Đề kiểm tra Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp lớp 10 (có lời giải) - Đề 1

Mỗi cách xếp 4 lá thư khác nhau vào 4 chiếc phong bì khác nhau là một hoán vị của 4 phần tử.$4! = 24$

Do đó số cách xếp là $4!=24$ cách.

+) Phương pháp giải: Số cách sắp xếp $n$ học sinh thành một hàng dọc là $n!$

Có tất cả $6 + 4 = 10$ học sinh.

Số cách sắp xếp 10 học sinh trên thành một hàng dọc là $10!$ cách.

Ta chọn đáp án B

Trước hết ta xếp chỗ cho 6 học sinh, có $6! = 720$ cách.

Sau khi xếp chỗ cho 6 học sinh, giữa các học sinh có 7 khoảng trống, ta chọn một khoảng trống để xếp chỗ cho ba thầy cô, có 7 cách chọn.

Sau đó, xếp chỗ cho hai cô giáo đứng hai bên thầy giáo, có $2! = 2$ cách.

Theo quy tắc nhân, có tất cả $720.7.2 = 10080$ cách xếp chỗ thoả mãn bài toán.

Trường hợp 1: Tam giác có 1 đỉnh thuộc $a$ và 2 đỉnh thuộc $b$ có $C_{10}^1C_{15}^2$ tam giác.

Trường hợp 2: Tam giác có 2 đỉnh thuộc $a$ và 2 đỉnh thuộc $b$ có $C_{10}^2C_{15}^1$ tam giác.

Vậy có tất cả $C_{10}^1C_{15}^2 + C_{10}^2C_{15}^1 = 1725$.

Chọn ra $2$ học sinh nam từ $4$ học sinh nam, có $C_4^2 = \frac{{4!}}{{2!.2!}} = 6$

Ứng với mỗi cách chọn ra $2$ học sinh nam có $2$ cách chọn ra $1$ học sinh nữ từ $2$ học sinh nữ

Vậy có $6.2 = 12$ cách chọn ra $3$ học sinh trong đó có đúng $2$ học sinh nam.

Mỗi cách chọn ra $2$ học sinh từ tổ đó để giữ hai chức vụ tổ trưởng và tổ phó là một chỉnh hợp chập 2 của 10 phần tử.

Số cách chọn ra $2$ học sinh từ tổ đó để giữ hai chức vụ tổ trưởng và tổ phó là $A_{10}^2$

Giả sử $n = \overline {abcde} \,;\,\left( {a,b,c,d,e \in A} \right)$. Do $n$ chia hết cho 5 nên $e \in \left\{ {0;5} \right\}$

TH1: $e = 0$ khi đó $\overline {abcd}$ có $A_6^4 = 360$cách.

TH2: $e = 5$ khi đó $\overline {abcd}$ có $A_6^4 - A_5^3 = 360 - 60 = 300$cách.

Vậy có 660 số.

a) Sai

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

a) Mỗi cách chọn 6 bạn trong 20 bạn để ngồi vào hàng ghế đầu tiên là một chỉnh hợp chập 6 của 20. Vậy có $A_{20}^6$ cách xếp 6 bạn ngồi vào hàng ghế đầu tiên.

b) Mỗi cách chọn 6 bạn trong 14 bạn để ngồi vào hàng ghế thứ hai là một chỉnh hợp chập 6 của 14. Vậy có $A_{14}^6$ cách xếp 6 bạn ngồi vào hàng ghế thứ hai sau khi sắp xếp xong hàng ghế đầu tiên.

c) Mỗi cách chọn 6 bạn trong 8 bạn để ngồi vào hàng ghế thứ ba là một chỉnh hợp chập 6 của 8. Vậy có $A_8^6$ cách xếp 6 bạn ngồi vào hàng ghế thứ ba sau khi sắp xếp xong hai hàng ghế đầu.

d) Còn lại 2 bạn ngồi vào hàng ghế cuối cùng. Mỗi cách chọn 2 ghế trong 6 ghế để xếp chỗ ngồi cho 2 bạn là một chỉnh hợp chập 2 của 6. Vậy có $A_6^2$ cách xếp 2 bạn còn lại ngồi vào hàng ghế cuối cùng.

a) Đúng

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

a) Số cách xếp 8 học sinh theo một hàng dọc: ${P_8} = 8! = 40320$ (cách).

b) Gọi $X$ là nhóm 3 học sinh nữ, $Y$ là nhọ́m 5 học sinh nam.

Số cách xếp trong $X:3!$; số cách xếp trong $Y$: 5!.

Số cách hoán đổi X, Y: 2!.

Vậy số cách xếp thỏa mãn đề bài: $3!5!2! = 1440$ (cách).

c) Gọi $X$ là nhóm 3 học sinh nữ. Khi ấy số cách xếp trong $X$: 3!.

Số cách xếp nhóm $X$ với 5 học sinh nam (ta xem có 6 đơn vị): 6!

