Đề kiểm tra Hệ trục tọa độ trong không gian lớp 12 (có lời giải) - Đề 5

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{1 + 5 + 0}}{3} = 2\\{y_G} = \frac{{ - 1 + 0 + 4}}{3} = 1\\{z_G} = \frac{{1 + 2 + 3}}{3} = 2\end{array} \right.$

Vậy $G\left( {2;1;2} \right)$.

Ta có: $\overrightarrow u .\overrightarrow v = 2.\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right).\left( { - 2} \right) + 0.7 = 0$.

Suy ra góc giữa $2$ vectơ đã cho bằng $90^\circ$.

Chọn B

Ta có: $\overrightarrow {AO} = 3\left( {\overrightarrow i + 4\overrightarrow j } \right) - 2\overrightarrow k + 5\overrightarrow j = 3\overrightarrow i + 12\overrightarrow j - 2\overrightarrow k + 5\overrightarrow j = 3\overrightarrow i + 17\overrightarrow j - 2\overrightarrow k$.

Suy ra $\overrightarrow {OA} = - 3\overrightarrow i - 17\overrightarrow j + 2\overrightarrow k$ nên $A\left( { - 3\,;\, - 17\,;\,2} \right)$.

Chọn C

Gọi $H$ là hình chiếu của $M$ lên mặt phẳng $\left( {Oyz} \right) \Rightarrow H\left( {0;2;3} \right)$.

Gọi $M'$ là điểm đối xứng với $M\left( {1;2;3} \right)$ qua mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$.

$\Rightarrow H$ là trung điểm của $MM' \Rightarrow \overrightarrow {HM'} = \overrightarrow {MH} \Rightarrow M'\left( { - 1;2;3} \right)$.

a) Đúng

b) Sai

c) Sai

d) Đúng

a) Ta có $\overrightarrow u = \left( {3;1; - 2} \right)$. Suy ra a) đúng.

b) Ta có $\overrightarrow v = \left( {2;0; - 1} \right)$. Suy ra b) sai.

c) Ta có $2\overrightarrow u = \left( {6;2; - 4} \right)$. Suy ra c) sai.

d) Ta có$2\overrightarrow u = \left( {6;2; - 4} \right)$, $3\overrightarrow v = \left( {6;0; - 3} \right)$

Do đó $\overrightarrow m = 2\overrightarrow u - 3\overrightarrow v = \left( {0;2; - 1} \right)$. Suy ra d) đúng.

a) Đúng

b) Sai

c) Sai

d) Đúng

a) Ta có $A\left( {1; - 2;3} \right),\,\,B\left( { - 2;1;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( { - 3;3; - 1} \right)$. Suy ra a) đúng.

b) Ta có $A\left( {1; - 2;3} \right),\,\,C\left( {3; - 1;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AC} = \left( {2;1; - 1} \right)$. Suy ra b) sai.

c) Do $3\overrightarrow {AC} = \left( {6;3; - 3} \right);\,\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;3; - 1} \right)$. Suy ra c) sai.

d) Ta có$\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;3; - 1} \right);\,\overrightarrow {AC} = \left( {2;1; - 1} \right) \Rightarrow \frac{{ - 3}}{2} \ne \frac{3}{1} \Rightarrow \overrightarrow {AB}$, $\overrightarrow {AC}$ không cùng phương. Suy ra ba điểm $A,\,B,\,C$ không thẳng hàng. Suy ra d) đúng.

a) Đúng

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

a) Ta có $A\left( {2; - 1; - 2} \right),\,\,B\left( {3;1;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {1;2;4} \right)$. Suy ra a) đúng.

b) Ta có $C\left( {1; - 1;1} \right);D\left( {{x_D};{y_D};{z_D}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {DC} = \left( {1 - {x_D}; - 1 - {y_D};1 - {z_D}} \right)$. Suy ra b) đúng.

c) Do hình bình hành $ABCD$ có $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}$. Suy ra c) đúng.

d) Do hình bình hành $ABCD$ có $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}$.

Mà $\overrightarrow {AB} = \left( {1;2;4} \right);\,\,\overrightarrow {DC} = \left( {1 - {x_D}; - 1 - {y_D};1 - {z_D}} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 = 1 - {x_D}\\2 = - 1 - {y_D}\\4 = 1 - {z_D}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 0\\{y_D} = - 3\\{z_D} = - 3\end{array} \right.$.

