Đề kiểm tra Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị lớp 12 (có lời giải) - Đề 3

Khoảng biến thiên cho thời gian sử dụng mạng xã hội của tổ 1 là ${R_1} = 90 - 0 = 90$

Khoảng biến thiên cho thời gian sử dụng mạng xã hội của tổ 2 là ${R_2} = 60 - 0 = 60$. Chọn A

Cỡ mẫu là $n = 24 + 26 + 20 + 15 + 11 + 4 = 100$. Do $\frac{n}{4} = \frac{{100}}{4} = 25$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là nhóm $\left[ {30;40} \right)$.

Ta có ${Q_1} = 30 + \frac{{25 - 24}}{{26}}.10 \approx 30{,}38$.

Do $\frac{{3n}}{4} = \frac{{3.100}}{4} = 75$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là nhóm $\left[ {50;60} \right)$, ta có

${Q_1} = 60 + \frac{{75 - 70}}{{15}}.10 \approx 63{,}33$

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} \approx 63{,}33 - 30{,}38 = 32{,}95.$ chọn C

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục buổi sáng của bác Bình là:

40 – 15 = 25 (phút).

Trong mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục buổi sáng của bác An, khoảng đầu tiên chứa dữ liệu là [20; 25) và khoảng cuối cùng chứa dữ liệu là [25; 30). Do đó khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục buổi sáng của bác An là: 30 – 20 = 10 (phút).

Vậy hiệu khoảng biến thiên của bác Bình và bác An là: $25 - 10 = 15$.

Gọi ${x_1};{x_2};{x_3}; \ldots ;{x_{24}}$ lần lượt là số nhân viên theo thứ tự không giảm.

Do ${x_1}, \ldots ,{x_3} \in [6;8);{x_4}, \ldots ,{x_9} \in [8;10);{x_{10}}, \ldots ,{x_{17}} \in [10;12);{x_{18}}, \ldots ,{x_{24}} \in [12;14)$

Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là $\frac{1}{2}\left( {{x_6} + {x_7}} \right)$ thuộc nhóm $[8;10)$ nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là: ${Q_1} = 8 + \frac{{\frac{{1.24}}{4} - 3}}{6}(10 - 8) = 9$.

Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là $\frac{1}{2}\left( {{x_{18}} + {x_{19}}} \right)$ thuộc nhóm $[12;14)$ nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là ${Q_3} = 12 + \frac{{\frac{{3.24}}{4} - 17}}{7}(14 - 12) = 12{,}3$.

Vậy khoảng tứ phân vị $\Delta Q = {Q_3} - {Q_1} = 12{,}3 - 9 = 3{,}3$.chọn B

Vì số học sinh là số nguyên nên ta hiệu chỉnh lại bảng số liệu sau:

Gọi ${x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{20}}$ lần lượt là số điểm ghi được ở mỗi trận đấu xếp theo thứ tự không giảm.

Do ${x_1} \ldots {x_4} \in [5{,}5;10{,}5);{x_5} \ldots {x_{12}} \in [10{,}5;15{,}5);{x_{13}},{x_{14}} \in [15{,}5;20{,}5);{x_{15}} \ldots {x_{20}} \in [20{,}5;25{,}5)$

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là $\frac{1}{2}\left( {{x_5} + {x_6}} \right)$.

Do ${x_5},{x_6} \in [10{,}5;15{,}5)$ nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu nhóm là:

${Q_1} = 10{,}5 + \frac{{\frac{{20}}{4} - 4}}{8}(15{,}5 - 10{,}5) = 11{,}125$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là $\frac{1}{2}\left( {{x_{15}} + {x_{16}}} \right)$.

Do ${x_{15}},{x_{16}} \in [20{,}5;25{,}5)$ nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu nhóm là:

${Q_3} = 20{,}5 + \frac{{\frac{{3.20}}{4} - 14}}{6}(25{,}5 - 20{,}5) = 21{,}3.$

Vậy khoảng tứ phân vị là: $\Delta Q = {Q_3} - {Q_1} = 21{,}3 - 11{,}125 = 10{,}175$.

$\left[ {{Q_1} - 1{,}5\Delta Q;{Q_3} + 1{,}5\Delta Q} \right] = \left[ { - 4{,}1375;36{,}5625} \right]$. Vậy giá trị ngoại lệ là 38.