Vậy số cách xếp thỏa mãn đề bài: $3!6! = 4320$ (cách).

d) Sắp xếp trước cho 5 nam sinh, số cách hình vẽ): $C_6^3$ (cách).

Sắp xếp 3 nữ sinh vào 3 vị trí vừa được chọn: 3 ! (cách).

Vậy số cách xếp hàng thỏa mãn là: $5!C_6^33! = 14400$.

Lưu ý: Việc chọn 3 vị trí tì 6 vị trí để sắp xếp 3 nữ sinh vào có thể đươc thực hiện gộp bởi công thức $A_6^3$. Khi đó số cách xếp thỏa mãn là $5!A_6^3$.

a) Sai

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

a) Số cách chọn 5 học sinh mỗi khối $(A,B,C)$ lần lượt là: $C_{15}^5,C_{10}^5,C_5^5$.

Vậy số cách chọn thỏa mãn là $C_{15}^5 \times C_{10}^5 \times C_5^5 = 756756$ (cách).

d) Ta sử dụng quy tắc loại trừ như lời giải sau:

Xét bài toán 1: Chọn 2 học sinh khối $C,13$ học sinh khối $B$ hoặc khối $A$: có $C_5^2C_{25}^{13}$ cách.

Xét bài toán 2: Chọn 2 học sinh khối $C,13$ học sinh khối $B$ và khối $A$ không thỏa mãn yêu cầu.

- Trường hợp 1: Chọn 2 học sinh khối $C,10$ học sinh khối $B$ và 3 học sinh khối A có $C_5^2C_{10}^{10}C_{15}^3$ cách.

- Trường hợp 2: Chọn 2 học sinh khối $C,9$ học sinh khối $B$ và 4 học sinh khối A có $C_5^2C_{10}^9C_{15}^4$ cách.

Vậy số cách chọn thỏa mãn là $C_5^2C_{25}^{13} - C_{10}^{10}C_{15}^3 - C_{10}^9C_{15}^4 = 51861950$ (cách).

a) Đúng

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

a) Xếp tùy ý 9 bạn lên hàng ghé nằm ngang, ta có $9! = 362880$ (cách xếp).

b) Xếp chỗ cho An và Bình ngồi cạnh nhau (thành nhóm $X$), số cách xếp trong $X$ là $2!$.

Số cách xếp nhóm $X$ với 7 người còn lại (ta xem là hoán vị của 8 phần tử), số cách xếp là $8!$.

Số cách xếp hàng thỏa mãn là $2!8! = 80640$ (cách).

c) Số cách xếp 9 bạn vào 9 chỗ là 9! cách. Vậy số cách xếp để An và Bình không ngồi cạnh nhau là: $9! - 2!8! = 282240$ (cách).

d) Số cách xếp để An, Bình ngồi 2 đầu dãy ghế là: $2!.7! = 10080$

Vì chữ số 2 đứng liền giữa hai chữ số 1 và 3 nên số cần lập có bộ ba số 123 hoặc 321,

TH1: Số cần lập có bộ ba số 123.

Nếu bộ ba số 123 đứng đầu thì số có dạng $\overline {123abcd}$.

Có $A_7^4 = 840$ cách chọn bốn số $a,b,c,d$ nên có $A_7^4 = 840$ số,

Nếu bộ ba số 123 không đứng đầu thì số có 4 vị trí đặt bộ ba số 123,

Có 6 cách chọn số đứng đầu và có $A_6^3 = 120$ cách chọn ba số $b,c,d$,

Theo quy tắc nhân có $6 \cdot 4 \cdot A_6^3 = 2880$ số.

Theo quy tắc cộng có $840 + 2880 = 3720$ số.

TH2: Số cần lập có bộ ba số 321.

Do vai trò của bộ ba số 123 và 321 như nhau nên có $2(840 + 2880) = 7440$.

- Chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phó có $A_{15}^2$ cách.

- Chọn 3 tổ viên, trong đó có nữ.

+ Chọn 1 nữ và 2 nam có $5.C_{13}^2$ cách,

+ Chọn 2 nữ và 1 nam có $13.C_5^2$ cách,

+ Chọn 3 nữ có $C_5^3$ cách.

Vậy có $A_{15}^2\left( {5 \cdot C_{13}^2 + 13 \cdot C_5^2 + C_5^3} \right) = 111300$ cách.

Có 26 chữ cái và 10 chữ số. Chọn 2 kí tự đầu tiên là chữ cái in thường nên ta có $A_{26}^2$ cách chọn.

Chọn 2 kí tự tiếp theo là chữ cái in hoa nên ta có $A_{26}^2$ cách chọn.

Chọn 3 kí tự tiếp theo là chữ số trong 10 chữ số nên có $A_{10}^3$ cách chọn.

Chọn 1 kí tự cuối cùng có 3 cách.

Vậy ta có $3{\left( {\;A_{26}^2} \right)^2}\;A_{10}^3 = 912600000$ cách để bạn Phú tạo ra một mật khẩu.