Đề kiểm tra Nguyên hàm lớp 12 (có lời giải) - Đề 1

+ ${\left( {\frac{1}{2}{x^2} - \cos \left( {2x + 1} \right)} \right)^\prime } = x + 2\sin \left( {2x + 1} \right)$.

+ ${\left( {\frac{1}{2}{x^2} - 2\cos \left( {2x + 1} \right)} \right)^\prime } = x + 4\sin \left( {2x + 1} \right)$.

+ ${\left( {\frac{1}{2}{x^2} + \frac{1}{2}\cos \left( {2x + 1} \right)} \right)^\prime } = x - \sin \left( {2x + 1} \right)$.

+ ${\left( {\frac{1}{2}{x^2} - \frac{1}{2}\cos \left( {2x + 1} \right)} \right)^\prime } = x + \sin \left( {2x + 1} \right)$. Vậy $F\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^2} - \frac{1}{2}\cos \left( {2x + 1} \right)$là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = x + \sin \left( {2x + 1} \right)$.

+ $F\left( x \right) = \int {\left( {3{x^2} - 2\sqrt x } \right)} {\mathop{\rm d}\nolimits} x = {x^3} - \frac{4}{3}{x^{\frac{3}{2}}} + C$.

+ $F\left( 1 \right) = - \frac{1}{3} + C = \frac{5}{3} \Rightarrow C = 2.$

+ Vậy $F\left( x \right) = {x^3} - \frac{4}{3}{x^{\frac{3}{2}}} + 2$.

+ $F\left( x \right) = \int {\left( {2\sin x - \cos x} \right)} {\mathop{\rm d}\nolimits} x = - 2\cos x - \sin x + C$.

+ $F\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = - 2\cos \frac{\pi }{3} - \sin \frac{\pi }{3} + C = - \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow C = 1$.

+ Vậy $F\left( x \right) = - 2\cos x - \sin x + 1$.

Ta có

$\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left[ {\frac{1}{{3x + 1}}\ln \left( {3x + 1} \right) + {2^x} + 2024} \right]{\rm{d}}x}$$= \int {\frac{1}{{3x + 1}}\ln \left( {3x + 1} \right){\rm{d}}x} + \int {{2^x}{\rm{d}}x} + \int {2024{\rm{d}}x}$$= \frac{1}{3}\int {\ln \left( {3x + 1} \right){\rm{d}}\left[ {\ln \left( {3x + 1} \right)} \right]} + \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + 2024x + C$$= \frac{1}{6}{\ln ^2}\left( {3x + 1} \right) + \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + 2024x + C$.

Ta có:

$\int {\frac{2}{x}{\rm{d}}x} = 2\ln \left| x \right| + C$.

Ta có:

$\int {\frac{{{x^2} + 1}}{x}{\rm{d}}x = \int {\left( {x + \frac{1}{x}} \right){\rm{d}}x = \frac{{{x^2}}}{2} + \ln \left| x \right| + C} }$.

Ta có:

$\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right){\rm{d}}x = } \ln \left| x \right| + \tan x + C$

Ta có:

$\int {f'\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( {{x^2} - 2x - 3} \right){\rm{d}}x = \frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} - 3x + C}$.

Mà $f\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow C = 1$.

Vậy $f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} - 3x + 1$.

a) Do $F(x) = \int {f(x){\rm{d}}x}$ nên $F'(x) = f(x) = {x^3} - 3{x^2} + 2x - 1$. Vậy câu a) đúng.

b) Do $y' = {x^3} - 3{x^2} + 2x - 1 = f(x)$ nên câu b) đúng.

c) Do $y = \frac{1}{4}{x^4} - {x^3} + {x^2} - x$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ nên $F(x) = \frac{1}{4}{x^4} - {x^3} + {x^2} - x + C$. Vậy câu c) sai.

d) Có $F(0) = C = 1 \Rightarrow F(x) = \frac{1}{4}{x^4} - {x^3} + {x^2} - x + 1 \Rightarrow F(1) = \frac{1}{4}$. Vậy câu d) sai.

a) $F'\left( x \right) = f(x) = \frac{1}{{{x^2} - 4x + 3}}$. Vậy câu a) đúng.

