Đề kiểm tra Hệ trục tọa độ trong không gian lớp 12 (có lời giải) - Đề 2

Gọi $D\left( {x;y;z} \right)$$\Rightarrow \overrightarrow {CD} = \left( {x + 3;y - 1;z - 2} \right)$ và $\overrightarrow {BA} = \left( { - 1; - 3;7} \right)$.

Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành khi và chỉ khi: $\overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CD} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 3 = - 1\\y - 1 = - 3\\z - 2 = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 4\\y = - 2\\z = 9\end{array} \right.$$\Rightarrow C\left( { - 4; - 2;9} \right)$

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên

$\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} - {x_A} = {x_C} - {x_D}\\{y_B} - {y_A} = {y_C} - {y_D}\\{z_B} - {z_A} = {z_C} - {z_D}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 2\\{y_C} = 0\\{z_C} = 2\end{array} \right. \Rightarrow C(2;0;2)$

Ta có: $\overrightarrow {OM} = \left( {1;5;2} \right) \Rightarrow M\left( {1;5;2} \right)$, $\overrightarrow {ON} = \left( {3;7; - 4} \right) \Rightarrow N\left( {3;7; - 4} \right)$.

Vì $P$ là điểm đối xứng với $M$qua $N$ nên $N$ là trung điểm của $MP$, ta suy ra được

$\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {NP}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_N} - {x_M} = {x_P} - {x_N}\\{y_N} - {y_M} = {y_P} - {y_N}\\{z_N} - {z_M} = {z_P} - {z_N}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_P} = 5\\{y_P} = 9\\{z_P} = - 10\end{array} \right. \Rightarrow P\left( {5;9; - 10} \right)$.

Khi đó $\overrightarrow {KP} = \left( {6;6; - 11} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 1;5} \right)$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} - {x_A} = 3\\{y_B} - {y_A} = - 1\\{z_B} - {z_A} = 5\end{array} \right.$.$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} - 1 = 3\\{y_B} - 3 = - 1\\{z_B} + 1 = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 4\\{y_B} = 2\\{z_B} = 4\end{array} \right.$.

Vậy $B\left( {4;2;4} \right)$ hay $\overrightarrow {OB} = \left( {4\,;\,2\,;\,4} \right)$.

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A\left( {1;2;3} \right)$ lên $Oy$. Suy ra $H\left( {0;2;0} \right)$

Khi đó $H$ là trung điểm đoạn $AA'$.

$\left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2{x_H} - {x_A} = - 1\\{y_{A'}} = 2{y_H} - {y_A} = 2\\{z_{A'}} = 2{z_H} - {z_A} = - 3\end{array} \right.$$\Rightarrow A'\left( { - 1;2; - 3} \right)$.

Gọi $I\left( {a;\,b;\,c} \right)$ suy ra $\overrightarrow {BI} = \left( {a - 3;\,b - 1;\,c} \right)$, $\overrightarrow {ID} = \left( { - a;\,4 - b;\, - 6 - c} \right)$.

Vì$ABCD$ là hình bình hành tâm $I$ nên $\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {ID}$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 3 = - a\\b - 1 = 4 - b\\c = - 6 - c\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{3}{2}\\b = \frac{5}{2}\\c = - 3\end{array} \right.$.

Vậy $I\left( {\frac{3}{2};\,\frac{5}{2};\, - 3} \right)$.

$\overrightarrow {OM} = 3\,\overrightarrow i + 5\overrightarrow j - 7\overrightarrow k$ $\Rightarrow M\left( {3;\,5;\, - 7} \right)$.

Tọa độ hình chiếu của $M$lên mặt phẳng $\left( {Oxz} \right)$ là $H\left( {3;\,0;\, - 7} \right)$.

Gọi $M'\left( {a;\,b;\,c} \right)$ là điểm đối xứng với $M$qua mặt phẳng $\left( {Oxz} \right)$, suy ra $\overrightarrow {MH} = \overrightarrow {HM'}$ mà $\overrightarrow {MH} = \left( {0;\, - 5;\,0} \right)$, $\overrightarrow {HM'} = \left( {a - 3;\,b;\,c + 7} \right)$ nên $\left\{ \begin{array}{l}a - 3 = 0\\b = - 5\\c + 7 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = - 5\\c = - 7\end{array} \right.$. Vậy $M'\left( {3;\, - 5;\, - 7} \right)$.

