Đề kiểm tra Nguyên hàm lớp 12 (có lời giải) - Đề 3

Ta có $F\left( x \right) = \int {\frac{1}{{\sqrt x }}{\rm{d}}x = } 2\sqrt x + C$.

Khi đó: $F\left( 1 \right) = 1 \Leftrightarrow C = - 1$. Suy ra $F\left( 4 \right) = 4 - 1 = 3$. Vậy đáp án đúng là D.

Ta có: $I = \int {\frac{{{x^2} - 2025}}{{x\left( {{x^2} + 2025} \right)}}} {\rm{d}}x$$= \int {\frac{{1 - \frac{{2025}}{{{x^2}}}}}{{x + \frac{{2025}}{x}}}} {\rm{d}}x$$= \int {\frac{1}{{\left( {x + \frac{{2025}}{x}} \right)}}{\rm{d}}\left( {x + \frac{{2025}}{x}} \right)}$

Vậy $I = \ln \left| {x + \frac{{2025}}{x}} \right| + C$.

Chọn A

Ta có $\int {\frac{{{\rm{d}}x}}{{\sqrt {x + 2025} + \sqrt {x + 2024} }}} = \int {\frac{{\sqrt {x + 2025} - \sqrt {x + 2024} }}{{x + 2025 - \left( {x + 2024} \right)}}{\rm{d}}x} = \int {\left( {\sqrt {x + 2025} - \sqrt {x + 2024} } \right){\rm{d}}x}$

$= \frac{2}{3}\left( {x + 2025} \right)\sqrt {x + 2025} - \frac{2}{3}\left( {x + 2024} \right)\sqrt {x + 2024} + C.$

Suy ra $a = \frac{2}{3},b = - \frac{2}{3}.$ Vậy $S = 2025a + 3b = 1348.$

Chọn A

Ta có $f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right){\rm{d}}x}$$= \int {\frac{1}{{{x^2} - 2025}}{\rm{d}}x}$$= \frac{1}{{90}}\int {\left( {\frac{1}{{x - 45}} - \frac{1}{{x + 45}}} \right){\rm{d}}x}$$= \frac{1}{{90}}\ln \left| {\frac{{x - 45}}{{x + 45}}} \right| + C$

Mà $f\left( {25} \right) = 0$ $\Rightarrow \frac{1}{{90}}\ln \frac{2}{7} + C = 0 \Rightarrow C = - \frac{1}{{90}}\ln \frac{2}{7}$

Khi đó $f\left( x \right) = \frac{1}{{90}}\ln \left| {\frac{{x - 45}}{{x + 45}}} \right| - \frac{1}{{90}}\ln \frac{2}{7}$

Do đó $f\left( { - 50} \right) = \frac{1}{{90}}\ln 19 - \frac{1}{{90}}\ln \frac{2}{7} = \frac{1}{{90}}\ln \frac{{133}}{2} \approx 0{,}047 \in \left( {0;1} \right)$

Ta có: $I = \int {\frac{{{x^2} + 45}}{{{x^4} - 91{x^2} + 2025}}} {\rm{d}}x$$= \int {\frac{{1 + \frac{{45}}{{{x^2}}}}}{{{x^2} - 91 + \frac{{2025}}{{{x^2}}}}}} {\rm{d}}x$$= \int {\frac{{\left( {1 + \frac{{45}}{{{x^2}}}} \right)}}{{{x^2} + \frac{{{{45}^2}}}{{{x^2}}} - 91}}} {\rm{d}}x$$= \int {\frac{{\left( {1 + \frac{{45}}{{{x^2}}}} \right)}}{{{{\left( {x - \frac{{45}}{x}} \right)}^2} - 1}}} {\rm{d}}x$

$= \int {\frac{1}{{{{\left( {x - \frac{{45}}{x}} \right)}^2} - 1}}} {\rm{d}}\left( {x - \frac{{45}}{x}} \right)$$= \frac{1}{2}\left[ {\ln \left| {x - \frac{{45}}{x} - 1} \right| - \ln \left| {x - \frac{{45}}{x} + 1} \right|} \right]$$= \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{{x^2} - x - 45}}{{{x^2} + x - 45}}} \right| + C$.