Cỡ mẫu: $n = 4 + 8 + 8 + 16 + 4 = 40$.

Tứ phân vị thứ nhất ${Q_1}$ là $\frac{{{x_{10}} + {x_{11}}}}{2}$. Do ${x_{10}};\,{x_{11}}$ đều thuộc nhóm $\left[ {21;26} \right)$ nên nhóm này chứa ${Q_1}$.

Do đó: $p = 2$, ${a_2} = 21$, ${m_2} = 8$, ${m_1} = 4$, ${a_3} - {a_2} = 5$. Ta có:

${Q_1} = 21 + \frac{{\frac{{40}}{4} - 4}}{8}.5 = 24{,}75$.

Tứ phân vị thứ ba ${Q_3}$ là $\frac{{{x_{30}} + {x_{31}}}}{2}$. Do ${x_{30}};\,{x_{31}}$ đều thuộc nhóm $\left[ {31;36} \right)$ nên nhóm này chứa ${Q_3}$.

Do đó: $p = 4$, ${a_4} = 31$, ${m_4} = 16$, ${m_1} + {m_2} + {m_3} = 20$, ${a_5} - {a_4} = 5$. Ta có:

${Q_3} = 31 + \frac{{\frac{{3.40}}{4} - 20}}{{16}}.5 = 34{,}125$.

Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu là $\Delta Q = {Q_3} - {Q_1} = 34{,}125 - 24{,}75 = 9{,}375$

Do đó: $p = 4$, ${a_4} = 30$, ${m_4} = 5$, ${m_1} + {m_2} + {m_3} = 17$, ${a_5} - {a_4} = 10$. Ta có:

${Q_3} = 30 + \frac{{\frac{{3.25}}{4} - 17}}{5}.10 = 33{,}5$.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là $\Delta Q = {Q_3} - {Q_1} = 33{,}5 - 13{,}75 = 19{,}75$.

Vì $\Delta Q = 19{,}75 > 13{,}94$ nên chiều cao của các cây cam giống được khảo sát phân tán hơn chiều cao của các cây xoài giống được khảo sát.CHỌN C

a) Ta có khoảng biến thiên cho mức lương của công ty $A$ là ${R_1} = 34 - 5 = 29$, khoảng biến thiên cho mức lương của công ty $B$ là ${R_2} = 29 - 5 = 24$.

Mệnh đề sai.

b) Mệnh đề đúng.

c) Do ${R_1} > {R_2}$ nên Mức lương của công ty $A$ biến động nhiều hơn mức lương của công ty $B$.

Mệnh đề đúng.

d) Ta có $n = 10 + 37 + 20 + 13 + 13 + 5 + 2 = 100$, . Gọi ${x_1},...,\,{x_{100}}$ là mức lương của 100 nhân viên của công ty $A$ được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Tứ phân vị thứ ba có số liệu gốc là ${x_{75}}$ nên nhóm chứa phân vị thứ ba là nhóm $\left[ {17;21} \right)$.

Mệnh đề đúng.

a) Ta có khoảng biến thiên của điểm môn Toán của lớp $12A$ là ${R_1} = 10 - 4 = 6$.

Mệnh đề sai.

b) Khoảng biến thiên cho điểm môn Toán của lớp $12B$ là ${R_2} = 9 - 3 = 6$.

Mệnh đề đúng.

c) Ta có $n = 1 + 3 + 13 + 11 + 5 + 3 = 36$, . Gọi ${x_1},...,\,{x_{36}}$ là điểm của $36$ học sinh lớp $12A$ được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Tứ phân vị thứ ba có số liệu gốc là ${x_9}$ nên nhóm chứa phân vị thứ nhất là nhóm $\left[ {6;7} \right)$.

Mệnh đề đúng.

d) Ta có $n = 1 + 3 + 13 + 11 + 5 + 3 = 36$, . Gọi ${x_1},...,\,{x_{36}}$ là điểm của $36$ học sinh lớp $12B$ được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Tứ phân vị thứ ba có số liệu gốc là ${x_{27}}$ nên nhóm chứa phân vị thứ ba là nhóm $\left[ {6;7} \right)$.

Mệnh đề sai.

a/ Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là $15$ .

$R = {a_6} - {a_1} = 24{,}5 - 9{,}5 = 15$ .

Mệnh đề đúng .

b/ Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là $\left[ {15{,}5;18{,}5} \right)$ .