Theo giả thiết có $\overrightarrow {AB} = 2\,\overrightarrow i \,;\,\,\overrightarrow {AD} = 4\,\overrightarrow j \,;\,\overrightarrow {AA'} = 3\,\overrightarrow k \,;\,$

Áp dụng quy tắc hình hộp ta có: $\overrightarrow {AC'} \, = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = 2\,\overrightarrow i \, + 4\overrightarrow j \, + 3\overrightarrow k$.

Do đó điểm $C'$ có tọa độ là $\left( {2;4;3} \right)$. Vậy $a + b - c = 2 + 4 - 3 = 3$

Vì tọa độ điểm $A\left( {3;0;0} \right)$ $\Rightarrow \overrightarrow {BA} = 3\,\overrightarrow i \,$

Vì tọa độ điểm $D\left( {3;1;0} \right)$ $\Rightarrow \,\,\overrightarrow {BD} = 3\overrightarrow i \,\, + \overrightarrow j$

Mà $\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} \Rightarrow \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BD} - \overrightarrow {BA} = 3\overrightarrow i + \overrightarrow j - 3\overrightarrow i = \overrightarrow j$

Vì tọa độ điểm $B'\left( {0;0;5} \right) \Rightarrow \overrightarrow {BB'} = 5\overrightarrow k$

Ta có $\overrightarrow {BC'} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BB'} = \overrightarrow j + 5\overrightarrow k \Rightarrow C'\left( {0;1;5} \right)$. Vậy ${m^2} + {n^2} + {p^2} = 26$

Đặt: $\overrightarrow {\,x\,} = m.\overrightarrow {\,a\,} + n.\overrightarrow {\,b\,} + p.\overrightarrow {\,c\,}$, $m,n,p \in \mathbb{R}$.

$\Rightarrow \left( { - 3;\,22;\,5} \right) = m.\left( {2;\,3;\,1} \right) + n.\left( { - 1;\,5;\,2} \right) + p.\left( {4;\, - 1;\,3} \right)$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m - n + 4p = - 3\\3m + 5n - p = 22\\m + 2n + 3p = 5\end{array} \right.$ $\left( I \right)$.

Giải hệ phương trình $\left( I \right)$ ta được: $\left\{ \begin{array}{l}m = 2\\n = 3\\p = - 1\end{array} \right.$.

Vậy $\overrightarrow {\,x\,} = 2\overrightarrow {\,a\,} + 3\overrightarrow {\,b\,} - \overrightarrow {\,c\,}$.

Giả sử $D\left( {a;b;c} \right)$, $B'\left( {a';b';c'} \right)$

Gọi $O = AC \cap BD$$\Rightarrow O\left( {\frac{1}{2};\,4;\,\frac{{ - 7}}{2}} \right)$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 3\\b = 8\\c = - 7\end{array} \right.$.

Vậy $\overrightarrow {DD'} = \left( {9;\,0;\,17} \right)$, $\overrightarrow {BB'} = \left( {a' - 4;\,b';\,c'} \right)$. Do $ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp nên $\overrightarrow {DD'} = \overrightarrow {BB'}$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a' = 13\\b' = 0\\c' = 17\end{array} \right.$. Vậy $B'\left( {13;\,0;\,17} \right)$.

a) Sai.

Do $\overrightarrow u + \overrightarrow v = \left( {4;0; - 1} \right)$.

b) Đúng.

Do $\overrightarrow u .\overrightarrow v = 0$ nên $\overrightarrow u \bot \overrightarrow v$.

c) Sai.

Do $\overrightarrow u - 2\overrightarrow v = \left( {1;3; - 4} \right) = - \overrightarrow w$ nên hai vectơ ngược hướng.

d) Đúng.

Do $\overrightarrow u - \overrightarrow v + 2\overrightarrow w = \left( {0; - 4;5} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow u - \overrightarrow v + 2\overrightarrow w } \right| = \sqrt {0 + 16 + 25} = \sqrt {41}$.

a) Đúng.

b) Sai .

Do $\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;3;6} \right),\,{\rm{ }}\overrightarrow {AC} = \left( {3; - 6;3} \right).$

c) Đúng.

Do $AB = AC = 3\sqrt 6$ nên tam giác $ABC$ cân tại A.

d) Sai.

Gọi $D\left( {x;y;z} \right)$, vì $ABDC$ là hình bình hành nên

$\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \Leftrightarrow \left( { - 3;3;6} \right) = \left( {x - 4;y + 6;z - 1} \right) \Leftrightarrow \left( {x;y;z} \right) = \left( {1; - 3;7} \right)$ .

a) Sai.

