Đề kiểm tra Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp lớp 10 (có lời giải) - Đề 2

Số có ba chữ số khác nhau được lập thành từ sáu chữ số đã cho là một chỉnh hợp chập 3 của 6.

Suy ra có $A_6^3$=120 số.

Tập $A$ gồm có $6$ phần tử là những số tự nhiên khác $0$.

Do đó từ tập $A$ có thể lập được $A_6^4 = 360$ số tự nhiên là số gồm bốn chữ số khác nhau.

Xếp ngẫu nhiên các phiếu ghi số $1{,}2{,}3{,}5$ cạnh nhau ta có $4! = 24$.

Vì các phiếu ghi số chẵn ở cạnh nhau nên ta xếp phiếu ghi số 4 vào cạnh phiếu ghi số2 có 2 cách. Vậy có $2.24 = 48$.

Mỗi cách chọn 3 học sinh để làm vệ sinh lớp học trong một ngày là một tổ hợp chập 3 của 45 phần tử.

Do đó số cách phân công 3 học sinh là: $C_{45}^3 = 14190$.

Đa giác lồi $n$ đỉnh thì có $n$ cạnh. Nếu vẽ tất cả các đoạn thẳng nối từng cặp trong $n$ đỉnh này thì có một bộ gồm các cạnh và các đường chéo.

Vậy để tính số đường chéo thì lấy tổng số đoạn thẳng dựng được trừ đi số cạnh, với

Tất cả đoạn thẳng dựng được là bằng cách lấy ra $2$ điểm bất kỳ trong $n$ điểm, tức là số đoạn thẳng chính là số tổ hợp chập $2$ của $n$ phần tử.

Như vậy, tổng số đoạn thẳng là $C_n^2.$

Số cạnh của đa giác lồi là $n.$

Suy ra số đường chéo của đa giác đều $n$ đỉnh là $C_n^2 - n = \frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2}.$

Theo bài ra, ta có $\left\{ \begin{array}{l}n \ge 3\\\frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2} = 170\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n \ge 3\\{n^2} - 3n - 340 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow n = 20$

a) Sai

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

a) Khách lên tàu tùy ý nên mỗi khách sẽ có 3 lựa chọn. Vậy số khả năng thỏa mãn là $3 \times 3 \times 3 = 27$.

b) Số khả năng 3 hành khách lên cùng một toa là 3

c) Số cách chọn 3 toa để xếp 3 hành khách là: $A_3^3 = 3! = 6$.

d) Giai đoạn 1: Chia 3 hành khách ra làm hai nhóm X, Y: một nhóm có 2 người và một nhóm có 1 người. Số cách thực hiện là: $C_3^2 \times 1$.

Giai đoạn 2: Chọn 2 trong 3 toa tàu để xếp hai nhóm vào, số cách thực hiện là $A_3^2$.

Vậy số cách xếp khách lên tàu thỏa mãn là $C_3^2 \times 1 \times A_3^2 = 18$.

a) Đúng

b) Sai

c) Sai

d) Đúng

a) Số cách chọn 4 bông từ 9 bông: $C_9^4 = 126$ (cách).

b) Số cách chọn 2 bông hồng từ 5 bông hồng: $C_5^2$ (cách).

Số cách chọn 2 bông trắng từ 4 bông trắng: $C_4^2$ (cách).

Số cách chọn một bó bông thỏa mãn đề bài: $C_5^2 \cdot C_4^2 = 60$ (cách).

c) 3 bông hồng, 1 bông trắng: có $C_5^3 \cdot C_4^1 = 40$ (cách).

d) Cách giải 1: Làm trực tiếp.

Trường hợp 1: 3 bông hồng, 1 bông trắng: có $C_5^3 \cdot C_4^1 = 40$ (cách).

Trường hợp 2: 2 bông hồng, 2 bông trắng: có $C_5^2 \cdot C_4^2 = 60$ (cách).

Trường hợp 3: 1 bông hồng, 3 bông trắng: có $C_5^1 \cdot C_4^3 = 20$ (cách).

Theo quy tắc cộng ta có tất cả $40 + 60 + 20 = 120$ (cách chọn).

Cách giải 2: Phương pháp loại trừ.

Số cách chọn 4 bông từ 9 bông (tùy ý): $C_9^4 = 126$ (cách).

Số cách chọn 4 bông chỉ một màu (hồng hoặc trắng): $C_5^4 + C_4^4 = 6$ (cách).

Vậy số cách chọn 4 bông có đủ hai màu: $126 - 6 = 120$ (cách).