Vậy $D\left( {0; - 3; - 3} \right)$. Suy ra d) sai.

a) Đúng

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

a) Ta có $\overrightarrow {A'A} = \left( {0; - 1;2} \right)$. Suy ra a) đúng.

b) Ta có $\overrightarrow {B'B} = \left( {2 - {b_1};1 - {b_2};2 - {b_3}} \right)$. Suy ra b) đúng.

c) Do hình bình hành $ABB'A'$ nên $\overrightarrow {A'A} = \overrightarrow {B'B}$. Suy ra c) đúng.

d) Do hình bình hành $ABB'A'$ nên $\overrightarrow {A'A} = \overrightarrow {B'B}$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 = 2 - {b_1}\\ - 1 = 1 - {b_2}\\2 = 2 - {b_3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{b_1} = 2\\{b_2} = 2\\{b_3} = 0\end{array} \right.$.

Vậy $B'\left( {2;2;\,0} \right)$. Suy ra d) sai.

Ta có: $\overrightarrow {AB} \left( {1; - 3; - 4} \right)$,$\overrightarrow {AD} \left( { - 4;4; - 1} \right)$.

Gọi $C\left( {x;y;z} \right)$ là điểm cần tìm. $\overrightarrow {DC} \left( {x + 3;y - 7;z - 1} \right)$

Vì $ABCD$là hình bình hành nên $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 3 = 1\\y - 7 = - 3\\z - 1 = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = 4\\z = - 3\end{array} \right.$.

Vậy $C\left( { - 2;4; - 3} \right) \Rightarrow a + 3b + 4c = - 2$.

$H\left( {m\,;\,n\,;\,p} \right)$ là hình chiếu của $M$trên $\left( {Oyz} \right)$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_H} = 0\\{y_H} = {y_M} = 3\\{z_H} = {z_M} = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow H\left( {0;3; - 4} \right)$.

Suy ra $T = m - 2n - 3p = 6$.

Ta có: Hình chiếu của điểm $M\left( {3\,;\, - 7\,;4} \right)$ trên trục $Oy$ là điểm $H\left( {0\,;\, - 7;0} \right)$

$\Rightarrow$$a = 0$; $b = - 7$; $c = 0$

Vậy $a - b + c = 7$.

Ta có: $OC = MH = OM.\sin \left( {\overrightarrow {OH} \,\,,\,\,\overrightarrow {OM} } \right) = 50.\sin 48^\circ \approx 37{,}16$

$OH = OM.\cos \left( {\overrightarrow {OH} \,,\,\overrightarrow {OM} } \right) = 50.\cos 48^\circ = 50.\cos 48^\circ \approx 33{,}46$

$OA = OH.\cos \left( {\vec i\,\,,\,\,\overrightarrow {OH} } \right) = 33{,}46.\cos 64^\circ = 33{,}46.\cos 64^\circ \approx 14{,}67$

$OB = OH.\cos \left( {90^\circ - \left( {\vec i\,,\,\,\overrightarrow {OH} } \right)} \right) = 33{,}46.\cos \left( {90^\circ - 64^\circ } \right) = 33{,}46.\cos 26^\circ \approx 30{,}07$

Suy ra $M\left( {14{,}67\,;\,30{,}07\,;\,37{,}16} \right)$$\Rightarrow S = a + b + c = 14{,}67 + 30{,}07 + 37{,}16 = 81{,}9$

Tam giác $OCM$ vuông tại $C$ có

$OC = OM.\cos 65^\circ = 14.\cos 65^\circ \approx 5{,}9$ và $CM = OM.\sin 65^\circ = 14.\sin 65^\circ \approx 12{,}7$.

$ON = CM,\,\,AN = OB$.

Có $\widehat {AON} = 90^\circ - \widehat {BON} = 58^\circ$

Tam giác $OAN$ vuông tại $A$ có

$OA = ON.\cos 58^\circ = 12{,}7.\cos 58^\circ \approx 6{,}7$ và $AN = ON.\sin 58^\circ = 12{,}7.\sin 58^\circ \approx 10{,}8$.

$\overrightarrow {OM} = OA.\overrightarrow i + OB.\overrightarrow j + OC.\overrightarrow k = 6{,}7.\overrightarrow i + 10{,}8.\overrightarrow j + 5{,}9.\overrightarrow k$.

Vậy $M\left( {6{,}7;10{,}8;5{,}9} \right)$.