Đề kiểm tra Hệ thức lượng trong tam giác lớp 10 (có lời giải) - Đề 2

Chọn C

Ta có ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}b.c.\sin \widehat A = \frac{1}{2}.10.20.\sin 60^\circ = 50\sqrt 3$.

Chọn B

Theo định lý cosin: $A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2.AB.BC.\cos B$$= 2 + 9 - 2.\sqrt 2 .3.\cos {135^0} = 17$

$\Rightarrow AC = \sqrt {17}$.

Chọn B

Ta có: $A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AB.BC.\cos \widehat {ABC} = {8^2} + {9^2} - 2.9.8.\frac{1}{2} = 73 = > AC = \sqrt {73}$

Chọn D

Theo định lí cosin ta có: $A{B^2} = B{C^2} + A{C^2} - 2BC.AC.\cos C = {12^2} + {15^2} - 2.12.15.\cos 60^\circ = 189$

$\Rightarrow AB = 3\sqrt {21}$.

Chọn B

Áp dụng định lí cô-sin cho tam giác $ABC$ ta có ${c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab.\cos C$

Mặt khác theo giả thiết ${c^2} = {a^2} + {b^2} + ab$

Do đó ta được ${c^2} = {a^2} + {b^2} + ab = {a^2} + {b^2} - 2abc{\rm{osC }} \Leftrightarrow c{\rm{osC = - }}\frac{1}{2} \Leftrightarrow C = {120^0}$

Chọn B

Ta có $\widehat{C}={180}^{^{\circ}}-(\widehat{A}+\widehat{B})={80}^{^{\circ}}.$

Áp dụng định lí $\sin$ta có $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}\Leftrightarrow BC=\frac{AB\sin A}{\sin C}=\frac{5.\sin {30}^{^{\circ}}}{\sin {80}^{^{\circ}}}\approx 2{,}5.$

Vậy $BC = 2{,}5.$.

Chọn A

$$\widehat {C\,} = 180^\circ - \left( {40^\circ + 60^\circ } \right) = 80^\circ .$$

Áp đụng định lý sin vào $\Delta ABC$:

$\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{BC}}{{\sin A}} \Rightarrow BC = \frac{{AB}}{{\sin C}}.\sin A = \frac{5}{{\sin 80^\circ }}.\sin 40^\circ = 3{,}26.$.

Chọn A

Áp dụng định lý sin ta có $\frac{{BC}}{{\sin \widehat {BAC}}} = 2R \Leftrightarrow R = \frac{5}{{2.\sin {{30}^ \circ }}} = 5$.

Chọn A

Ta có $\frac{5}{{\sin A}} = \frac{4}{{\sin B}} = \frac{3}{{\sin C}} \Leftrightarrow \frac{{10}}{{\sin A}} = \frac{8}{{\sin B}} = \frac{6}{{\sin C}} \Leftrightarrow \frac{a}{{\sin A}} = \frac{8}{{\sin B}} = \frac{6}{{\sin C}}$.

Theo định lý sin trong tam giác ta tính được $b = 8,c = 6$.

Chu vi tam giác là $a + b + c = 24$.

Theo công thức tính độ dài đường trung tuyến;ta có: $B{M^2} = \frac{{B{A^2} + B{C^2}}}{2} - \frac{{A{C^2}}}{4} \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {13} } \right)^2} = \frac{{{3^2} + {5^2}}}{2} - \frac{{A{C^2}}}{4} \Leftrightarrow AC = 4$.

Chọn D

Gọi ${h_1},{h_2}$ lần lượt là độ dài cạnh đối diện góc ${45^0},\,{10^0}$.

${h_1} = 10m$( do tam giác vuông cân).

${h_2} = 10.\tan {10^0} \approx 1{,}76m$.

$h = {h_1} + {h_2} \approx 11{,}76m$.

