Đề kiểm tra Hệ thức lượng trong tam giác lớp 10 (có lời giải) - Đề 3

Chọn C

Ta có ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}a.b.\sin C = \frac{1}{2}.2.6.\sin {135^{\rm{o}}} = 3\sqrt 2$.

Chọn A

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ta có $\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{5}{7}$.

Chọn A

Ta có: $\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}$ $= \frac{{{6^2} + {5^2} - {7^2}}}{{2.6.5}} = \frac{1}{5}$.

Chọn B

Nửa chu vi của tam giác đã cho là $p = \frac{{9 + 10 + 11}}{2} = 15$.

Diện tích của tam giác đã cho là $S = \sqrt {p\left( {p - 9} \right)\left( {p - 10} \right)\left( {p - 11} \right)} = 30\sqrt 2$.

Chọn D

Áp dụng định lý cosin trong tam giác $ABC$, ta có:

$A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AB\,.\,BC\,\,.\,\,\cos B = 2 + 9 - 2\,.\,\sqrt 2 \,.\,3\,.\,\cos {135^0} = 17$.

Suy ra $AC = \sqrt {17}$.

Chọn C

Ta có $\frac{a}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow R = \frac{a}{{2\sin A}} = \frac{{10}}{{2.\sin {{30}^0}}} = 10$.

Ta có: Nửa chu vi $\Delta ABC$: $p = \frac{{a + b + c}}{2}$.

Áp dụng công thức Hê-rông: $S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} = \sqrt {12(12 - 6)(12 - 8)(12 - 10)} = 24$.

Chọn B

Ta có $\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{AC}}{{\sin B}} \Rightarrow \frac{6}{{\frac{3}{4}\sin B}} = \frac{{AC}}{{\sin B}} \Rightarrow AC = 8$.

Và $\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AC}}{{\sin B}} \Rightarrow \frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{8}{{\frac{2}{3}\sin A}} \Rightarrow BC = 12$.

Chu vi tam giác $C = AB + BC + CA = 26$.

Ta có: Trong tam giác $ABC$: $\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0} \Rightarrow \widehat C = {180^0} - {68^0}12' - {34^0}44' = {77^0}4'$.

Mặt khác $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} \Rightarrow \frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} \Rightarrow AC = \frac{{AB.\sin B}}{{\sin C}} = \frac{{117.\sin {{34}^0}44'}}{{\sin {{77}^0}4'}} \simeq 68\,.$

Ta có: $A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2.AB.BC.c{\rm{os}}\widehat {ABC} = 4 + 9 - 2.2.3.c{\rm{os60}}^\circ = 13 - 6 = 7$.

Suy ra $AC = \sqrt 7$.

Chu vi tam giác $ABC$ là $AB + AC + BC = 2 + 3 + \sqrt 7$.

Diện tích tam giác $ABC$ là ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.BC.\sin \widehat {ABC} = \frac{1}{2}.2.3.\sin 60^\circ = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}$.

Chọn A

Ta có: $\widehat {CIK} = \widehat {CAH} = 30^\circ ;\widehat {BAC} = 60^\circ$; $\widehat {BIC} = 180^\circ - \widehat {CIK} = 150^\circ$.

$\widehat {BCA} = \widehat {BCI} = 180^\circ - \widehat {CBK} - \widehat {BIC} = 14^\circ 30'$.

Trong tam giác $ABC$ ta có: $\frac{{AB}}{{\sin \widehat {BCA}}} = \frac{{BC}}{{\sin \widehat {BAC}}} \Rightarrow BC = \frac{{AB.\sin \widehat {BAC}}}{{\sin \widehat {BCA}}}$.

Trong tam giác $BCK$ ta có: $CK = BC\sin \widehat {CBK} = \frac{{AB.\sin \widehat {BAC}.\sin \widehat {CBK}}}{{\sin \widehat {BCA}}}$.

Vậy đường cao khối chóp là: $CH = CK + KH = CK + AB = \frac{{AB.\sin \widehat {BAC}.\sin \widehat {CBK}}}{{\sin \widehat {BCA}}} + AB \approx 135m$.

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Sai

Áp dụng định lí cosin trong tam giác, ta có: ${c}^{2}={a}^{2}+{b}^{2}-2ab\cos C$ hay ${c}^{2}={3}^{2}+{4}^{2}-2\cdot 3\cdot 4\cdot \cos {30}^{^{\circ}}=25-12\sqrt{3}$. Do đó, $c \approx 2{,}05(\;cm)$.

Ta có ${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A \Rightarrow \cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{{4^2} + {{(25 - 12\sqrt 3 )}^2} - {3^2}}}{{2 \cdot 4 \cdot \sqrt {25 - 12\sqrt 3 } }} \approx 0{,}68$.

Suy ra $\widehat{A}\approx 47,{2}^{^{\circ}}$. Do đó, $\widehat{B}={180}^{^{\circ}}-\widehat{A}-\widehat{C}={180}^{^{\circ}}-47,{2}^{^{\circ}}-{30}^{^{\circ}}=102,{8}^{^{\circ}}$

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

a) Áp dụng định lí côsin trong tam giác $ABC$, ta có: $\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}$.

b) Góc $A$ vuông khi và chỉ khi ${a^2} = {b^2} + {c^2}$;

c) Góc $A$ nhọn khi và chỉ khi $\cos A > 0$ hay ${b^2} + {c^2} - {a^2} > 0 \Leftrightarrow {a^2} < {b^2} + {c^2}$.

d) Góc $A$ tù khi và chỉ khi $\cos A < 0$ hay ${b^2} + {c^2} - {a^2} < 0 \Leftrightarrow {a^2} > {b^2} + {c^2}$.