Tọa độ của điểm $C$là $C\left( {4;4;0} \right)$

b) Đúng.

c) Sai.

$E$ nằm trên tia $Ox$ và $OE = \frac{{AB}}{2} = 2$ nên $E\left( {2;0;0} \right)$.

d) Sai.

$F$ nằm trên tia đối của tia $Oy$ và $OF = 1$ nên $F\left( {0; - 1;0} \right)$.

a) Sai.

Tọa độ của vecto $\overrightarrow {i\,}$ là $\left( {1;0;0} \right)$.

b) Đúng.

Vì nên .

c) Đúng.

Vì thì $B\left( {x';y';z'} \right)$.

d) Đúng.

Ta có .

$\overrightarrow {OA\,} = \overrightarrow {OB\,} \Leftrightarrow x = x',\,y = y',\,z = z'$.

Đáp số: $\left( { - 1;1;4} \right)$.

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;1;4} \right)$. Vì tứ giác $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}$. Vậy $\overrightarrow {DC} = \left( { - 1;1;4} \right)$.

Đáp số: $\left( {2;0;0} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {OC} = 2\overrightarrow i - \overrightarrow k \Rightarrow C\left( {2;0; - 1} \right)$. Vậy hình chiếu vuông góc của điểm $C$ trên trục $Ox$ là điểm $C'\left( {2;0;0} \right)$.

Đáp số: $O'\left( {4\,;\, - 5\,;\,3} \right)$

Ta có $\overrightarrow {O'C'} = \overrightarrow {AB} = \left( { - 2\,;\,2\,;\,2} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{C'}} - {x_{O'}} = - 2\\{y_{C'}} - {y_{O'}} = 2\\{z_{C'}} - {z_{O'}} = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{O'}} = 4\\{y_{O'}} = - 5\\{z_{O'}} = 3\end{array} \right. \Rightarrow O'\left( {4\,;\, - 5\,;\,3} \right)$.

Đáp số: $C\left( {1000\,;\,600\,;\,12} \right)$.

Vì máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay trong 10 phút tiếp theo nên dễ thấy máy bay sẽ đến vị trí $C$ sao cho $B$ là trung điểm $AC$. Khi đó $C\left( {1000\,;\,600\,;\,12} \right)$.

Đáp số: $\frac{{\sqrt 5 }}{2}$.

Ta có: $\overrightarrow {OA} = \left( { - 3;0;0} \right) \Rightarrow OA = 3$; $\overrightarrow {OB} = \left( {0; - 4;0} \right) \Rightarrow OB = 4$; $\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 4;0} \right) \Rightarrow AB = 5$.

$\Delta OAB$ vuông tại $O$, nằm trong mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$.

${S_{OAB}} = \frac{1}{2}.OA.OB = \frac{1}{2}.3.4 = 6$; $p = \frac{{OA + OB + AB}}{2} = 6$$\Rightarrow r = \frac{{{S_{ABC}}}}{p} = 1$.

$\Rightarrow I\left( { - 1; - 1;0} \right)$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta OAB$.

Do $\Delta OAB$ vuông tại $O$ nên $J$ là trung điểm của $AB$$\Rightarrow J\left( { - \frac{3}{2}; - 2;0} \right)$.

$\overrightarrow {IJ} = \left( { - \frac{1}{2}; - 1;0} \right) \Rightarrow IJ = \sqrt {{{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2}} = \frac{{\sqrt 5 }}{2}$.

Đáp số: $\frac{{3\sqrt {47} }}{2}$.

Gọi vị trí tháp là $T\left( {x;y;z} \right)$. Vì$AB = AC = BC = 6$nên tam giác $ABC$ đều. Khi đó vị trí của tháp là trọng tâm của tam giác $ABC$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{0 + 6 + 3}}{3} = \frac{9}{2}\\y = \frac{{0 + 0 + \frac{{\sqrt 3 }}{2}}}{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{6}\\z = \frac{{0 + 0 + 2\sqrt 6 }}{3} = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}\end{array} \right.$$\Rightarrow T\left( {\frac{9}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{6};\frac{{2\sqrt 6 }}{3}} \right)$

Khi đó khoảng cách từ tháp đến các toà nhà là:

$TA = TB = TC = \frac{{\sqrt {47} }}{2}$.

Vậy tổng khoảng cách cần tìm là: $S = TA + TB + TC = \frac{{3\sqrt {47} }}{2} \approx 10{,}28$