Cỡ mẫu $n = 4 + 12 + 14 + 23 + 3 = 56$ .

Tứ phân vị thứ nhất ${Q_1}$ là $\frac{{{x_{14}} + {x_{15}}}}{2}$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là $\left[ {12{,}5;15{,}5} \right)$ .

Mệnh đề sai .

c/ Tứ phân vị thứ nhất là ${Q_1} = 15$ .

$${Q_1} = 12{,}5 + \frac{{\frac{{56}}{4} - 4}}{{12}}.3 = 15.$$

Mệnh đề đúng .

d/ Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm bé hơn $6$ .

Tứ phân vị thứ ba ${Q_3}$ là $\frac{{{x_{42}} + {x_{43}}}}{2}$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là $\left[ {18{,}5;21{,}5} \right)$ .

$${Q_3} = 18{,}5 + \frac{{\frac{{3.56}}{4} - 30}}{{23}}.3 = \frac{{923}}{{46}}.$$

Vậy khoảng tứ phân vị là ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{233}}{{46}} < 6$ .

Mệnh đề đúng .

Ta có bảng sau:

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục buổi sáng của bác Bình là $25$ (phút).

$R = 40 - 15 = 25$.

Mệnh đề đúng.

b) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục buổi sáng của bác An là: ${\Delta _Q} = 2$

Cỡ mẫu $n = 30$;

Gọi ${x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{30}}$ là mẫu số liệu gốc về thời gian tập thể dục buổi sáng mỗi ngày của bác An được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: ${x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{25}} \in [20;25);{x_{26}}; \ldots ;{x_{30}} \in [25;30)$;

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là ${x_8} \in [20;25)$. Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_1} = 20 + \frac{{\frac{{30}}{4}}}{{25}}(25 - 20) = \frac{{43}}{2}$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là ${x_{23}} \in [20;25)$. Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_3} = 20 + \frac{{\frac{{3.30}}{4}}}{{25}}(25 - 20) = \frac{{49}}{2}$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 3$

Mệnh đề sai.

c) Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục buổi sáng của bác Bình là: ${Q_3}^\prime = \frac{{455}}{{16}}$

Gọi ${y_1};{y_2}; \ldots ;{y_{30}}$ là mẫu số liệu gốc về thời gian tập thể dục buổi sáng mỗi ngày của bác Bình được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: ${y_1};{y_2}; \ldots ;{y_5} \in [15;20);{y_6}; \ldots ;{y_{17}} \in [20;25);{y_{18}}; \ldots ;{y_{25}} \in [25;30);{y_{26}};{y_{27}};{y_{28}} \in [30;35)$;

${y_{29}};{y_{30}} \in [35;40)$

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là ${y_8} \in [20;25)$. Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_1}^\prime = 20 + \frac{{\frac{{30}}{4}}}{{12}}(25 - 20) = \frac{{185}}{8}$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là ${y_{23}} \in [25;30)$. Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_3}^\prime = 25 + \frac{{\frac{{3.30}}{4} - (5 + 12)}}{8}(30 - 25) = \frac{{455}}{{16}}$

Mệnh đề đúng.

d) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục buổi sáng mỗi ngày của bác An lớn hơn bác Bình

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục buổi sáng của bác An là: ${\Delta _Q} = 3$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục buổi sáng của bác Bình là: ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{455}}{{16}} - \frac{{185}}{8} = \frac{{85}}{{16}} > 3$.

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục buổi sáng mỗi ngày của bác Bình lớn hơn bác An.

Mệnh đề sai.

Trả lời: $30$.

Ta có khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là $R = {a_{k + 1}} - {a_1} = 180 - 150 = 30$.

Trả lời: $11$.

Do $\frac{n}{4} = \frac{{36}}{4} = 9$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là nhóm $\left[ {155;160} \right)$, nên nó có tần số bằng $11$.

Trả lời: $35$.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm ở bảng trên là $R = {a_6} - {a_1} = 50 - 15 = 35$ .

Trả lời: 8,92.

Cỡ mẫu $n = 2 + 17 + 10 + 25 = 54$ .

