Đề kiểm tra Hàm số mũ. Hàm số lôgarit (có lời giải) - Đề 3

Ta có ${\log _3}\left( {\frac{{3{a^3}}}{{{b^2}}}} \right) = {\log _3}\left( {3{a^3}} \right) - {\log _3}{b^2}$ ${\log _3}\left( {\frac{{3{a^3}}}{{{b^2}}}} \right) = 1 + \frac{1}{3}{\log _3}a - 2{\log _3}\left| b \right|$.

$= {\log _3}3 + {\log _3}{a^3} - {\log _3}b$ $= 1 + 3{\log _3}a - 2{\log _3}\left| b \right|$.

Cách 1: $\log 9000 = \log 9 + \log 1000 = 2\log 3 + 3 = 2a + 3$.

Cách 2: Gán $\log 3 = a$. Tính $\log 9000 - \left( {2a + 3} \right) = 0$.

Loại kì hạn $12$ tháng:

Số tiền có được sau 1 năm: ${120.10^6} + {120.10^6}.0{,}125 = {120.10^6}.\left( {1 + 0{,}125} \right)$

Số tiền có được sau 2 năm: ${120.10^6}.\left( {1 + 0{,}125} \right) + {120.10^6}.\left( {1 + 0{,}125} \right).0{,}125 = {120.10^6}.{\left( {1 + 0{,}125} \right)^2}$

Tương tự vậy số tiền có được sau $12$ năm: ${120.10^6}.{\left( {1 + 0{,}125} \right)^{12}} \approx 493186000$ đồng

Loại kì hạn 1 tháng ($12$ năm là $144$ tháng): Số tiền có được sau $12$ năm: ${120.10^6}.{\left( {1 + 0{,}01} \right)^{144}} \approx 502873000$

Vậy số tiền gửi theo kì hạn 1 tháng nhiều hơn kì hạn năm: $502873000 - 493186000 = 9687000$ đồng

Số tiền còn lại sau 1 tháng: ${600.10^6} + {600.10^6}.0{,}8\% - {10.10^6}$

Khi đó ta có thể gọi số tiền vay là $A$, lãi suất là $r$, số tiền trả mỗi cuối tháng là $m$ và $n$ là số tháng để trả hết tiền.

Vậy số tiền còn nợ cuối tháng 1: $A + Ar - m = A\left( {1 + r} \right) - m$

Số tiền còn nợ cuối tháng 2: $A\left( {1 + r} \right) - m + \left[ {A\left( {1 + r} \right) - m} \right]r - m = A{\left( {1 + r} \right)^2} - \frac{m}{r}\left[ {{{\left( {1 + r} \right)}^2} - 1} \right]$

Số tiền còn nợ cuối tháng $n$: $A{\left( {1 + r} \right)^n} - \frac{m}{r}\left[ {{{\left( {1 + r} \right)}^n} - 1} \right]$

Có nghĩa là khi trả hết tiền thì: $A{\left( {1 + r} \right)^n} - \frac{m}{r}\left[ {{{\left( {1 + r} \right)}^n} - 1} \right] = 0 \Leftrightarrow {600.10^6}\left( {1 + 0.8\% } \right) - \frac{{{{10.10}^6}}}{{0{,}8}}\left[ {{{\left( {1 + 0{,}8\% } \right)}^n} - 1} \right] = 0$

$\Leftrightarrow {\left( {1 + 0{,}8\% } \right)^n} = 1{,}48384 \Rightarrow n = {\log _{1 + 0{,}8\% }}1{,}48384 \approx 49{,}5$

Vậy sau $50$ tháng thì ông B trả hết nợ.

a) Đúng

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

a) Hàm số $y = {2^x}$ xác định với mọi $x \in \mathbb{R}$ nên có tập xác định $D = \mathbb{R}$.

b) Vì mỗi hàm số ${\left( {\frac{1}{3}} \right)^x},{e^x}$ đều xác định với mọi $x \in \mathbb{R}$ nên hàm số $y = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x} + 2{e^x}$ có tập xác định $D = \mathbb{R}$.

c) Hàm số xác định khi và chỉ khi $x - 3{x^2} > 0 \Leftrightarrow 0 < x < \frac{1}{3}$.

Tập xác định hàm số là $D = \left( {0;\frac{1}{3}} \right)$.

d) Hàm số xác định khi và chỉ khi $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{x^2} > 0}\\{x + 2 > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x \ne 0}\\{x > - 2}\end{array}} \right.} \right.$.

Tập xác định hàm số là $D = ( - 2; + \infty )\backslash \{ 0\}$.

