Đề kiểm tra Hệ trục tọa độ trong không gian lớp 12 (có lời giải) - Đề 1

Ta có : $I$ là trung điểm của $AC'$ suy ra tọa độ điểm $I\left( {\frac{5}{2};\frac{5}{2}; - 2} \right)$.

Gọi tọa độ điểm $D$ là: $D\,\left( {x;y;z} \right)$. Để tứ giác $ABCD$ là hình bình hành thì $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}$

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {1\,;\,5\,;\, - 3} \right)$; $\overrightarrow {DC} = \left( {1 - x\,;\, - y\,;\, - z} \right)$

$\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - x = 1\\ - y = 5\\ - z = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = - 5\\z = 3\end{array} \right. \Rightarrow D\left( {0;\, - 5;\,3} \right)$.

Vậy điểm $D\left( {0;\, - 5;\,3} \right)$thì tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.

Ta có: $I\left( { - 5;0;5} \right)$ là trung điểm của đoạn $MN$ nên ta có.

$\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_M} + {x_N}}}{2}\\{y_I} = \frac{{{y_M} + {y_N}}}{2}\\{z_I} = \frac{{{z_M} + {z_N}}}{2}\end{array} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_N} = 2{x_I} - {x_M}\\{y_N} = 2{y_I} - {y_M}\\{z_N} = 2{z_I} - {z_M}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_N} = 2\left( { - 5} \right) - 1\\{y_N} = 2.0 - \left( { - 4} \right)\\{z_N} = 2.5 - 7\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_N} = - 11\\{y_N} = 4\\{z_N} = 3\end{array} \right.$. Suy ra $N\left( { - 11;4;3} \right)$.

Áp dụng quy tắc hình hộp, ta có $\overrightarrow {OB'} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OO'} = 4\vec i + 6\vec j + 3\vec k \Rightarrow B'(4;6;3)$.

Từ giả thiết ta có $A\left( {0;0;0} \right),C\left( {4;8;10} \right)$

Gọi $M$là tâm của hình hộp. Khi đó $M$là trung diểm của $AC'$

Suy ra $M\left( {2;4;5} \right)$

a) Đúng.

$\overrightarrow a .\overrightarrow b = 1.( - 2) + ( - 2).3 + 0.1 = - 8$

b) Đúng

$\left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {3^2} + 1} = 14$

c) Sai.

$\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( { - 1;\,\,1;\,\,1} \right)$

d) Sai.

$2\overrightarrow a = \left( {2;\, - 4;\,0} \right)$

a) Đúng.

Hình chiếu của $A$ lên mặt phẳng $\left( {Oxz} \right)$ là $A'\left( {0;0;1} \right)$.

b) Đúng

Ta có: $\overrightarrow {AC} = \left( {3;\,3;\, - 3} \right)\,\,\,;\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;\,0;\, - 2} \right)$.

Khi đó $\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} = 3.\left( { - 2} \right) + 3.0 + \left( { - 3} \right)\,.\left( { - 2} \right) = 0\,\, \Rightarrow AC \bot AB$

c) Sai.

Gỉa sử $D\left( {x;y;z} \right)$. Ta có: $\overrightarrow {BA} = \left( {2;\,0;\,2} \right)\,\,\,;\,\,\,\,\overrightarrow {CD} = \left( {x - 3;\,y - 1;\,z + 2} \right)$

Để $ABCD$ là hình bình hành thì $\overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CD}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3 = 2\\y - 1 = 0\\z + 2 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 1\\z = 0\end{array} \right.$

Vậy $D\left( {5;1;0} \right)$

d) Sai.

Trọng tâm của tam giác $ABC$ là $G\left( {\frac{1}{3}; - 1;\frac{{ - 2}}{3}} \right)$.

