)^2} + {\left( {6 - b} \right)^2} = {\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( { - 3 - b} \right)^2}\\ \Leftrightarrow a - 3b + 5 = 0\left( 2 \right)\end{array}$

Giải hệ (1) và (2): $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{4a + 3b = - 5}\\{a - 3b = - 5}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{a = - 2}\\{b = 1}\end{array}} \right.} \right.$.

Suy ra $R = IA = \sqrt {{{( - 2 + 2)}^2} + {{(6 - 1)}^2}} = 5$.

Do đó phương trình đường tròn $(C):{(x + 2)^2} + {(y - 1)^2} = 25$.

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

a) $\Delta$ song song với đường thẳng $d:3x - 1 = 0$ nên có một vectơ pháp tuyến là $\vec n = (3;0)$, một vectơ chỉ phương là $\vec u = (0;3)$.

Phương trình tổng quát $\Delta :3(x + 2) + 0(y - 4) = 0$ hay $x + 2 = 0$.

b) $\Delta$ vuông góc với đường thẳng $d:x - 2y + 2 = 0$ nên $\Delta$ có một vectơ chỉ phương $\vec u = (1; - 2)$ và một vectơ pháp tuyến $\vec n = (2;1)$.

Phương trình tham số $\Delta :\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 3 + t}\\{y = 3 - 2t}\end{array}} \right.$.

c) $\Delta$ đi qua điểm $E( - 1;2)$ và có hệ số góc $k = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow \Delta :y = \frac{1}{2}(x + 1) + 2 \Leftrightarrow \Delta :\frac{1}{2}x - y + \frac{5}{2} = 0.{\rm{ }}$

d) Vì $\Delta$ song song với đường thẳng $5x + 1 = 0$ nên vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\vec u = (0; - 5)$. $\Delta$ qua $A( - 1;2)$ và vectơ chỉ phương $\vec u = (0; - 5)$

$\Rightarrow \Delta :\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = - 1}\\{y = 2 - 5t}\end{array}} \right.{\rm{. }}$

Đường tròn $\left( {{C_1}} \right)$ có tâm ${I_1}(0;2)$ bán kính ${R_1} = 3$.

Đường tròn $\left( {{C_2}} \right)$ có tâm ${I_2}(3; - 4)$ bán kính ${R_2} = 3$.

Gọi tiếp tuyến chung của hai đường tròn có phương trình $\Delta :ax + by + c = 0$ với ${a^2} + {b^2} \ne 0$

$\Delta$ là tiếp tuyến chung của $\left( {{C_1}} \right)$ và $\left( {{C_2}} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{d\left( {{I_1},\Delta } \right) = 3}\\{d\left( {{I_2},\Delta } \right) = 3}\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{|2b + c| = 3\sqrt {{a^2} + {b^2}} (*)}\\{|3a - 4b + c| = 3\sqrt {{a^2} + {b^2}} }\end{array} \Rightarrow |2b + c| = |3a - 4b + c| \Rightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{a = 2b}\\{c = \frac{{ - 3a + 2b}}{2}.}\end{array}} \right.} \right.$

Trường hợp 1: $a = 2b$; chọn $a = 2 \Rightarrow b = 1$; thay vào $\left( * \right)$ ta được: $c = - 2 \pm 3\sqrt 5$; suy ra phương trình hai tiếp tuyến là: $2x + y - 2 \pm 3\sqrt 5 = 0$.

Trường hợp 2: $c = \frac{{ - 3a + 2b}}{2}$; thay vào $(*)$ ta được:

$\begin{array}{l}\left| {2b + \frac{{ - 3a + 2b}}{2}} \right| = 3\sqrt {{a^2} + {b^2}} \Leftrightarrow |2b - a| = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \\ \Leftrightarrow 4{b^2} - 4ab + {a^2} = 4{a^2} + 4{b^2} \Leftrightarrow 3{a^2} + 4ab = 0 \Leftrightarrow a(3a + 4b) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{a = 0}\\{3a = - 4b}\end{array}.} \right.\end{array}$

Với $a = 0$; chọn $b = 1 \Rightarrow c = 1$.

Phương trình $\Delta :y + 1 = 0$.

Với $3a = - 4b$; chọn $a = 4 \Rightarrow b = - 3 \Rightarrow c = - 9$.

Phương trình: $\Delta :4x - 3y - 9 = 0$.