Vậy $I = \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{{x^2} - x - 45}}{{{x^2} + x - 45}}} \right| + C$.

a, b. Áp dụng quy tắc $\int {{x^\alpha }{\rm{d}}x} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\left( {\alpha \ne - 1} \right)$

và tính chất $\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int {g\left( x \right){\rm{d}}x}$. Ta được:

$\int {2x{\rm{d}}x} = {x^2} + C$.

$\int {\left( {4{x^3} + 2x + 1} \right){\rm{d}}x} = 4\frac{{{x^4}}}{4} + 2\frac{{{x^2}}}{2} + x + C$$= {x^4} + {x^2} + x + C$.

c) Áp dụng định nghĩa nguyên hàm, ta có:

$F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)\,{\rm{d}}x\,\,\, \Rightarrow } \,f\left( x \right) = F'\left( x \right) = 15{x^2} + 8x - 7$.

Vậy $a + b + c = 16$.

d) Ta có: $f\left( x \right) = {x^4} - \left( {m - 1} \right)x + C$

Từ giả thiết, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}C = 3\\16 - \left( {m - 1} \right).2 + C = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}C = 3\\m - 1 = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}C = 3\\m = 10\end{array} \right.$

Do đó: $f\left( x \right) = {x^4} - 9x + 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 9\\c = 3\end{array} \right. \Rightarrow a + b + c = - 5.$

a, b. Áp dụng quy tắc $\int {\frac{1}{x}{\rm{d}}x} = \ln \left| x \right| + C\left( {x \ne 0} \right)$ và $\int {\frac{1}{{{x^2}}}{\rm{d}}x} = \int {{x^{ - 2}}{\rm{d}}x} = - \frac{1}{x} + C\left( {x \ne 0} \right)$

Với $x > 0$ ta có: $\int {\frac{1}{{2x}}{\rm{d}}x} = \frac{1}{2}\ln \left| x \right| + C$ và $\int {\left( {\frac{1}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}} \right){\rm{d}}x} = \ln x - \frac{3}{x} + C$.

c) $\int {\frac{{{x^2} - 3x + 2}}{x}{\rm{d}}x} = \int {\left( {x - 3 + \frac{2}{x}} \right){\rm{d}}x} = \frac{{{x^2}}}{2} - 3x + 2\ln \left| x \right| + C$

Vậy mệnh đề c sai.

d) Áp dụng định nghĩa nguyên hàm, ta có:

$F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)\,{\rm{d}}x\,\,\, \Rightarrow } \,f\left( x \right) = F'\left( x \right) = \frac{{2{x^2} + 4x - 10}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$.

Vậy $a + b + c = - 4$.

a) Đúng.

Một nguyên hàm của $f\left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$ là $F(x) = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{3{x^2}}}{2}$ vì $F'\left( x \right) = {x^3} - 3x$.

b) Sai. $G'\left( x \right) = {x^3} + 3x \ne f\left( x \right)$.

c) Đúng.

$f\left( x \right) = {x^3} - 3x$ có nguyên hàm $M(x) = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{3{x^2}}}{2} + m$. Mà $M(0) = 1 \Leftrightarrow m = 1$.

Khi đó $M(x) = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{3{x^2}}}{2} + 1$.

d) Đúng.

$f(x) = {x^3} - 3x$ có nguyên hàm $H(x) = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{3{x^2}}}{2} + C$.

Mà $H(1) = - \frac{1}{4} \Leftrightarrow \frac{1}{4} - \frac{3}{2} + C = - \frac{1}{4} \Leftrightarrow C = 1$.

Khi đó $H(x) = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{3{x^2}}}{2} + 1 \Rightarrow H(2) = - 1$.

a) Sai.

b) Đúng.

c) Sai. $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( {{x^2} - 3} \right).\left( {4x + 3} \right)dx} = \int {\left( {4{x^3} + 3{x^2} - 12x - 9} \right){\rm{d}}x} = {x^4} + {x^3} - 6{x^2} - 9x + C$.

d) Đúng.

