Đề kiểm tra Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp lớp 10 (có lời giải) - Đề 3

Ta có:

Số cách xếp $3$ viên bi đen khác nhau thành một dãy bằng: $3!$.

Số cách xếp $4$ viên bi đỏ khác nhau thành một dãy bằng: $4!$.

Số cách xếp $5$ viên bi đen khác nhau thành một dãy bằng: $5!$.

Số cách xếp $3$ nhóm bi thành một dãy bằng: $3!$.

Vậy số cách xếp thỏa yêu cầu đề bài bằng $3!.4!.5!.3! = 103680$ cách.

Bước 1: Xếp 7 bạn nam thành một hàng ngang, có $7!$ cách xếp.

Bước 2: Xem các bạn nam là những vách ngăn, giữa 7 bạn nam có sáu vị trí để xếp 3 bạn nữ. Chọn 3 vị trí trong sáu vị trí để xếp 3 bạn nữ, có ${A^3}_6$ cách.

Theo quy tắc nhân ta có $7!.{A^3}_6 = 604800$cách.

Mỗi kết quả có thể xảy ra là một chỉnh hợp chập $3$ của $20$ phần tử.

$\Rightarrow$Có $A_{20}^3 = 6840$kết quả.

Một tam giác được tạo bởi ba điểm phân biệt nên ta xét:

$\bullet$ TH1. Chọn $1$ điểm thuộc ${d_1}$ và $2$ điểm thuộc ${d_2}$: có $C_{17}^1.C_{20}^2$ tam giác.

$\bullet$ TH2. Chọn $2$ điểm thuộc ${d_1}$ và $1$ điểm thuộc ${d_2}$: có $C_{17}^2.C_{20}^1$ tam giác.

Theo đề bài ta có $C_{17}^1.C_{20}^2 + C_{17}^2.C_{20}^1 = 5950$ tam giác cần tìm. Chọn A

Mỗi cách sắp xếp thứ tự của 5 số $2,{\rm{ 3, }}4,{\rm{ }}7,{\rm{ }}9$ là một hoán vị của 5 phần tử.

Nên số các hoán vị là $5!$ cách.

Tập các chữ cái nguyên âm: $N = \left\{ {I;E;A} \right\}$

Tập các chữ cái phụ âm: $P = \left\{ {V;T;N;M} \right\}$

Suy ra số cách chọn một nguyên âm và một phụ âm là: $C_3^1.C_4^1 = 12$

Xét các trường hợp sau :

TH1: Hai học sinh lớp A đứng cạnh nhau có $2!.8!$ cách.

TH2: Giữa hai học sinh lớp A có một học sinh lớp C có $2!.A_4^1.7!$ cách.

TH3: Giữa hai học sinh lớp A có hai học sinh lớp C có $2!.A_4^2.6!$ cách.

TH4: Giữa hai học sinh lớp A có ba học sinh lớp C có $2!.A_4^3.5!$ cách.

TH5: Giữa hai học sinh lớp A có bốn học sinh lớp C có $2!.A_4^4.4!$ cách.

Vậy theo quy tắc cộng có $2!\left( {8! + A_4^17! + A_4^26! + A_4^35! + A_4^44!} \right) = 145152$ cách.

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

Vì chọn ra 3 người mà yêu cầu phải có giáo viên nam và giáo viên nữ trong đoàn nên số giáo viên nữ được chọn chỉ có thể bằng 1 hoặc 2. Ta xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: Chọn 1 giáo viên nữ: Có $C_3^1$ cách. Khi đó:

- Chọn 1 giáo viên nam môn Toán và 1 nam môn Vật lý: Có $C_5^1 \times C_4^1$ cách.

- Chọn 2 giáo viên nam môn Vật lý: Có $C_4^2$ cách,

Trường hợp này có $C_3^1\left( {C_5^1 \times C_4^1 + C_4^2} \right)$ cách chọn.

Trường hợp 2: Chọn 2 giáo viên nữ: Có $C_3^2$ cách chọn. Khi đó chọn thêm 1 giáo viên nam môn Vật lý: Có $C_4^1$ cách. Trường hợp này có $C_3^2 \times C_4^1$ cách chọn.

Vậy tất cả có $C_3^1\left( {C_5^1 \times C_4^1 + C_4^2} \right) + C_3^2 \times C_4^1 = 90$ cách chọn.

