Đề kiểm tra Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị lớp 12 (có lời giải) - Đề 1

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của các bạn học sinh nữ lớp $12A$là: ${R_1} = 180 - 150 = 30$ (cm).

Trong mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của các bạn học sinh nữ lớp $12B$, khoảng đầu tiên chứa dữ liệu là [155; 160) và khoảng cuối cùng chứa dữ liệu là [175; 180).

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của các bạn học sinh nữ lớp $12B$là: ${R_2} = 180 - 155 = 25$ (cm).

Ý nghĩa của khoảng tứ phân vị:

- Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu gốc và là một đại lượng cho biết mức độ phân tán của nửa giữa mẫu số liệu.

- Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm giúp xác định các giá trị bất thường của mẫu đó. - Khoảng tứ phân vị thường được sử dụng thay cho khoảng biến thiên vì nó loại trừ hầu hết giá trị bất thường của mẫu số liệu và nó không bị ảnh hưởng bởi các giá trị bất thường đó.Chọn C

Cỡ mẫu $n = 14 + 30 + 25 + 18 + 5 = 92 \Rightarrow \frac{n}{4} = 23$

Tần số tích lũy của nhóm 1 là $14 < 23$ và tần số tích lũy của nhóm 2 là $44 > 23$

Vậy nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $\frac{n}{4} = 23$.

Nhóm 2 có đầu mút trái $s = 6$, độ dài $h = 11 - 6 = 5$, tần số ${n_2} = 30$; tần số tích lũy của nhóm 1 là $c{f_1} = 14$.

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${Q_1} = s + \left( {\frac{{23 - c{f_1}}}{{{n_2}}}} \right) \cdot h = 6 + \left( {\frac{{23 - 14}}{{30}}} \right) \cdot 5 = \frac{{15}}{2}$.

Ta có $\frac{{3n}}{4} = 69$ nên nhóm 3 là nhóm có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $\frac{{3n}}{4}$.

Nhóm 3 có đầu mút trái ${\rm{t}} = 11$, độ dài $l = 16 - 11 = 5$, tần số ${{\rm{n}}_3} = 25$; tần số tích lũy của nhóm 3 là $c{f_2} = 44$

Tứ phân vị thứ ba ${Q_3}$ của mẫu số liệu đã cho là

${Q_3} = t + \left( {\frac{{69 - c{f_2}}}{{{n_3}}}} \right) \cdot l = 11 + \left( {\frac{{69 - 44}}{{25}}} \right) \cdot 5 = 16$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\Delta _Q}\; = {Q_3}--{Q_1}\; = 16--\frac{{15}}{2} = \frac{{17}}{2}$

Chọn B

Cỡ mẫu $n = 10 + 27 + 31 + 25 + 7 = 100 \Rightarrow \frac{n}{4} = 25$.

Vậy nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy $37$ lớn hơn hoặc bằng $\frac{n}{4} = 25$.

Nhóm 2 có đầu mút trái $s = 22$, độ dài $h = 25 - 22 = 3$, tần số ${n_2} = 27$; tần số tích lũy của nhóm 1 là $c{f_1} = 10$.

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${Q_1} = s + \left( {\frac{{25 - c{f_1}}}{{{n_2}}}} \right) \cdot h = 22 + \left( {\frac{{25 - 10}}{{27}}} \right) \cdot 3 = \frac{{71}}{3}$.

Ta có $\frac{{3n}}{4} = 75$ nên nhóm 4 là nhóm có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $\frac{{3n}}{4}$.

Nhóm 4 có đầu mút trái ${\rm{t}} = 28$, độ dài $l = 31 - 28 = 3$, tần số ${{\rm{n}}_4} = 25$; tần số tích lũy của nhóm 3 là $c{f_3} = 68$

Tứ phân vị thứ ba ${Q_3}$ của mẫu số liệu đã cho là

${Q_3} = t + \left( {\frac{{69 - c{f_3}}}{{{n_4}}}} \right) \cdot l = 28 + \left( {\frac{{75 - 68}}{{25}}} \right) \cdot 3 = \frac{{721}}{{25}}$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về độ tuổi kết hôn của một số phụ nữ vừa lập gia đình ở khu vực A là: ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{721}}{{25}} - \frac{{71}}{3} = \frac{{388}}{{75}}$.CHỌN A