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

$\begin{matrix}\text{Ta có:}\widehat{B}={180}^{^{\circ}}-(\widehat{A}+\widehat{C})={180}^{^{\circ}}-({135}^{^{\circ}}+{15}^{^{\circ}})={30}^{^{\circ}}\text{.} \\ \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\Leftrightarrow \frac{a}{\sin {135}^{^{\circ}}}=\frac{12}{\sin {30}^{^{\circ}}}=\frac{c}{\sin {15}^{^{\circ}}}=2R \\ a=\frac{12\cdot \sin {135}^{^{\circ}}}{\sin {30}^{^{\circ}}}=12\sqrt{2};\ c=\frac{12\cdot \sin {15}^{^{\circ}}}{\sin {30}^{^{\circ}}}\approx 6{,}21;\ R=\frac{12}{2\sin {30}^{^{\circ}}}=12.\end{matrix}$

a) Đúng

b) Đúng

c) Đúng

d) Đúng

a) $\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}};\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}$. $VP = b\cos C + c\cos B = b \cdot \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} + c \cdot \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}$ $= \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2a}} + \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2a}} = \frac{{2{a^2}}}{{2a}} = a = VP(dpcm)$.

b) $\sin B = \frac{b}{{2R}};\sin C = \frac{c}{{2R}}$ $VP = \sin B\cos C + \sin C\cos B = \frac{b}{{2R}} \cdot \cos C + \frac{c}{{2R}} \cdot \cos B = \frac{1}{{2R}}(b\cos C + c\cos B)$

(mà $a = b\cos C + c\cos B$, chứng minh câu $a). = \frac{1}{{2R}} \cdot a = VP(dpcm)$.

c) $S = \frac{1}{2}a \cdot {h_a} = \frac{1}{2}bc\sin A$ $\Rightarrow {h_a} = \frac{{bc\sin A}}{a} = \frac{{2R\sin B \cdot 2R\sin C \cdot \sin A}}{{2R\sin A}} = 2R\sin B\sin C = VP(dp\;cm)$.

d) $a(b\cos C - c\cos B) = ab \cdot \cos C - ac \cdot \cos B = ab \cdot \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} - ac \cdot \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}$ $= \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{2} - \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{2} = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2} - {a^2} - {c^2} + {b^2}}}{2} = {b^2} - {c^2}$.

Xét $\Delta ABC$:

$\cos B = \frac{{{c^2} + {a^2} - {b^2}}}{{2ca}} = \frac{{83}}{{160}} \cdot A{M^2} = A{B^2} + B{M^2} - 2AB \cdot BM \cdot \cos B$

$= {8^2} + {7^2} - 2.8.7 \cdot \frac{{83}}{{160}} = \frac{{549}}{{10}} \Rightarrow AM = \frac{{3\sqrt {610} }}{{10}}$.

$BC=\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}-2AB\cdot AC\cdot \cos {60}^{^{\circ}}}=7;{S}_{ΔABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin \widehat{BAC}=10\sqrt{3}$

${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AH \cdot BC \Leftrightarrow 10\sqrt 3 = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot AH \Leftrightarrow AH = \frac{{20\sqrt 3 }}{7}.$

$S=\frac{1}{2}ab\sin C\Rightarrow \sin C=\frac{2S}{ab}=\frac{2.3\sqrt{3}}{3.4}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \widehat{C}={60}^{^{\circ}}$

$c=\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}-2ab\cos C}=\sqrt{13};\frac{c}{\sin C}=2R\Rightarrow R=\frac{c}{2\sin C}=\frac{\sqrt{13}}{2\sin {60}^{^{\circ}}}=\frac{\sqrt{39}}{3}\text{.}$

Kẻ $AK \bot BN;{A^\prime }H \bot BN$.

Gọi ${A^\prime }$ đối xứng với $A$ qua $MN,D$ là trung của $NB$.

$T = CA + CB = C{A^\prime } + CB \ge {A^\prime }B$ (không đổi). Đẳng thức xảy ra khi $\{ C\} = MN \cap {A^\prime }B$.

$MN = AK = {A^\prime }H = \sqrt {A{B^2} - K{B^2}} = \sqrt {{{(3\sqrt {37} )}^2} - {3^2}} = 18\;km.$

Vậy ${A^\prime }B = \sqrt {{A^\prime }{H^2} + H{B^2}} = \sqrt {{{18}^2} + {9^2}} = 9\sqrt 5 \simeq 20{,}12\;km$.

Sau 2 giờ tàu $B$ đi được 40 hải lí, tàu $C$ đi được 30 hải lí.

Vậy tam giác $ABC$ có $AB = 40,AC = 30$ và $\widehat{A}={60}^{^{\circ}}$.

Áp dụng định lí cô-sin vào tam giác $ABC$, ta có:

$\begin{matrix}{a}^{2} & ={b}^{2}+{c}^{2}-2bc\cdot \cos A \\ & ={30}^{2}+{40}^{2}-2\cdot 30\cdot 40\cdot \cos {60}^{^{\circ}}=1300 \\ & \Rightarrow a\approx 36.\end{matrix}$

Vậy sau 2 giờ hai tàu cách nhau khoảng 36 hải lí.

Ta có: $\widehat{C}={180}^{^{\circ}}-\widehat{A}-\widehat{B}={65}^{^{\circ}}$

Áp dụng định lí sin vào tam giác $ABC$ ta có

$\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}\Rightarrow AC=\frac{AB\cdot \sin B}{\sin C}=\frac{40\cdot \sin {70}^{^{\circ}}}{\sin {65}^{^{\circ}}}\approx 41{,}47m\text{.}$

Vậy khoảng cách giữa $A$ và $C$ khoảng $41{,}47m$.