b) Do $\frac{1}{{x - 3}} - \frac{1}{{x - 1}} = \frac{{x - 1 - x + 3}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{2}{{{x^2} - 4x + 3}} = 2f(x) \Rightarrow f(x) = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{x - 3}} - \frac{1}{{x - 1}}} \right)$ nên câu b) sai.

c) $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{x - 3}} - \frac{1}{{x - 1}}} \right){\rm{d}}x = \frac{1}{2}\left( {\int {\frac{{{\rm{d}}x}}{{x - 3}} - \int {\frac{{{\rm{d}}x}}{{x - 1}}} } } \right)} = \frac{1}{2}\left( {\ln \left| {x - 3} \right| - \ln \left| {x - 1} \right|} \right) + C$

$= \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{x - 3}}{{x - 1}}} \right| + C$.

Vậy câu c) sai.

d) Ta có $F(x) = \frac{1}{2}\ln \left( { - \frac{{x - 3}}{{x - 1}}} \right) + {C_1}$ khi $x \in \left( {1;3} \right)$ và $F(x) = \frac{1}{2}\ln \left( { - \frac{{x - 3}}{{x - 1}}} \right) + {C_2}$ khi $x \in \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)$.

Có $F(2) = {C_1} = 2 \Rightarrow F\left( {\frac{3}{2}} \right) = \ln \sqrt 3 + 2$.

$F( - 1) = \frac{1}{2}\ln 2 + {C_2} = 5 \Rightarrow {C_2} = 5 - \ln \sqrt 2 \Rightarrow F(4) = - \ln \sqrt 3 + 5 - \ln \sqrt 2$.

Suy ra $F\left( {\frac{3}{2}} \right) + F(4) = \ln \sqrt 3 + 2 + 5 - \ln \sqrt 3 - \ln \sqrt 2 = 7 - \ln \sqrt 2 < 10$

Vậy câu d) đúng.

a) Sai.

Ta có $\int {f\left( x \right)dx} = \int {\frac{{2x + 1}}{x}} dx = \int {\left( {2 + \frac{1}{x}} \right)} dx = 2x + \ln \left| x \right| + C$.

b) Đúng.

Ta có $\int {f\left( x \right)dx} = \int {\frac{{2x + 1}}{x}} dx = \int {\left( {2 + \frac{1}{x}} \right)} dx = 2x + \ln \left| x \right| + C$, suy ra $F\left( x \right) = 2x + \ln \left| x \right| + C$.

Mà $F\left( 1 \right) = 0$$\Leftrightarrow 2.1 + C = 0 \Leftrightarrow C = - 2$.

Vậy $F\left( 2 \right) = 2.2 + \ln 2 - 2 = 2 + \ln 2$

c) Sai

Ta có $f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{x} = 2 + \frac{1}{x} \Rightarrow f\left( {2x} \right) = 2 + \frac{1}{{2x}}$.

$\int {f\left( {2x} \right)dx} = \int {\left( {2 + \frac{1}{{2x}}} \right)} dx = 2x + \frac{1}{2}\ln \left| x \right| + C$.

Mà $F\left( x \right) = 2x + \ln \left| x \right| + C \Rightarrow F\left( {2x} \right) = 4x + \ln \left| {2x} \right| + C$.

Vậy $F\left( {2x} \right)$không phải là một nguyên hàm của hàm số $f\left( {2x} \right)$.

d) Sai.

Hàm số $f\left( {{e^x}} \right) = 2 + \frac{1}{{{e^x}}} = 2 + {e^{ - x}}$ $\Rightarrow \int {f\left( {{e^x}} \right)dx} = \int {\left( {2 + {e^{ - x}}} \right)dx = 2x - {e^{ - x}} + C}$.

a) Sai.

Ta có $\int {\left( {2x + \sin \frac{x}{2}} \right)dx} = \int {2xdx + 2\int {\sin \frac{x}{2}d\left( {\frac{x}{2}} \right)} } = {x^2} - 2\cos \frac{x}{2} + C$.

b) Sai

Ta có $\int {{{\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right)}^2}dx} = \frac{1}{2}\int {\left( {{e^{2x}} + 2 + {e^{ - 2x}}} \right)} d\left( {2x} \right) = \frac{1}{2}\left( {{e^{2x}} + 4x - {e^{ - 2x}}} \right) + C$.

c) Sai

Ta có $\int {\left( {\frac{1}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}} \right)dx} = \int {\frac{1}{x}dx} + \int {\frac{2}{{{x^2}}}} dx = \ln \left| x \right| - \frac{2}{x} + C$.

d) Sai.