Trong mẫu số liệu ghép nhóm trên, ta có: đầu mút trái của nhóm 1 là ${a_1} = 74$, đầu mút phải của nhóm 6 là ${a_7} = 110$. Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đó là : $R = {a_7} - {a_1} = 110 - 74 = 36$(gam)

Số phần tử của mẫu là $n = 27$

Ta có: $\frac{n}{4} = \frac{{27}}{4} = 6{,}75$ mà $4 < 6{,}75 < 10$. Suy ra nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng $6{,}75$. Xét nhóm 2 là nhóm $\left[ {80;\;86} \right)$ có $s = 80$; $h = 6$; ${n_2} = 6$ và nhóm 1 là nhóm $\left[ {74;\;80} \right)$ có $c{f_1} = 4$.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ nhất là:

${Q_1} = 80 + \left( {\frac{{6{,}75 - 4}}{6}} \right).6 = 82{,}75$(gam)

Ta có: $\frac{{3n}}{4} = \frac{{3.27}}{4} = 20{,}25$ mà $20 < 20{,}25 < 27$. Suy ra nhóm 6 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng $20{,}25$. Xét nhóm 6 là nhóm $\left[ {104;\;109} \right)$ có $t = 104$; $l = 6$; ${n_6} = 7$ và nhóm 5 là nhóm $\left[ {98;\;104} \right)$ có $c{f_5} = 20$.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ ba là:

${Q_3} = 104 + \left( {\frac{{20{,}25 - 20}}{7}} \right).6 = \frac{{1459}}{{14}} \approx 104{,}2$(gam)Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là:

${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} \approx 104{,}2 - 82{,}75 = 21{,}45$(gam). chọn A

Trong mẫu số liệu ghép nhóm trên, ta có: đầu mút trái của nhóm 1 là ${a_1} = 1$, đầu mút phải của nhóm 5 là ${a_6} = 11$. Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đó là : $R = {a_6} - {a_1} = 11 - 1 = 10$(điểm)

Số phần tử của mẫu là $n = 36$

Ta có: $\frac{n}{4} = \frac{{36}}{4} = 9$ mà $5 < 9 < 15$. Suy ra nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng $9$. Xét nhóm 3 là nhóm $\left[ {5;\;7} \right)$ có $s = 5$; $h = 2$; ${n_3} = 10$ và nhóm 2 là nhóm $\left[ {3;\;5} \right)$ có $c{f_2} = 5$.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ nhất là:

${Q_1} = 5 + \left( {\frac{{9 - 5}}{{10}}} \right).2 = 5{,}8$(điểm)

Ta có: $\frac{{3n}}{4} = \frac{{3.36}}{4} = 27$ mà $15 < 27 < 29$. Suy ra nhóm 4 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng $27$. Xét nhóm 4 là nhóm $\left[ {7;\;9} \right)$ có $t = 7$; $l = 2$; ${n_4} = 14$ và nhóm 3 là nhóm $\left[ {5;\;7} \right)$ có $c{f_3} = 15$.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ ba là:

${Q_3} = 7 + \left( {\frac{{27 - 15}}{{14}}} \right).2 \approx 8{,}7$(điểm)

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là:

${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} \approx 8{,}7 - 5{,}8 = 2{,}9$(điểm). Chọn B

Trong mẫu số liệu ghép nhóm trên, ta có: đầu mút trái của nhóm 1 là ${a_1} = 1$, đầu mút phải của nhóm 5 là ${a_6} = 6$. Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đó là : $R = {a_6} - {a_1} = 6 - 1 = 5$(giờ)

Số phần tử của mẫu là $n = 42$

Ta có: $\frac{n}{4} = \frac{{42}}{4} = 10{,}5$ mà $8 < 10{,}5 < 18$. Suy ra nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng $10{,}5$. Xét nhóm 2 là nhóm $\left[ {2\,;\,3} \right)$ có $s = 2$; $h = 1$; ${n_2} = 10$ và nhóm 1 là nhóm $\left[ {1\,;\,2} \right)$ có $c{f_1} = 8$.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ nhất là:

${Q_1} = 2 + \left( {\frac{{10{,}5 - 8}}{{10}}} \right).1 = 2{,}25$(giờ)

Ta có: $\frac{{3n}}{4} = \frac{{3.42}}{4} = 31{,}5$ mà $30 < 31{,}5 < 39$. Suy ra nhóm 4 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng $31{,}5$. Xét nhóm 4 là nhóm $\left[ {4\,;\,5} \right)$ có $t = 4$; $l = 1$; ${n_4} = 9$ và nhóm 3 là nhóm $\left[ {3\,;\,4} \right)$ có $c{f_3} = 30$.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ ba là:

${Q_3} = 4 + \left( {\frac{{31{,}5 - 30}}{9}} \right).1 \approx 4{,}2$(giờ)

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là:

${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} \approx 4{,}2 - 2{,}25 = 1{,}95$(giờ).Chọn A

Trong mẫu số liệu ghép nhóm trên, ta có: đầu mút trái của nhóm 1 là ${a_1} = 3$, đầu mút phải của nhóm 7 là ${a_8} = 10$. Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đó là : $R = {a_8} - {a_1} = 10 - 3 = 7$(điểm)

Số phần tử của mẫu là $n = 45$

Ta có: $\frac{n}{4} = \frac{{45}}{4} = 11{,}25$ mà $5 < 11{,}25 < 16$. Suy ra nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng $11{,}25$. Xét nhóm 2 là nhóm $\left[ {4\,;\,5} \right)$ có $s = 4$; $h = 1$; ${n_2} = 11$ và nhóm 1 là nhóm $\left[ {3\,;\,4} \right)$ có $c{f_1} = 5$.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ nhất là:

${Q_1} = 4 + \left( {\frac{{11{,}25 - 5}}{{11}}} \right).1 \approx 4{,}57$(điểm)

Ta có: $\frac{{3n}}{4} = \frac{{3.45}}{4} = 33{,}75$ mà $31 < 33{,}75 < 39$. Suy ra nhóm 5 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng $33{,}75$. Xét nhóm 5 là nhóm $\left[ {7\,;\,8} \right)$ có $t = 7$; $l = 1$; ${n_5} = 8$ và nhóm 4 là nhóm $\left[ {6\,;\,7} \right)$ có $c{f_4} = 31$.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ ba là:

${Q_3} = 7 + \left( {\frac{{33{,}75 - 31}}{8}} \right).1 \approx 7{,}34$(điểm)

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là:

${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} \approx 7{,}34 - 4{,}57 = 2{,}77$(điểm)

a) Sai

b) Khoảng biến thiên của chiều cao của các bạn học sinh nữ lớp 12C là $185 - 155 = 30\left( {cm} \right)$.

Nên b) đúng

c) Khoảng biến thiên của chiều cao các bạn học sinh nữ lớp 12D là $180 - 155 = 25\left( {cm} \right)$.

Nên c) đúng.

d) Dựa vào khoảng biến thiên chiều cao của hai lớp 12C và 12D thì chiều cao của lớp 12C có độ phân tán lớn hơn.

Nên d) sai

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là $R = 40 - 10 = 30$.

Nên a) đúng.

b) Đúng.

c) Tần số tích luỹ của các nhóm lần lượt là $c{f_1} = 15,c{f_2} = 33,c{f_3} = 43,c{f_4} = 53,c{f_5} = 58,c{f_4} = 60$.

Ta có $\frac{n}{4} = \frac{{60}}{4} = 15$suy ra nhóm 1 là nhóm đầu tiên có tần só tích luỹ lớn hơn hoặc bằng 15.

Xét nhóm I là nhóm $\left[ {10;15} \right)$ta có $S = 10,h = 5,{n_1} = 15$.

Ta có tứ phân vị thứ nhất là ${Q_1} = s + \left( {\frac{{15 - c{f_0}}}{{{n_1}}}} \right).h = 10 + \left( {\frac{{15 - 0}}{{15}}} \right).5 = 15$.