Chọn D

Từ giả thiết, ta suy ra tam giác $ABC$ có $\widehat {CAB} = {60^0}$, $\widehat {ABC} = {105^0}30'$và $AB = 70.$

Khi đó$\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0} \Leftrightarrow \widehat C = {180^0} - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = {180^0} - {165^0}30' = {14^0}30'$.

Theo định lí sin, ta có $\frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}}$ hay $\frac{{AC}}{{\sin {{105}^0}30'}} = \frac{{70}}{{\sin {{14}^0}30'}}$

Do đó $AC = \frac{{70.\sin {{105}^0}30'}}{{\sin {{14}^0}30'}} \approx 269{,}4\,{\rm{m}}$.

Gọi $CH$ là khoảng cách từ $C$đến mặt đất. Tam giác vuông $ACH$ có cạnh $CH$ đối diện với góc ${30^0}$ nên $CH = \frac{{AC}}{2} = \frac{{269{,}4}}{2} = 134{,}7\,{\rm{m}}$.

Vậy ngọn núi cao khoảng $135m$.

a) Sai

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

Áp dụng định lí cosin trong tam giác, ta có: ${a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}-2bc\cos A\Rightarrow {a}^{2}={7}^{2}+{5}^{2}-2\cdot 7\cdot 5\cdot \cos {120}^{^{\circ}}=109.$

Do đó, $a = \sqrt {109} \;cm$.

Ta có ${b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac\cos B \Rightarrow \cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} = \frac{{109 + {5^2} - {7^2}}}{{2\sqrt {109} .5}} \approx 0{,}81$.

Tương tự, $\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} = \frac{{109 + {7^2} - {5^2}}}{{2\sqrt {109} .7}} \approx 0{,}91$.

Áp dụng định lí sin trong tam giác, ta có:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$ nên $R=\frac{a}{2\cdot \sin A}=\frac{\sqrt{109}}{2\cdot \sin {120}^{^{\circ}}}\approx 6{,}03(cm)$

a) Đúng

b) Sai

c) Sai

d) Đúng

Theo hệ quả định lí $\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}$

$= \frac{{{{85}^2} + {{54}^2} - 52,{1^2}}}{{2.85.54}} \approx 0{,}81 \Rightarrow A \approx {36^0};$

$\cos B=\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}=\frac{52,{1}^{2}+{54}^{2}-{85}^{2}}{2.52{,}1.54}\approx -0{,}28\Rightarrow \widehat{B}\approx {106}^{^{\circ}}$

$\widehat{C}={180}^{^{\circ}}-(\widehat{A}+\widehat{B})\approx {38}^{^{\circ}}\text{.}$

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

Ta có: ${\sin ^2}A = 1 - {\cos ^2}A = \frac{{16}}{{25}} \Rightarrow \sin A = \frac{4}{5}$ (vì $\sin A > 0$).

$S = \frac{1}{2}bc\sin A = 14$

${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A = {7^2} + {5^2} - 2.7 \cdot 5 \cdot \frac{3}{5} = 32 \Rightarrow a = 4\sqrt 2$. $\frac{a}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow R = \frac{a}{{2 \cdot \sin A}} = \frac{{5\sqrt 2 }}{2};p = \frac{{a + b + c}}{2} = 6 + 2\sqrt 2$

$S = pr \Rightarrow r = \frac{S}{p} = \frac{{14}}{{6 + 2\sqrt 2 }} = 3 - \sqrt 2$.

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

Ta có: $S = \frac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \sin A \Rightarrow \sin A = \frac{{2S}}{{AB \cdot AC}} = \frac{{2 \cdot 3\sqrt 3 }}{{3 \cdot 4}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$. ${\cos ^2}A = 1 - {\sin ^2}A = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\cos A = \frac{1}{2}}\\{\cos A = - \frac{1}{2}}\end{array};B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB \cdot AC \cdot \cos A} \right.$.