Hàm số $\int {\frac{{{x^2} + \ln x}}{x}dx} = \int {\left( {x + \frac{{\ln x}}{x}} \right)} dx = \int {xdx + \int {\ln xd\left( {\ln x} \right) = \frac{1}{2}{x^2} + \frac{1}{2}} } {\left( {\ln x} \right)^2} + C$.

Ta có: $\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right)\sin 2x$$= \left( {{{\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)}^2} - 2{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x} \right)\sin 2x$

$= \left( {1 - \frac{1}{2}{{\sin }^2}2x} \right)\sin 2x$

$\Leftrightarrow \left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right)\sin 2x$$= \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}{{\cos }^2}2x} \right)\sin 2x$.

Suy ra: $I = \int {\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}{{\cos }^2}2x} \right)\sin 2x{\rm{d}}x}$ .

$I = \int {\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}{{\cos }^2}2x} \right)\sin 2x{\rm{d}}x}$$= - \frac{1}{2}\int {\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}{{\cos }^2}2x} \right){\rm{d}}\left( {\cos 2x} \right) = - \frac{1}{4}\int {\left( {1 + {{\cos }^2}2x} \right){\rm{d}}\left( {\cos 2x} \right)} }$$= \frac{{ - 1}}{4}\int {{\rm{d}}\left( {\cos 2x} \right) - \frac{1}{4}\int {{{\cos }^2}2x} } {\rm{d}}\left( {\cos 2x} \right) = - \frac{{\cos 2x}}{4} - \frac{{{{\cos }^3}2x}}{{12}} + C$

Khi đó $a = 4,\,b = 12 \Rightarrow {a^2} + b = 28$.

Ta có: $f(x) = xf'(x) - 2{x^3} - 3{x^2} \Leftrightarrow xf'(x) - f(x) = 2{x^3} + 3{x^2} = {x^2}(2x + 3)$

$$\Leftrightarrow \frac{{xf'(x) - f(x)}}{{{x^2}}} = 2x + 3 \Leftrightarrow \int {{{\left( {\frac{{f(x)}}{x}} \right)}^\prime }} dx = \int {\left( {2x + 3} \right){\rm{d}}x} \Leftrightarrow \frac{{f(x)}}{x} = {x^2} + 3x + C.$$

Do $f(1) = 4 \Rightarrow 4 = 1 + 3 + C \Rightarrow C = 0 \Rightarrow f(x) = {x^3} + 3{x^2} \Rightarrow$$f(2) = 20.$

Ta có $f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{{x^2} + 1}} = 1 + \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}} = 1 + \frac{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^\prime }}}{{{x^2} + 1}} = 1 + {\left[ {\ln \left( {{x^2} + 1} \right)} \right]^\prime }$

$\Rightarrow \int {f(x){\rm{d}}x} = \int {1{\rm{d}}x} + \int {{{\left[ {\ln ({x^2} + 1)} \right]}^\prime }{\rm{d}}x} = x + \ln \left( {{x^2} + 1} \right) + C$$\Rightarrow F\left( x \right) = x + \ln \left( {{x^2} + 1} \right) + C$.

$F\left( 0 \right) = 0$$\Leftrightarrow$$0 + \ln \left( {{0^2} + 1} \right) + C = 0 \Leftrightarrow C = 0$ $\Rightarrow F\left( x \right) = x + \ln \left( {{x^2} + 1} \right)$.

Xét phương trình $F\left( x \right) = x\left[ {1 + \log ({x^2} + 1)} \right]$.

Điều kiện: $x \in \mathbb{R}$

Phương trình $\Leftrightarrow \ln \left( {{x^2} + 1} \right) = x\log \left( {{x^2} + 1} \right)$$\Leftrightarrow \ln 10.\log \left( {{x^2} + 1} \right) - x\log \left( {{x^2} + 1} \right) = 0$$\Leftrightarrow \log \left( {{x^2} + 1} \right).\left( {\ln 10 - x} \right) = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\log \left( {{x^2} + 1} \right) = 0\\\ln 10 - x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + 1 = 1\\x = \ln 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \ln 10\end{array} \right.$.

Vậy tổng bình phương các nghiệm của phương trình là $T = {0^2} + {\left( {\ln 10} \right)^2} \approx 5{,}3$.

