Đề kiểm tra Nguyên hàm lớp 12 (có lời giải) - Đề 2

Ta có: $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( {3\sin x + \frac{4}{{{{\cos }^2}x}}} \right){\rm{d}}x} = 3\int {\sin x{\rm{d}}x} + 4\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}{\rm{d}}x}$$= - 3\cos x + 4\tan x + C$.

Do đó $F\left( x \right) = - 3\cos x + 4\tan x + C$.

$F\left( 0 \right) = 2 \Leftrightarrow - 3 + C = 2 \Leftrightarrow C = 5$.

Suy ra $F\left( x \right) = - 3\cos x + 4\tan x + 5$.

Vậy $F\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = - 3\cos \frac{\pi }{3} + 4\tan \frac{\pi }{3} + 5 = \frac{7}{2} + 4\sqrt 3$.

Ta có $f\left( x \right) = \frac{{3x + 7}}{{x + 2}} = 3 + \frac{1}{{x + 2}}$.

$\int {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = \int {\left( {3 + \frac{1}{{x + 2}}} \right)} {\rm{d}}x = 3\int {{\rm{d}}x} + \int {\frac{1}{{x + 2}}} {\rm{d}}x = 3x + \ln \left| {x + 2} \right| + C$.

Trên $\left( { - 1;\, + \infty } \right)$ ta có ${\left( {x + \ln \left( {x + 1} \right)} \right)^\prime } = \frac{{x + 2}}{{x + 1}} = f\left( x \right)$.

Vậy một nguyên hàm của $f\left( x \right) = \frac{{x + 2}}{{x + 1}}$ trên $\left( { - 1;\, + \infty } \right)$ là $x + \ln \left( {x + 1} \right)$.

Trên $\left( { - 2;\, + \infty } \right)$ ta có ${\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - x + 2\ln \left( {x + 2} \right)} \right)^\prime } = \frac{{{x^2} + x}}{{x + 2}} = f\left( x \right)$.

Vậy một nguyên hàm của $f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + x}}{{x + 2}}$ trên $\left( { - 2;\, + \infty } \right)$ là $\frac{{{x^2}}}{2} - x + 2\ln \left( {x + 2} \right)$.

Ta có $f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right){\rm{dx}}} = \int {\left( {2x - \cos 2x} \right){\rm{d}}x} = {x^2} - \frac{1}{2}\sin 2x + C$.

Mà $f\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0$. Vậy $f\left( x \right) = {x^2} - \frac{1}{2}\sin 2x$.

a) Sai vì theo phép nhân đa thức $f\left( x \right) = {x^2} + 3x + 2$.

b) Đúng vì $f'\left( x \right) = 2x + 3$

c) Sai vì không có tính chất $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = } \int {\left( {x + 2} \right){\rm{d}}x.} \int {\left( {x + 1} \right){\rm{d}}x}$.

d) Đúng vì $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \int {\left( {{x^2} + 3x + 2} \right){\rm{d}}x = } } \int {{x^2}{\rm{d}}x + 3\int {x{\rm{d}}x + \int {{\rm{2d}}x = } } } \frac{1}{3}{x^3} + \frac{3}{2}{x^2} + 2x + C$.

a) $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = } \frac{{\int {\left( {2x + 1} \right){\rm{d}}x} }}{{\int {\left( {x - 2} \right){\rm{d}}x} }}$ sai theo tính chất của nguyên hàm.

b) Đúng vì $f'\left( x \right) = \frac{{2.\left( { - 2} \right) - 1.1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{ - 5}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}$

c) Đúng vì

$\int {\frac{{2x + 1}}{{x - 2}}} \;{\rm{d}}x$$=$$\int {\frac{{2x - 4 + 5}}{{x - 2}}} \;{\rm{d}}x$$=$$\int {\left( {\frac{{2x - 4}}{{x - 2}} + \;\frac{5}{{x - 2}}} \right)} \,{\rm{d}}x$$=$$\int {\left( {2 + \;\frac{5}{{x - 2}}} \right)} \,{\rm{d}}x$$=$$2x + 5\ln \left| {x - 2} \right| + C$.

d) Sai, vì ta có ở ý c: $\int {\frac{{2x + 1}}{{x - 2}}} \;{\rm{d}}x$$=$$2x + 5\ln \left| {x - 2} \right| + C$.

Do đó $a = 2$ và $b = 5$.

Vậy $S = a + b = 2 + 5 = 7$.

a) Ta có $F'\left( x \right) = f\left( x \right) = {2^x} - 4x \Rightarrow F'\left( 0 \right) = {2^0} - 4.0 = 1$.

=> Mệnh đề a) sai.

b)$\int {f(x){\rm{d}}x} = \int {\left( {{2^x} - 4x} \right){\rm{d}}x} = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} - 2{x^2} + C$$\Rightarrow F\left( x \right) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} - 2{x^2} + C$.