Từ giả thiết, ta suy ra $\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow i$; $\overrightarrow {AD} = 4\overrightarrow j$ và $\overrightarrow {AA'} = 3\overrightarrow k$.

a) Đúng. Tọa độ của $D\left( {0\,;4\,;0} \right)$.

b) Sai. Tọa độ của $C'\left( {2\,;4\,;3} \right)$.

c) Đúng. Tọa độ của $A'\left( {0\,;0\,;3} \right)$ nên $\overrightarrow {AA'} = \left( {0\,;0\,;3} \right)$.

d) Đúng. Tọa độ của $B'\left( {2\,;0\,;3} \right)$ và $D\left( {0\,;4\,;0} \right)$ nên $\overrightarrow {B'D} = \left( { - 2\,;4\,; - 3} \right)$.

a) Sai. Hình chiếu vuông góc của $M$ trên trục $Ox$ là điểm $\left( {8\,;0\,;0} \right)$.

b) Đúng. Hình chiếu vuông góc của $M$ trên trục $Oz$ là điểm $\left( {0\,;0\,;3} \right)$.

c) Đúng. Hình chiếu vuông góc của $M$ trên mặt phẳng $Oxz$ là điểm $\left( {8\,;0\,;3} \right)$.

d) Đúng. Vì $\overrightarrow {OM} = \left( {8\,;4\,;3} \right)$ nên $\overrightarrow {OM} = 8\overrightarrow i + 4\overrightarrow j + 3\overrightarrow k$.

Vì đỉnh $D'$thuộc tia $Ox$nên hai véc tơ $\overrightarrow {OD'}$và $\overrightarrow i$cùng phương, suy ra có số thực $m$sao cho$\overrightarrow {OD'} = m\overrightarrow i .$Tương tự, có các số thực$n,p$ sao cho $\overrightarrow {OB'} = n\overrightarrow j ,\overrightarrow {OA} = p\overrightarrow k$và Theo quy tắc hình hộp, suy ra $\overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OD'} + \overrightarrow {OB'} + \overrightarrow {OA} = m\overrightarrow i + n\overrightarrow j + p\overrightarrow k$và do đó điểm$C$ có tọa độ là$\left( {m;n;p} \right)$

Mặt khác, đỉnh$C$ có tọa độ là $\left( { - 3;4; - 6} \right)$nên tức là $m = - 3,n = 4,p = - 6,$ tức là $\overrightarrow {OD'} = - 3\overrightarrow i ,\overrightarrow {OB'} = 4\overrightarrow j ,\overrightarrow {OA} = - 6\overrightarrow k$

Từ đây suy ra $D'\left( { - 3;0;0} \right),B'\left( {0;4;0} \right)$và $A\left( {0;0; - 6} \right)$

Ta có

$\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A}} \right) = \left( { - 2 - 1;0 - \left( { - 2} \right);1 - 3} \right) = \left( { - 3;2; - 2} \right),\\\overrightarrow {AA'} = \left( {{x_{A'}} - {x_A};{y_{A'}} - {y_A};{z_{A'}} - {z_A}} \right) = \left( {3 - 1;2 - \left( { - 2} \right);2 - 3} \right) = \left( {2;4; - 1} \right).\end{array}$

* Gọi tọa độ của điểm $B'$là $\left( {x;y;z} \right)$thì $\overrightarrow {BB'} = \left( {x + 2;y;z - 1} \right)$vì $ABC.A'B'C'$là hình lăng trị nên $ABB'A'$là hình bình hành, suy ra$\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {BB'} .$

Do đó $\left\{ \begin{array}{l}x + 2 = 2\\y = 4\\z - 1 = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 4\\z = 0\end{array} \right.$. Vậy $B'\left( {0;4;0} \right).$

* Gọi tọa độ của điểm $C$là $\left( {{x_C};{y_C};{z_C}} \right)$thì $\overrightarrow {CC'} = \left( {4 - {x_C};3 - {y_C}; - 2 - {z_C}} \right)$vì $ABC.A'B'C'$ là hình lăng trị nên $ACC'A'$ là hình bình hành, suy ra$\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {CC'} .$

Do đó $\left\{ \begin{array}{l}4 - {x_C} = 2\\3 - {y_C} = 4\\ - 2 - {z_C} = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = - 2\\{y_C} = - 1\\{z_C} = - 1\end{array} \right.$. Vậy $C'\left( { - 2; - 1; - 1} \right).$

Đáp số: $C'\left( {2;2;2} \right)$.