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

Chọn nhóm 6 bạn bất kỳ ta có $C_{14}^6$ cách

Chọn nhóm 6 bạn trong đó có cả $A$ và $B$, có $C_{12}^4$ cách

Chọn nhóm 6 bạn trong đó không có hai bạn $A$ và $B$, có $C_{12}^6$ cách

Suy ra số cách chọn 6 bạn có mặt $A,B$ nhưng không đồng thời có mặt cả hai người trong tổ là: $C_{14}^6 - C_{12}^4 - C_{12}^6 = 1584$ cách,

Chọn 1 tổ trưởng từ nhóm 6 bạn này, có 6 cách.

Vậy có $1584.6 = 9504$ cách chọn thỏa yêu câu đề.

a) Đúng

b) Sai

c) Sai

d) Đúng

Điều kiện: $x \in \mathbb{N}$ và $x \ge 3$. Ta có: $A_x^3 + C_x^{x - 3} = 14x$ $\Leftrightarrow \frac{{x!}}{{(x - 3)!}} + \frac{{x!}}{{(x - 3)!3!}} = 14x \Leftrightarrow x(x - 1)(x - 2) + \frac{{x(x - 1)(x - 2)}}{6} = 14x$

$\Leftrightarrow 7(x - 1)(x - 2) = 84$

(vì $x > 0) \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 5{\rm{ (n) }}}\\{x = - 2\left( l \right)}\end{array}} \right.$

Vậy phương trình có nghiệm là $x = 5$.

a) Sai

b) Sai

c) Sai

d) Đúng

Điều kiện: $n \in \mathbb{N}$ và $n \ge 3$. Ta có: $\frac{1}{{A_n^2}} + \frac{1}{{A_n^3}} \ge \frac{1}{{C_{n + 1}^2}}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{1}{{n(n - 1)}} + \frac{1}{{n(n - 1)(n - 2)}} \ge \frac{2}{{n(n + 1)}}\\ \Leftrightarrow (n + 1)(n - 2) + (n + 1) \ge 2(n - 1)(n - 2) \Leftrightarrow {n^2} - 6n + 5 \le 0 \Leftrightarrow 1 \le n \le 5.{\rm{ }}\end{array}$

Vì $n \in \mathbb{N}$ và $n \ge 3$ nên $n \in \{ 3;4;5\}$.

Trường hợp 1: 1 điểm thuộc ${d_1}$ và 2 điểm thuộc ${d_2}$.

Số tam giác lập được là: $C_{17}^1 \cdot C_{20}^2 = 3230$.

Trường hợp $2:2$ điểm thuộc ${d_1}$ và 1 điểm thuộc ${d_2}$.

Số tam giác lập được là: $C_{17}^2 \cdot C_{20}^1 = 2720$.

Vậy có $3230 + 2720 = 5950$ tam giác thoả mãn đề bài.

Gọi $L$ là nhóm 3 sách lý, $S$ là nhóm 4 sách sinh, Đ là nhóm 5 sách địa. Số cách xếp trong $L$ là 3!; số cách xếp trong $S$ là 4!; số cách xếp trong Đ là 5!; số cách xếp L, S, Đ với nhau: 3!.

Vậy số cách xếp thỏa mãn đề bài là: $3!4!5!3! = 103680$ (cách).

Trước hết ta sắp xếp năm chữ số 1 và năm chữ số 2 vào 10 vị trí hàng ngang:

- Chọn năm trong mười vị trí đề sắp xếp chữ số 1: có $C_{10}^5$ cách chọn.

- Các vị trí còn lại ta sắp xếp chữ số 2: có 1 cách chọn.

Từ dãy các chữ số 1 và 2 ở trên có chín vị trí xen giữa và hai vị trí hai đầu mút. Các số còn lại gồm $3{,}4{,}5{,}6{,}7{,}8{,}9$ đều lớn hơn 2. Ta cần chọn ra năm trong bảy chữ số trên để sắp xếp vào mười một vị trí cho phép:

- Số cách chọn ra năm trong bảy chữ số: $C_7^5$.

- Số cách chọn ra năm trong mười một vị trí để sắp xếp năm chữ số vừa chọn là $A_{11}^5$.

Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn là $C_{10}^5 \cdot 1 \cdot C_7^5 \cdot A_{11}^5 = 293388480$.

Ta có $C_3^1 \cdot C_{12}^4$ cách phân công các thanh niên về tỉnh thứ nhất.

Với mỗi cách này thì có $C_2^1 \cdot C_8^4$ cách phân công số thanh niên còn lại về tỉnh thứ hai. Với mỗi cách phân công trên thì có $C_1^1 \cdot C_4^4$ cách phân công số thanh nhiên còn lại về tỉnh thứ 3.

Do đó ta có: $C_3^1C_{12}^4C_2^1C_8^4C_1^1C_4^4 = 207900$ cách phân công thỏa mãn đề bài.