$F\left( 0 \right) = \frac{1}{{\ln 2}} \Leftrightarrow \frac{{{2^0}}}{{\ln 2}} - {2.0^2} + C = \frac{1}{{\ln 2}} \Leftrightarrow C = 0 \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} - 2{x^2} \Rightarrow F\left( 1 \right) = \frac{2}{{\ln 2}} - 2.$

=> Mệnh đề b) sai.

c) $\int {F(x){\rm{d}}x} = \int {\left( {\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} - 2{x^2}} \right){\rm{d}}x} = \frac{{{2^x}}}{{{{\ln }^2}2}} - \frac{2}{3}{x^3} + C$.

=> Mệnh đề c) sai.

d) $\int {\frac{{f(x)}}{{x{{.2}^x}}}{\rm{d}}x} = \int {\frac{{{2^x} - 4x}}{{x{{.2}^x}}}{\rm{d}}x} = \int {\left( {\frac{1}{x} - {{4.2}^{ - x}}} \right){\rm{d}}x} = \int {\frac{1}{x}{\rm{d}}x} - 4\int {{2^{ - x}}{\rm{d}}x}$$= \ln \left| x \right| + \frac{4}{{\ln 2}}{.2^{ - x}} + C$

=> Mệnh đề d) đúng.

a) $f\left( 0 \right) = {2^0} - \cos 0 = 0$.

Vậy mệnh đề đã cho đúng.

b) $F'\left( x \right) = f\left( x \right) = {2^x} - \cos x \Rightarrow F'\left( 0 \right) = {2^0} - \cos 0 = 0$.

Vậy mệnh đề đã cho sai.

c) Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số $F\left( x \right)$ tại điểm có hoành độ ${x_0} = \frac{\pi }{2}$ là $k = F'\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = {2^{\frac{\pi }{2}}} - \cos \frac{\pi }{2} = \sqrt {{2^\pi }}$.

Vậy mệnh đề đã cho đúng.

d) $\int {f(x){\rm{d}}x} = \int {\left[ {{2^x} - \cos x} \right]{\rm{d}}x} = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} - \sin x + C$$\Rightarrow F\left( x \right) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} - \sin x + C$.

Giả thiết $F\left( 0 \right) = \frac{1}{{\ln 2}} \Leftrightarrow \frac{{{2^0}}}{{\ln 2}} - \sin 0 + C = \frac{1}{{\ln 2}} \Leftrightarrow C = 0$$\Rightarrow F\left( x \right) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} - \sin x$$\Rightarrow F\left( { - 1} \right) = \frac{{{2^{ - 1}}}}{{\ln 2}} - \sin \left( { - 1} \right) = \frac{1}{{2\ln 2}} + \sin 1$.

Vậy mệnh đề đã cho đúng.

Ta có $I = \int {\frac{1}{{2\tan x + 1}}{\rm{d}}x} = \int {\frac{{\cos x}}{{2\sin x + \cos x}}{\rm{d}}x}$.

Đặt $J = \int {\frac{{\sin x}}{{2\sin x + \cos x}}{\rm{d}}x}$.

Khi đó $2J + I = \int {\frac{{2\sin x}}{{2\sin x + \cos x}}{\rm{d}}x} + \int {\frac{{\cos x}}{{2\sin x + \cos x}}} {\rm{d}}x$$= \int {\frac{{2\sin x + \cos x}}{{2\sin x + \cos x}}{\rm{d}}x} = \int {{\rm{d}}x}$$= x + {C_1}$$\left( 1 \right)$.

Mặt khác ta lại có : $2I - J = \int {\frac{{2\cos x - \sin x}}{{2\sin x + \cos x}}{\rm{d}}x}$$= \ln \left| {2\sin x + \cos x} \right| + {C_2}$$\left( 2 \right)$.

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$$\Rightarrow I = \frac{x}{5} + \frac{2}{5}\ln \left| {2\sin x + \cos x} \right| + C$.

Vậy $\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 5\end{array} \right.$$\Rightarrow a + 2b = 12$.

Ta có $f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right){\rm{d}}x}$$= \int {\left( {3{x^2} + 2x - m + 1} \right){\rm{d}}x}$$= {x^3} + {x^2} + \left( {1 - m} \right)x + C$.

Theo giả thiết $\left\{ \begin{array}{l}f\left( 2 \right) = 1\\f\left( 1 \right) = - 3\end{array} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^3} + {2^2} + \left( {1 - m} \right).2 + C = 1\\1 + 1 + \left( {1 - m} \right) + C = - 3\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2m + C = - 13\\ - m + C = - 6\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 7\\C = 1\end{array} \right.$.

Suy ra $f\left( x \right) = {x^3} + {x^2} - 6x + 1$. Vậy $f\left( { - 1} \right) = 7$.

Xét trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$:

Ta có $f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{{x^4} + 2{x^3} + {x^2}}} = \frac{{2x + 1}}{{{x^2}{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$.