Tứ phân vị thứ nhất ${Q_1}$ là ${x_{14}}$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là $\left[ {30;35} \right)$ .

$${Q_1} = 30 + \frac{{\frac{{54}}{4} - 2}}{{17}}.5 = \frac{{1135}}{{34}}.$$

Tứ phân vị thứ ba ${Q_3}$ là ${x_{41}}$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là $\left[ {40;45} \right)$ .

$${Q_3} = 40 + \frac{{\frac{{3.54}}{4} - 29}}{{25}}.5 = \frac{{423}}{{10}}.$$

Vậy khoảng tứ phân vị là ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{758}}{{85}} \approx 8{,}92.$

Trả lời: $- 35{,}3$

Số tiền trung bình của 60 khách hàng mua sách trong một ngày ở cửa hàng $A$ là:

$\overline {{x_A}} = \frac{{3.45 + 6.55 + 19.65 + 23.75 + 9.85}}{{60}} \approx 69{,}8$(nghìn đồng)

Phương sai của mẫu số liệu về số tiền khách hàng mua sách trong một ngày ở cửa

hàng $A$ là:

$s_A^2 = {\frac{{3.{{\left( {45 - 69{,}8} \right)}^2} + 6.{{\left( {55 - 69{,}8} \right)}^2} + 19.{{\left( {65 - 69{,}8} \right)}^2} + 23.{{\left( {75 - 69{,}8} \right)}^2} + 9.\left( {85 - 69{,}8} \right)}}{{60}}^2} \approx 105$

Số tiền trung bình của 60 khách hàng mua sách trong một ngày ở cửa hàng $B$ là:

$\overline {{x_B}} = \frac{{5.45 + 9.55 + 15.65 + 20.75 + 11.85}}{{60}} \approx 68{,}8$(nghìn đồng)

Phương sai của mẫu số liệu về số tiền khách hàng mua sách trong một ngày ở cửa

hàng $B$ là:

$s_B^2 = {\frac{{5.{{\left( {45 - 68{,}8} \right)}^2} + 9.{{\left( {55 - 68{,}8} \right)}^2} + 15.{{\left( {65 - 68{,}8} \right)}^2} + 20.{{\left( {75 - 68{,}8} \right)}^2} + 11.\left( {85 - 68{,}8} \right)}}{{60}}^2} \approx 140{,}3$

Ta có $s_A^2 - s_B^2 = 105 - 140{,}3 = - 35{,}3$

Trả lời: $0{,}01$.

- Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm biểu diễn kết quả 40 lần nhảy xa của vận động viên Dũng là:

$\overline {{x_D}} = \frac{{3.6{,}34 + 7.6{,}58 + 5.6{,}82 + 20.7{,}06 + 5.7{,}30}}{{40}} = \frac{{276{,}88}}{{40}} \approx 6{,}92(m).$

Vậy phương sai của của mẫu số liệu ghép nhóm biểu diễn kết quả 40 lần nhảy xa của vận động viên Dũng là:

$s_D^2 = \frac{1}{{40}}\left[ {3.{{\left( {6{,}34 - 6{,}92} \right)}^2} + 7.{{\left( {6{,}58 - 6{,}92} \right)}^2} + 5.{{\left( {6{,}82 - 6{,}92} \right)}^2} + 20.{{\left( {7{,}06 - 6{,}92} \right)}^2} + 5.{{\left( {7{,}30 - 6{,}92} \right)}^2}} \right] = \frac{{2{,}9824}}{{40}} \approx 0{,}07.$

$a = 0{,}07$

- Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm biểu diễn kết quả 40 lần nhảy xa của vận động viên Huy là:

$\overline {{x_H}} = \frac{{2.6{,}34 + 5.6{,}58 + 8.6{,}82 + 19.7{,}06 + 6.7{,}30}}{{40}} = \frac{{278{,}08}}{{40}} \approx 6{,}95(m).$

Vậy phương sai của của mẫu số liệu ghép nhóm biểu diễn kết quả 40 lần nhảy xa của vận động viên Huy là:

$s_H^2 = \frac{1}{{40}}\left[ {2.{{\left( {6{,}34 - 6{,}95} \right)}^2} + 5.{{\left( {6{,}58 - 6{,}95} \right)}^2} + 8.{{\left( {6{,}82 - 6{,}95} \right)}^2} + 19.{{\left( {7{,}06 - 6{,}95} \right)}^2} + 6.{{\left( {7{,}30 - 6{,}95} \right)}^2}} \right] = \frac{{2{,}5288}}{{40}} \approx 0{,}06.$

$b = 0{,}06$

$a - b = 0{,}01$.