$F\left( x \right) = {x^4} + {x^3} - 6{x^2} - 9x + C$$\Rightarrow F\left( 1 \right) = - 13 + C = - 10 \Rightarrow C = 3$. Suy ra $F\left( 0 \right) = 3$.

+) Ta có $f\left( x \right) = \cos x.{\sin ^2}x = \cos x\left( {\frac{{1 - \cos 2x}}{2}} \right)$$= \frac{1}{2}\left( {\cos x - \cos x\cos 2x} \right)$$= \frac{1}{2}\cos x - \frac{1}{4}\left( {\cos 3x + \cos x} \right)$$= \frac{1}{4}\cos x - \frac{1}{4}\cos 3x$.

+) $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( {\frac{1}{4}\cos x - \frac{1}{4}\cos 3x} \right){\rm{d}}x}$$= \frac{1}{4}\sin \,x - \frac{1}{{12}}\sin \,3x + C$.

Lại có: $F\left( 0 \right) = 2025$ $\Rightarrow C = 2025$$\Rightarrow F\left( x \right) = \frac{1}{4}\sin \,x - \frac{1}{{12}}\sin \,3x + 2025$$\Rightarrow F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{1}{4}\sin \,\frac{\pi }{2} - \frac{1}{{12}}\sin \,\frac{{3\pi }}{2} + 2025$$= \frac{1}{4} + \frac{1}{{12}} + 2025 = \frac{{6076}}{3} \approx 2025$.

Vậy $F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) \approx 2025$.

+) Ta có $f\left( x \right) = x{\left( {2x - 1} \right)^{2025}}$$= \frac{1}{2}\left( {2x - 1 + 1} \right){\left( {2x - 1} \right)^{2025}}$$= \frac{1}{2}{\left( {2x - 1} \right)^{2026}} + \frac{1}{2}{\left( {2x - 1} \right)^{2025}}$..

+) $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x}$$= \int {\left( {\frac{1}{2}{{\left( {2x - 1} \right)}^{2026}} + \frac{1}{2}{{\left( {2x - 1} \right)}^{2025}}} \right){\rm{d}}x}$$= \frac{1}{4}\frac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^{2027}}}}{{2027}} + \frac{1}{4}\frac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^{2026}}}}{{2026}} + C$$= \frac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^{2027}}}}{{8108}} + \frac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^{2026}}}}{{8104}} + C$.

Lại có: $F\left( {\frac{1}{2}} \right) = 1$ $\Rightarrow C = 1$$\Rightarrow F\left( x \right) = \frac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^{2027}}}}{{8108}} + \frac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^{2026}}}}{{8104}} + 1$$\Rightarrow F\left( 0 \right) = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{2027}}}}{{8108}} + \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{2026}}}}{{8104}} + 1 \approx 1$.

Vậy $F\left( 0 \right) \approx 1$.

Ta có $I = \int {\frac{1}{{{x^2}{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{\rm{d}}x} = \int {{{\left[ {\frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}}} \right]}^2}{\rm{d}}x} = \int {{{\left[ {\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}} \right]}^2}{\rm{d}}x}$

$= \int {\left[ {\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} - \frac{2}{{x\left( {x + 1} \right)}}} \right]{\rm{d}}x}$$= \int {\left[ {\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} - \frac{2}{x} + \frac{2}{{x + 1}}} \right]{\rm{d}}x}$

$= - \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}} - 2\ln \left| x \right| + 2\ln \left| {x + 1} \right| + C$.

Đối chiếu yêu cầu bài toán ta có $a = - 1;\,b = - 1;\,c = 2;\,d = 2$, suy ra $S = a + b - c + d = - 2$.