Khi đó

$F\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \int {\frac{{\left( {2x + 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + x} \right)}^2}}}{\rm{d}}t} = \int {\frac{1}{{{{\left( {{x^2} + x} \right)}^2}}}{\rm{d}}\left( {{x^2} + x} \right)} } = - \frac{1}{{{x^2} + x}} + C = - \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} + C$.

Mặt khác, $F\left( 1 \right) = \frac{1}{2}$$\Rightarrow - \frac{1}{2} + C = \frac{1}{2}$$\Rightarrow C = 1$.

Vậy $F\left( x \right) = - \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} + 1 = - \left[ {\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}} \right] + 1$.

Suy ra

$$S = F\left( 1 \right) + F\left( 2 \right) + F\left( 3 \right) + \ldots + F\left( {2021} \right) = - \left( {\frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + ... + \frac{1}{{2021.2022}}} \right) + 2021$$

$$= - \left( {1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{2021}} - \frac{1}{{2022}}} \right) + 2021 = - \left( {1 - \frac{1}{{2022}}} \right) + 2021$$

$= 2020 + \frac{1}{{2022}} = a + \frac{1}{b}.$ Suy ra $a = 2020;b = 2022$.

Vậy tổng $a + b = 2020 + 2022 = 4042$.

Ta có $v\left( t \right) = \int {a\left( t \right){\rm{d}}t} = \int {\left( {2t - 7} \right){\rm{d}}t} = {t^2} - 7t + C$, mặt khác $v\left( 0 \right) = 10$ nên $C = v\left( 0 \right) = 10$.

$\Rightarrow v\left( t \right) = {t^2} - 7t + 10$.

Để chất điểm đạt vận tốc 18 (m/s) thì .

Vậy tại thời điểm $t = 8$(s) thì chất điểm đạt vận tốc 18 (m/s).

+) Trên $\left[ { - 1;\,2} \right]$, đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ là một phần của parabol $\left( P \right):y = a{{\rm{x}}^2} + bx + c$ đi qua các điểm $\left( { - 1;1} \right),\,\left( {0;2} \right),\,\left( {2; - 2} \right)$ nên $\left\{ \begin{array}{l}a.{\left( { - 1} \right)^2} + b.\left( { - 1} \right) + c = 1\\c = 2\\a{.2^2} + b.2 + c = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 0\\c = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left( P \right):\,y = - {x^2} + 2.$

+) Trên $\left[ {2;\,3} \right]$, đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ là đoạn thẳng $\left( d \right):y = m{\rm{x}} + n$ đi qua các điểm $\left( {2; - 2} \right),\,\left( {3;3} \right)$ nên $\left\{ \begin{array}{l}2m + n = - 2\\3m + n = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 5\\n = - 12\end{array} \right. \Rightarrow \left( d \right):\,y = 5x - 12.$

Vậy $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} - {x^2} + 2\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\, - 1 \le x \le 2\\\,\,5x - 12\,\,{\rm{khi}}\,\,\,\,\,\,2 \le x \le 3\end{array} \right.$.

+) Từ đó $F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - {x^3}}}{3} + 2x + {C_1}\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\, - 1 \le x \le 2\\\frac{{5{x^2}}}{2} - 12x + {C_2}\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,\,\,\,2 \le x \le 3\end{array} \right..$

Do $F\left( { - 1} \right) = - \frac{5}{3} \Rightarrow {C_1} = 0.$

Ta có $F\left( x \right)$liên tục tại $x = 2$ nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {\frac{{ - {x^3}}}{3} + 2x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {\frac{{5{x^2}}}{2} - 12x + {C_2}} \right) \Rightarrow {C_2} = \frac{{46}}{3}.$

Khi đó : $F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - {x^3}}}{3} + 2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\, - 1 \le x \le 2\\\frac{{5{x^2}}}{2} - 12x + \frac{{46}}{3}\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,\,\,\,2 \le x \le 3\end{array} \right..$

Vậy $F\left( 0 \right) + F\left( 3 \right) = \frac{{11}}{6} \approx 1{,}8.$

Ta có: $h\left( t \right) = \int {h'\left( t \right){\rm{d}}t} = \int {\left( {3a{t^2} + bt} \right){\rm{d}}t} = a{t^3} + b\frac{{{t^2}}}{2} + C.$

Do ban đầu bể không có nước nên $h\left( 0 \right) = 0 \Leftrightarrow C = 0 \Rightarrow h\left( t \right) = a{t^3} + b\frac{{{t^2}}}{2}.$

Lúc $5$ phút: $h\left( 5 \right) = a{.5^3} + b.\frac{{{5^2}}}{2} = 150\,\,\left( 1 \right).$

Lúc $10$ phút: $h\left( {10} \right) = a{.10^3} + b.\frac{{{{10}^2}}}{2} = 1100\,\,\left( 2 \right).$

Từ $\left( 1 \right)$và $\left( 2 \right)$suy ra $a = 1,\,b = 2 \Rightarrow h\left( t \right) = {t^3} + {t^2} \Rightarrow h\left( {20} \right) = {20^3} + {20^2} = 8400\,d{m^3}.$