Với $\cos A = \frac{1}{2}:B{C^2} = {3^2} + {4^2} - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = 13 \Rightarrow BC = \sqrt {13}$.

Với $\cos A = - \frac{1}{2}:B{C^2} = {3^2} + {4^2} - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) = 37 \Rightarrow BC = \sqrt {37}$.

Ta có:

$m_a^2 = \frac{{2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - {a^2}}}{4} = \frac{{2\left( {{8^2} + {6^2}} \right) - {7^2}}}{4} = \frac{{151}}{4} \Rightarrow {m_a} = \frac{{\sqrt {151} }}{2}.$

Ta có: $A{M^2} = \frac{{A{B^2} + A{C^2}}}{2} - \frac{{B{C^2}}}{4}$

$\Rightarrow B{C^2} = 4\left( {\frac{{A{B^2} + A{C^2}}}{2} - A{M^2}} \right) = 4\left( {\frac{{{4^2} + {{10}^2}}}{2} - {6^2}} \right) = 88 \Rightarrow BC = 2\sqrt {22} .$

Ta có: $\widehat{{C}_{1}D{A}_{1}}={90}^{^{\circ}}-{49}^{^{\circ}}={41}^{^{\circ}};\widehat{{C}_{1}D{B}_{1}}={90}^{^{\circ}}-{35}^{^{\circ}}={55}^{^{\circ}}$, nên $\widehat{{A}_{1}D{B}_{1}}={14}^{^{\circ}}$.

Xét tam giác ${A_1}D{B_1}$, có: $\frac{{A}_{1}{B}_{1}}{\sin \widehat{{A}_{1}D{B}_{1}}}=\frac{{A}_{1}D}{\sin \widehat{{A}_{1}{B}_{1}D}}\Rightarrow {A}_{1}D=\frac{12\cdot \sin {35}^{^{\circ}}}{\sin {14}^{^{\circ}}}\approx 28{,}45m$

Xét tam giác ${C_1}{A_1}D$ vuông tại ${C_1}$, có:

$\begin{matrix}\sin \widehat{{C}_{1}{A}_{1}D}=\frac{{C}_{1}D}{{A}_{1}D}\Rightarrow {C}_{1}D={A}_{1}D\cdot \sin {C}_{1}{A}_{1}D=28{,}45\cdot \sin {49}^{^{\circ}}\approx 21{,}47m \\ \Rightarrow CD={C}_{1}D+C{C}_{1}\approx 22{,}77m.\end{matrix}$

$\widehat{ACB}={120}^{^{\circ}};\widehat{ABC}={30}^{^{\circ}}\Rightarrow \widehat{BAC}={30}^{^{\circ}}$. Nên $\Delta ABC$ cân tại $C \Rightarrow AC = BC = 100$

Trong tam giác vuông $AHC:\sin \widehat{ACH}=\frac{AH}{AC}\Leftrightarrow AH=AC\cdot \sin {30}^{^{\circ}}=50m$

Ta có quãng đường tàu thứ nhất đi được là ${s_1} = {v_1}t = 20.3 = 60(\;km)$.

Quãng đường tàu thứ hai đi được là ${s_2} = {v_2}t = 30.3 = 90(\;km)$.

$\Delta ABC$ với $B$ là vị trí tàu thứ nhất chạy đến sau 3 giờ, nghĩa là $AB = {s_1} = 60\;km;C$là vị trí tàu thứ hai chạy đến sau 3 giờ, nghĩa là $AC = {s_2} = 90\;km$

$B{C}^{2}=A{B}^{2}+A{C}^{2}-2AB\cdot AC\cdot \cos \widehat{BAC}\Leftrightarrow B{C}^{2}={60}^{2}+{90}^{2}-2\cdot 60\cdot 90\cdot \cos {60}^{^{\circ}}$

$\Leftrightarrow B{C^2} = 6300$. Vậy khoảng cách hai tàu sau 3 giờ chạy là $BC = 30\sqrt 7$.