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

Xét hàm số $y = {2^x}$. Ta có bảng giá trị:

Đồ thị hàm số $y = {2^x}$ :

a) Sai

b) Đúng

c) Đúng

d) Đúng

Xét hàm số $y = {\log _{0{,}5}}x$. Ta có bảng giá trị:

a) Đúng

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

a) Do $\frac{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}{3} > 1$ nên hàm số $y = {\left( {\frac{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}{3}} \right)^x}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

b) Do $2 > 1$ nên hàm số $y = {\log _2}x$ đồng biến trên khoảng $(0; + \infty )$.

c) Do $\frac{e}{\pi } < 1$ nên hàm số $y = {\left( {\frac{e}{\pi }} \right)^x}$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

d) Có $y = \log \frac{1}{x} = {\log _{\frac{1}{{10}}}}x$ và $\frac{1}{{10}} < 1$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng $(0; + \infty )$.

Hàm số $y = {\log _2}\left( {3 - 2x} \right)$xác định khi $3 - 2x > 0 \Leftrightarrow x < \frac{3}{2}$.

Vậy hàm số có tập xác định $D = \left( { - \infty ;\frac{3}{2}} \right)$

Hàm số đã cho xác định $\Leftrightarrow \ln \left( {{x^2} + mx + 1} \right) \ge 0$$\Leftrightarrow {x^2} + mx + 1 \ge 1$$\Leftrightarrow {x^2} + mx \ge 0$.

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow {x^2} + mx \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}$$\Leftrightarrow \Delta = {m^2} - 4.1.0 \le 0$$\Leftrightarrow {m^2} \le 0$$\Leftrightarrow m = 0$.

Hàm số xác định với mọi $x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow {x^2} - 2mx + 9 > 0,\forall x \in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow \Delta ' < 0 \Leftrightarrow {m^2} - 9 < 0 \Leftrightarrow - 3 < m < 3$.

Trận động đất ở San Francisco có cường độ 8 độ Richter, tức là $8 = \log {I_1} - \log {I_0}$với ${I_1}$ là biên độ của trận động đất ở San Francisco.

Trận động đất ở Thổ Nhĩ Kỳ có cường độ $7{,}8$ độ Richter, tức là $7{,}8 = \log {I_2} - \log {I_0}$với ${I_2}$ là biên độ của trận động đất ở Thổ Nhĩ Kỳ. Từ sđó ta có

$0{,}2 = \log {I_1} - \log {I_2} \Leftrightarrow \log \frac{{{I_1}}}{{{I_2}}} = 0{,}2 \Leftrightarrow \frac{{{I_1}}}{{{I_2}}} = {10^{0{,}2}} \approx 1{,}58.$

Vậy trận động đất ở San Francisco có biên độ gấp $1{,}58$ lần biên độ trận động đất ở Thổ Nhĩ Kỳ.

Ở độ cao $1000\,{\rm{m}}$ thì áp suất của không khí là $672{,}71\,{\rm{mmHg}}$nên

$672{,}71 = 760.{e^{1000i}}$$\Leftrightarrow {e^{1000i}} = \frac{{672{,}71}}{{760}} \Leftrightarrow i = \frac{1}{{1000}}\ln \frac{{672{,}71}}{{760}}$.

Áp suất không khí trên đỉnh Phanxipăng ở độ cao $3143\,{\rm{m}}$là $P = 760.{e^{\frac{{3143}}{{1000}}\ln \frac{{672{,}71}}{{760}}}}$

$\Rightarrow P \approx$517,94 mmHg.

Dân số thế giới sau 1 năm tính từ năm 2020 là $7{,}795.{\left( {1 + 1{,}05\% } \right)^1} = 7{,}795.1,{0105^1}$ tỉ người.

Dân số thế giới sau 2 năm tính từ năm 2020 là $7{,}795.1{,}0105.{\left( {1 + 1{,}05\% } \right)^1} = 7{,}795.1,{0105^2}$ tỉ người.

….

Dân số thế giới sau $t$ năm tính từ năm 2020 là $P\left( t \right) = 7{,}795.1,{0105^t}$ tỉ người.

Giả sử sau ít nhất $t$ năm tính từ năm 2020 thì dân số thế giới đạt $10$ tỉ người.

Khi đó $7{,}795.1,{0105^t} = 10 \Leftrightarrow t \approx 23{,}85$.

Do đó sau ít nhất $24$ năm thì dân số thế giới đạt $10$ tỉ người.

Vậy đến năm $2020 + 24 = 2044$ dân số đạt $10$ tỉ người.