Chú ý: $\int {\frac{1}{{ax + b}}{\rm{d}}x} = \frac{1}{a}\int {\frac{{{{\left( {ax + b} \right)}^\prime }{\rm{d}}x}}{{ax + b}}} = \frac{1}{a}\ln \left| {ax + b} \right| + C$.

$$\int {\frac{1}{{{{\left( {ax + b} \right)}^2}}}{\rm{d}}x} = - \frac{1}{a}\int {\frac{{{{\left( {ax + b} \right)}^\prime }{\rm{d}}x}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^2}}}} = - \frac{1}{a}.\frac{1}{{ax + b}} + C$$

+ Vận tốc khi viên đá bay lên là ${v_1}\left( t \right) = \int { - g{\rm{d}}t} = \int { - 10} {\rm{d}}t = - 10t + C$.

+ Theo giả thiết ta có ${v_1}\left( 0 \right) = 10 \Rightarrow C = 10 \Rightarrow {v_1}\left( t \right) = - 10t + 10$.

+ Đến vị trí cao nhất thì viên đá dừng, ta có.

+ Quãng đường từ lúc ném đến khi viên đá đạt độ cao nhất là:

$${S_1}\left( t \right) = \int {{v_1}\left( t \right){\rm{d}}t} = \int {\left( { - 10t + 10} \right)} {\rm{d}}t = - 5{t^2} + 10t + {C_1}$$

+ Ta có ${S_1}\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow {C_1} = 0$$\Rightarrow {S_1}\left( t \right) = - 5{t^2} + 10t$.

+ Sau $1\left( s \right)$ viên đá đạt độ cao $\Rightarrow {S_1}\left( 1 \right) = 5\left( m \right)$.

+ Vận tốc khi viên đá rơi xuống là ${v_2}\left( t \right) = \int {g{\rm{d}}t} = \int {10} {\rm{d}}t = 10t + {C_2}$.

+ Lúc bắt đầu rơi ${v_2}\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow {C_2} = 0 \Rightarrow {v_2}\left( t \right) = 10t$.

+ Quãng đường viên đá rơi xuống là: ${S_2}\left( t \right) = \int {{v_2}\left( t \right){\rm{d}}t} = \int {10t} {\rm{d}}t = 5{t^2} + {C_3}$.

+ Ta có ${S_2}\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow {C_3} = 0$$\Rightarrow {S_2}\left( t \right) = 5{t^2}$.

Do đó $5{t^2} = 5 \Rightarrow t = 1\left( s \right)$, suy ra thời gian viên đá rơi đến khi chạm đất là $1\left( s \right)$.

Vậy tổng thời gian viên đá từ lúc ném lên đến khi rơi xuống là $2\left( s \right)$.

* $f\left( x \right) = F'\left( x \right) = 1;\,g\left( x \right) = G'\left( x \right) = \frac{x}{2}$.

* $H\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\rm{.g}}\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\frac{x}{2}{\rm{d}}x} = \frac{{{x^2}}}{4} + C$

* $H\left( 4 \right) = 4$ nên suy ra $C = 0$. Do đó $H\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{4}$.

* $H\left( 1 \right) = \frac{1}{4} = 0{,}25$.

* $h\left( t \right) = \int {h'\left( t \right){\rm{d}}t} = \frac{1}{5}\int {{{\left( {t + 3} \right)}^{\frac{1}{3}}}{\rm{d}}t} = \frac{3}{{20}}{\left( {t + 3} \right)^{\frac{4}{3}}} + C$.

* $h\left( 0 \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{9\sqrt[3]{3}}}{{20}} + C = 0 \Leftrightarrow C = - \frac{{9\sqrt[3]{3}}}{{20}} \to h\left( t \right) = \frac{3}{{20}}{\left( {t + 3} \right)^{\frac{4}{3}}} - \frac{{9\sqrt[3]{3}}}{{20}}$.

* $h\left( t \right) = 2{,}1 \Leftrightarrow \frac{3}{{20}}{\left( {t + 3} \right)^{\frac{4}{3}}} - \frac{{9\sqrt[3]{3}}}{{20}} = 2{,}1 \Leftrightarrow {\left( {t + 3} \right)^{\frac{4}{3}}} \simeq 18{,}33 \to t \simeq 6$.

Vậy sau khi bơm khoảng 6 giờ thì độ sâu của mực nước trong hồ là 2,1 (m).