Vậy có bốn tiếp tuyến chung của hai đường tròn có phương trình là:

$2x + y - 2 \pm 3\sqrt 5 = 0;y + 1 = 0;4x - 3y - 9 = 0.{\rm{ }}$

Đáp án: $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{d:x + 2y = 0}\\{d:x + 2y - 10 = 0}\end{array}} \right.$

$(C)$ có tâm $I( - 1;3)$ và bán kính $R = \sqrt {1 + 9 - 5} = \sqrt 5 ,d:x + 2y - m = 0$.

$d$ là tiếp tuyến của $(C)$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow d(I,d) = R \Leftrightarrow \frac{{| - 1 + 6 - m|}}{{\sqrt {1 + 4} }} = \sqrt 5 \Leftrightarrow |m - 5| = 5\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{m - 5 = - 5}\\{m - 5 = 5}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{m = 0 \Rightarrow d:x + 2y = 0}\\{m = 10 \Rightarrow d:x + 2y - 10 = 0}\end{array}} \right.} \right.\end{array}$

$(E):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {{a^2} = {b^2} + {c^2};a,b,c > 0} \right)$. Gọi ${F_1}( - c;0) \Rightarrow {F_2}(c;0)$.

Hai đỉnh trên trục nhỏ ${B_1}(0; - b),{B_2}(0;b)$. Ta có hệ:

$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{b = 2c\frac{{\sqrt 3 }}{2}}\\{2(2a + 2b) = 12(2 + \sqrt 3 ) \Leftrightarrow }\\{{c^2} = {a^2} - {b^2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{a = 6}\\{b = 3\sqrt 3 }\\{c = 3}\end{array} \Rightarrow (E):\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{27}} = 1.} \right.} \right.$

Giả sử hypebol $(H)$ có phương trình chính tắc là $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ với $a > 0,b > 0$.

Do ${A_2}(4;0)$ thuộc $(H)$ nên $\frac{{{4^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1$, suy ra $a = 4$.

Mà ${F_2}(6;0)$ là tiêu điểm của $(H)$ nên $c = 6$.

Suy ra ${b^2} = {c^2} - {a^2} = 36 - 16 = 20$.

Vậy hypebol $(H)$ có phương trình chính tắc là $\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{{20}} = 1$.

Đáp án: ${M_1}\left( {\frac{{\sqrt {32} }}{3};\frac{1}{3}} \right),{M_2}\left( {\frac{{\sqrt {32} }}{3}; - \frac{1}{3}} \right),{M_3}\left( { - \frac{{\sqrt {32} }}{3}; - \frac{1}{3}} \right),{M_4}\left( { - \frac{{\sqrt {32} }}{3}; - \frac{1}{3}} \right){\rm{. }}$

$M \in (E)$. Ta có $M{F_1} = 2 + \frac{{\sqrt 3 }}{2}x,M{F_2} = 2 - \frac{{\sqrt 3 }}{2}x$.

${F}_{1}{F}_{2}^{2}=M{F}_{1}^{2}+M{F}_{2}^{2}-2M{F}_{1}M{F}_{2}\cos {60}^{^{\circ}}\Leftrightarrow 12=4+\frac{9}{4}{x}^{2}\Leftrightarrow x=\pm \frac{\sqrt{32}}{3}.$

$\begin{array}{l}{\rm{ V\`i }}M \in (E){\rm{ n\^e n }}x = \pm \frac{{\sqrt {32} }}{3} \Rightarrow y = \pm \frac{1}{3}{\rm{. }}\\ \Rightarrow {M_1}\left( {\frac{{\sqrt {32} }}{3};\frac{1}{3}} \right),{M_2}\left( {\frac{{\sqrt {32} }}{3}; - \frac{1}{3}} \right),{M_3}\left( { - \frac{{\sqrt {32} }}{3}; - \frac{1}{3}} \right),{M_4}\left( { - \frac{{\sqrt {32} }}{3}; - \frac{1}{3}} \right){\rm{. }}\end{array}$

Phương trình của elip là $\frac{{{x^2}}}{{{5^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{3^2}}} = 1$,

Khi đó: $\frac{{{2^2}}}{{{5^2}}} + \frac{{{h^2}}}{{{3^2}}} = 1 \Rightarrow h = \frac{{3\sqrt {21} }}{5}$