Nên c) đúng.

d) Ta có $\frac{{3n}}{4} = \frac{{3.60}}{4} = 45$mà $43 < 45 < 53$suy ra nhóm 4 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng 45.

Xét nhóm 4 là nhóm $\left[ {25;30} \right]$ có $t = 25,l = 5,{n_4} = 10$và nhóm 3 là nhóm $\left[ {20;25} \right]$có $c{f_3} = 43$.

Ta có tứ phân vị thứ ba là ${Q_3} = t + \left( {\frac{{45 - c{f_3}}}{{{n_4}}}} \right).l = 25 + \left( {\frac{{45 - 43}}{{10}}} \right).5 = 26$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 26 - 15 = 9$.

Nên d) sai.

a) Đúng.

Ta có: $R = 45 - 20 = 25$.

b) Sai.

Ta có: $n = 28 \Rightarrow \frac{n}{4} = 7 \Rightarrow 6 < 7 < 11$.

Nhóm thứ hai là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $7$

Nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là nhóm $\left[ {25;30} \right)$.

$$\Rightarrow {Q_1} = 25 + \frac{{\frac{{28}}{4} - 6}}{5}.(30 - 25) = 26$$

c) Sai.

Ta có: $n = 28 \Rightarrow \frac{{3n}}{4} = 21 \Rightarrow 18 < 21 < 26$.

Nhóm thứ tư là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $21$

$$\Rightarrow {Q_3} = 35 + \frac{{\frac{3}{4}.28 - 18}}{8}.(40 - 35) = 36{,}875$$

d) Đúng.

$${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 36{,}875 - 26 = \frac{{87}}{8}$$

a) Sai.

Ta có: $R = 3{,}5 - 1 = 2{,}5$.

b) Sai.

Ta có: $n = 20 \Rightarrow \frac{{3n}}{4} = 15 \Rightarrow 14 < 15 < 18$.

Nhóm thứ tư là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $15$.

Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là nhóm $\left[ {2{,}5\,;\,3} \right)$.

$$\Rightarrow {Q_3} = 2{,}5 + \frac{{\frac{3}{4}.20 - 14}}{4}.(3 - 2{,}5) = 2{,}625$$

c) Sai.

Ta có: $n = 20 \Rightarrow \frac{n}{4} = 5 \Rightarrow 3 < 5 < 9$.

Nhóm thứ hai là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $5$

$$\Rightarrow {Q_1} = 1{,}5 + \frac{{\frac{{20}}{4} - 3}}{6}.(2 - 1{,}5) = \frac{5}{3}$$

d) Sai.

$${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 2{,}625 - \frac{5}{3} = \frac{{23}}{{24}}$$

*Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian sử dụng điện thoại vào buổi sáng mỗi ngày của Tuấn là: $40 - 15 = 25$ phút.

*Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian sử dụng điện thoại vào buổi sáng mỗi ngày của An là: $30 - 20 = 10$ phút.

*Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về cân nặng của học sinh nam lớp 12A:

$85 - 50 = 35$

*Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về cân nặng của học sinh nam lớp 12B:

$80 - 50 = 30$

Vậy cân nặng của học sinh nam lớp 12A có độ phân tán lớn hơn cân nặng của học sinh nam lớp 12B

a) Ta có bảng mẫu số liệu:

 Ta có: $\frac{n}{4} = 10$. Nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $10$.

Tứ phân vị thứ nhất ${Q_1}$ của mẫu số liệu là:

${Q_1} = s + \left( {\frac{{10 - c{f_1}}}{{{n_2}}}} \right).\,h = 30 + \left( {\frac{{10 - 4}}{6}} \right).\,30 = 60$.

 Ta có: $\frac{n}{2} = 20$. Nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn $20$.

Tứ phân vị thứ hai ${Q_2}$ của mẫu số liệu là:

${Q_2} = r + \left( {\frac{{20 - c{f_2}}}{{{n_3}}}} \right).\,d = 60 + \left( {\frac{{20 - 10}}{{15}}} \right).\,30 = 80$.

 Ta có: $\frac{{3n}}{4} = 30$. Nhóm 4 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn $30$.