Ta có:$A\left( {0;0;0} \right),B\left( {2;0;0} \right);D\left( {0;2;0} \right);A'\left( {0;0;2} \right)$

$\Rightarrow C\left( {2;2;0} \right);B'\left( {2;0;2} \right);D'\left( {0;2;2} \right);C'\left( {2;2;2} \right).$

Đáp số: $887{,}5$

Thể tích viên gạch không tính bốn lỗ hình trụ là: ${V_1} = 8.8.20 = 1280(c{m^2})$

Thể tích bốn lỗ hình trụ là: ${V_2} = 4.\pi .{\left( {\frac{{2{,}5}}{2}} \right)^2}.20 = 392.5(c{m^2})$

Thể tích viên gạch viên gạch là: ${V_1} - {V_2} = 1280 - 392.5 = 887.5(c{m^2}).$

Đáp số: $3{,}09$ .

$\overrightarrow {BC} = \left( {1; - 1;3} \right)$;$\overrightarrow {BH} \left( {{x_0};{y_0} - 2;{z_0}} \right)$

Vì $B,C,H$ thẳng hàng nên $\overrightarrow {BH} = t\overrightarrow {BC}$, $t \in R$. Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = t\\{y_0} - 2 = - t\\{z_0} = 3t\end{array} \right.$ $\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$.

Nên $H\left( {t;2 - t;3t} \right) \in BC$.

Khi đó: $\overrightarrow {AH} = \left( {t - 2;2 - t;3t} \right)$.

Mà $H$ là chân đường cao hạ từ đỉnh $A$ xuống $BC$ nên

$\overrightarrow {AH} \bot \overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0 \Leftrightarrow t - 2 - 2 + t + 9t = 0$$\Leftrightarrow t = \frac{4}{{11}}$.

$\Rightarrow H\left( {\frac{4}{{11}};\frac{{18}}{{11}};\frac{{12}}{{11}}} \right) \Rightarrow$${x_0} + {y_0} + {z_0} = \frac{{34}}{{11}} \approx 3{,}09$.

Đáp số: 3

Chọn hệ trục toạ độ $Oxyz$ với gốc $O$ đặt tại điểm xuất phát của hai khinh khí cầu, mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ trùng với mặt đất với trục $Ox$ hướng về phía nam, trục $Oy$ hướng về phía đông và trục ${\rm{Oz}}$ hướng thẳng đứng lên trời (tham khảo hình vẽ), đơn vị đo lấy theo kilômét.

Chiếc khinh khí cầu thứ nhất và thứ hai ở vị trí $A,B$. Ta có $A\left( {\frac{5}{2};2;\frac{4}{5}} \right),B\left( { - \frac{3}{2}; - 3;\frac{3}{5}} \right)$.

Gọi $C$ là điểm đối xứng của $A$ qua mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$, $C\left( {\frac{5}{2};2; - \frac{4}{5}} \right)$. Khi đó $I = BC \cap \left( {Oxy} \right)$.

$\overrightarrow {BC} = \left( {4;5; - \frac{7}{5}} \right)$. $I \in \left( {Oxy} \right) \Rightarrow I\left( {x;y;0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {BI} = \left( {x + \frac{3}{2};y + 3; - \frac{3}{5}} \right)$

$\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BI}$ cùng phương nên $\frac{{x + \frac{3}{2}}}{4} = \frac{{y + 3}}{5} = \frac{3}{7} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{3}{{14}}\\y = - \frac{6}{7}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{3}{{14}}\\b = \frac{6}{7}\end{array} \right. \Rightarrow 2a + 3b = 3$.