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Sai

a) Chọn 2 bi xanh, 1 bi đỏ và 1 bi vàng có: $C_6^2 \cdot 5.4 = 300$ cách.

b) Chọn 1 bi xanh, 2 bi đỏ và 1 bi vàng có: $6.C_5^2.4 = 240$ cách.

c) Chọn 1 bi xanh, 1 bi đỏ và 2 bi vàng có: $6.5 \cdot C_4^2 = 180$ cách.

d) $300 + 240 + 180 = 720$ cách.

a) Sai

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

Chọn 5 học sinh tùy ý từ 9 học sinh có: $C_9^5 = 126$ cách.

* Chọn 5 học sinh có cả học sinh 2 lớp, xảy ra các tình huống sau:

Chọn 5 học sinh chỉ có lớp $12\;A$ và $12\;B$ có: $C_7^5 = 21$ cách.

Chọn 5 học sinh chỉ có lớp $12\;A$ và $12C$ có: $C_6^5 = 6$ cách.

Chọn 5 học sinh chỉ có lớp $12B$ và $12C$ có: $C_5^5 = 1$ cách.

* Chọn 5 học sinh chỉ có một lớp duy nhất: không có.

Vậy số cách chọn 5 học sinh sao cho lớp nào cũng có học sinh là:

$126 - (21 + 6 + 1) = 98{\rm{ c\'a ch}}{\rm{. }}$

Gọi số có ba chữ số cần tìm là $\overline {abc} (a \ne 0)$.

Vì số cần tìm chia hết cho 2 nên số cách chọn chữ số c là 5 cách.

Số cách chọn chữ số a là $C_8^1$ (cách).

Số cách chọn chữ số b là $C_8^1$ (cách).

Vậy số các số chia hết cho 2 mà mỗi số có ba chữ số khác nhau là: $5 \cdot C_8^1 \cdot C_8^1 = 5 \cdot 8 \cdot 8 = 320$ (số)

Lớp trưởng là người chạy cuối: có 1 cách xếp.

Mỗi cách xếp đội hình 5 bạn còn lại trong 14 bạn là một chỉnh hợp chập 5 của 14 phần tử nên số cách xếp đội hình theo yêu cầu là: $A_{14}^5.1 = 240240$.

Vì mỗi bạn nam ngồi đối diện một bạn nữ nên có 4 bạn nam và 4 bạn nữ được chọn ngồi vào hai dãy ghế.

Chọn 1 bạn nam thứ nhất xếp vào chỗ bất kì trong 8 chỗ có $7.8 = 56$ cách.

Chọn 1 bạn nam thứ hai xếp vào chỗ bất kì trong 7 chỗ còn lại và không đối diện với bạn nam thứ nhất có $6.6 = 36$ cách.

Chọn 1 bạn nam thứ ba xếp vào chỗ bất kì trong 6 chỗ còn lại và không đối diện với bạn nam thứ nhất, thứ hai có $5.4 = 20$ cách.

Chọn 1 bạn nam thứ tư xếp vào chỗ bất kì trong 5 chỗ còn lại và không đối diện với bạn nam thứ nhất, thứ hai, thứ ba có $4.2 = 8$ cách.

Chọn 4 bạn nữ và xếp vào 4 ghế còn lại có $A_8^4$ cách.

Vậy có $56 \cdot 36 \cdot 20 \cdot 8 \cdot A_8^4 = 541900800$ cách xếp để mỗi bạn nam ngồi đối diện với một bạn nữ.

Số đoạn thẳng lập được từ $n$ điểm đã cho là $C_n^2$.

Theo đề bài, ta có: $C_n^2 = 153 \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{2!(n - 2)!}} = 153 \Leftrightarrow \frac{{n(n - 1)(n - 2)!}}{{2(n - 2)!}} = 153 \Leftrightarrow \frac{{n(n - 1)}}{2} = 153$

$\Leftrightarrow {n^2} - n - 306 = 0.{\rm{ Suy ra }}n = 18.{\rm{ }}$

Tổng số đoạn thẳng lập được từ $n(n > 3)$ đỉnh là $C_n^2$. Trong số các đoạn thẳng đó thì có $n$ cạnh của đa giác, còn lại là đường chéo.

Vậy số đường chéo của đa giác $n$ đỉnh là: $C_n^2 - n = \frac{{n!}}{{2!(n - 2)!}} - n = \frac{{n(n - 3)}}{2}$. Với $n = 14$ ta có số đường chéo của đa giác lồi 14 đỉnh là: $\frac{{14(14 - 3)}}{2} = 77$.