Tứ phân vị thứ ba ${Q_3}$ của mẫu số liệu là:

${Q_3} = t + \left( {\frac{{30 - c{f_3}}}{{{n_4}}}} \right).\,l = 90 + \left( {\frac{{30 - 25}}{{12}}} \right).\,30 = 102{,}5$.

b) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là:

${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 102{,}5 - 60 = 42{,}5$.

a) Ta có bảng mẫu số liệu:

 Ta có: $\frac{n}{4} = 25$. Nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn $25$.

Tứ phân vị thứ nhất ${Q_1}$ của mẫu số liệu là:

${Q_1} = s + \left( {\frac{{25 - c{f_2}}}{{{n_3}}}} \right).\,h = 40 + \left( {\frac{{25 - 17}}{{23}}} \right).\,20 = \frac{{1080}}{{23}} \approx 47$.

 Ta có: $\frac{n}{2} = 50$. Nhóm 4 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn $50$.

Tứ phân vị thứ hai ${Q_2}$ của mẫu số liệu là:

${Q_2} = r + \left( {\frac{{50 - c{f_3}}}{{{n_4}}}} \right).\,d = 60 + \left( {\frac{{50 - 40}}{{31}}} \right).\,20 = \frac{{2060}}{{31}} \approx 66{,}5$.

 Ta có: $\frac{{3n}}{4} = 75$. Nhóm 5 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn $75$.

Tứ phân vị thứ ba ${Q_3}$ của mẫu số liệu là:

${Q_3} = t + \left( {\frac{{75 - c{f_4}}}{{{n_5}}}} \right).\,l = 80 + \left( {\frac{{75 - 71}}{{29}}} \right).\,20 = \frac{{2400}}{{29}} \approx 82{,}8$.

b) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là:

${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{2400}}{{29}} - \frac{{1080}}{{23}} = \frac{{23880}}{{667}} \approx 35{,}8$.

a) Tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm.

Ta có: $R = 27{,}5 - 6{,}5 = 21$

b) Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm.

Ta có bảng tần số tích lũy

Nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $\frac{n}{4} = \frac{{60}}{4} = 15$

$\Rightarrow {Q_1} = 12{,}5 + \left( {\frac{{15 - 5}}{{12}}} \right).3 = 15$.

Nhóm 4 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $\frac{n}{2} = \frac{{60}}{2} = 30$

$\Rightarrow {Q_2} = 15{,}5 + \left( {\frac{{30 - 17}}{{15}}} \right).3 = 18{,}1$.

Nhóm 5 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $\frac{{3n}}{2} = \frac{{3.60}}{2} = 45$

$\Rightarrow {Q_3} = 18{,}5 + \left( {\frac{{45 - 32}}{{24}}} \right).3 = 20{,}125$.

Khoảng tứ phân vị ${\Delta _Q} = Q{}_3 - {Q_1} = 20{,}125 - 15 = 5{,}125$.

Làm tròn đến hai chữ số thập phân ${\Delta _Q} = Q{}_3 - {Q_1} \approx 5{,}13$

a) Tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm.

$R = 21 - 6 = 15$

b) Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm.

Ta có bảng tần số tích lũy

Nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $\frac{n}{4} = \frac{{178}}{4} = 44{,}5$

$\Rightarrow {Q_1} = 9 + \left( {\frac{{44{,}5 - 20}}{{78}}} \right).3 = \frac{{157}}{{52}}$.

Nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $\frac{n}{2} = \frac{{178}}{2} = 89$

$\Rightarrow {Q_2} = 9 + \left( {\frac{{89 - 20}}{{78}}} \right).3 = \frac{{303}}{{26}}$.

Nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $\frac{{3n}}{2} = \frac{{3.178}}{4} = 133{,}5$

$\Rightarrow {Q_3} = 12 + \left( {\frac{{133{,}5 - 98}}{{45}}} \right).3 = \frac{{431}}{{30}}$.

Khoảng tứ phân vị: ${\Delta _Q} = Q{}_3 - {Q_1} = \frac{{431}}{{30}} - \frac{{517}}{{52}} = \frac{{3451}}{{780}} \approx 4{,}42$.