Gọi vận tốc của xe khi bắt đầu phanh là ${v_0}$ $\left( {m/s} \right)$

Vận tốc tại thời điểm $t$ kể từ lúc bắt đầu phanh là: $v\left( t \right) = \int {\left( { - 5} \right){\rm{dt}}} = - 5t + C$.

Vận tốc của vật tại thời điểm bắt đầu phanh xe là ${v_0}\,\left( {\,m/s} \right)$ nên ta có $v\left( 0 \right) = {v_0} \Rightarrow C = {v_0} \Rightarrow v\left( t \right) = - 5t + {v_0}$

Quãng đường vật đi được tại thời điểm $t$ kể từ khi bắt đầu đạp phanh là $S\left( t \right) = \int {v(t){\rm{dt}}}$$= \int {\left( { - 5t + {v_0}} \right){\rm{dt}}} = - \frac{5}{2}{t^2} + {v_0}t + C$.

Ta có $S\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0 \Rightarrow S\left( t \right) = - \frac{5}{2}{t^2} + {v_0}t$.

Khi xe dừng hẳn ta có $v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 5t + {v_0} = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{{v_0}}}{5}$.

Quãng đường xe đi được từ khi bắt đầu đạp phanh đến khi dừng hẳn là $S = S\left( {\frac{{{v_0}}}{5}} \right) = - \frac{5}{2}{\left( {\frac{{{v_0}}}{5}} \right)^2} + \frac{{v_0^2}}{5} = \frac{{v_0^2}}{{10}}$ $\left( m \right)$.

Quãng đường người lái xe đi từ khi nhìn thấy chướng ngại vật đến khi đạp phanh là ${v_0}$ $\left( m \right)$.

Theo bài ra ta có phương trình $\frac{{v_0^2}}{{10}} + {v_0} = 41{,}6$.

Giải phương trình ta được $\left[ \begin{array}{l}{v_0} = 16\\{v_0} = - 26\end{array} \right.$.

Vậy vận tốc khi người lái xe bắt đầu phanh là $16\,\,\left( {m/s} \right)$.

Ta có :

$$f\left( x \right) = f'\left( x \right).\sqrt {3x}$$

$$\Rightarrow \frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = \frac{1}{{\sqrt {3x} }}$$

$$\Rightarrow \ln f\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\int {\frac{1}{{\sqrt x }}{\rm{d}}x}$$

$$\Rightarrow \ln f\left( x \right) = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\sqrt x + C$$

$$\Rightarrow f\left( x \right) = {e^{\frac{2}{{\sqrt 3 }}\sqrt x + C}}$$

Mà $f\left( 1 \right) = 1$ nên $1 = {e^{\frac{2}{{\sqrt 3 }} + C}} \Rightarrow C = - \frac{2}{{\sqrt 3 }}$

$$\Rightarrow f\left( x \right) = {e^{\frac{2}{{\sqrt 3 }}\sqrt x - \frac{2}{{\sqrt 3 }}}}$$

Suy ra $f\left( 5 \right) = {e^{\frac{2}{{\sqrt 3 }}\sqrt 5 - \frac{2}{{\sqrt 3 }}}} = {e^{\frac{{2\sqrt 5 - 2}}{{\sqrt 3 }}}} \approx 4{,}2$.

Quãng đường xe ô tô đi được trong thời gian $t$ (giây) là một nguyên hàm của $v\left( t \right)$ nên:

$s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)} {\rm{dt}} = \int {\left( { - 3t + 15} \right)} \,{\rm{dt}} = - \frac{{3{t^2}}}{2} + 15t + C$

$\Rightarrow s\left( t \right) = - \frac{{3{t^2}}}{2} + 15t + C$

Cho $t = 0 \Rightarrow s\left( 0 \right) = 0$

$\Rightarrow C = 0$

$\Rightarrow s\left( t \right) = - \frac{{3{t^2}}}{2} + 15t$

Khi xe dừng hẳn thì $v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 3t + 15 = 0 \Rightarrow t = 5$.

Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn là 5 giây.

Sau khi đạp phanh đến khi dừng hẳn, xe đi được quãng đường:$s\left( 5 \right) = - \frac{{{{3.5}^2}}}{2} + 15.5 = 37{,}5\left( m \right)$