Đề kiểm tra Hàm số mũ. Hàm số lôgarit (có lời giải) - Đề 2

Hàm số $y = {\log _2}\left( {x - 3} \right)$có nghĩa khi: $x - 3 > 0 \Leftrightarrow x > 3$

Tập xác định của hàm số là: $\left( {3\,;\, + \infty } \right)$.

Hàm số $y = {\left( {\sqrt 5 } \right)^x}$có nghĩa $\forall x \in \mathbb{R}$.

Tập xác định của hàm số là: $\left( { - \infty \,;\, + \infty } \right)$.

Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ nên loại đáp án A, C.

Đồ thị hàm số đi qua điểm $A\left( {0;1} \right)$ nên chọn đáp án B

Hàm số đồng biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$ nên loại đáp án B, D

Đồ thị hàm số đi qua điểm $A\left( {1;0} \right)$ nên chọn đáp án C

Lấy năm $2023$ làm mốc, khi đó $A = 1282000$. Giả sử sau $n$ năm thì dân số thành phố Cần Thơ đạt hơn $1500000$, tức là $1500000 = 1282000.{e^{0{,}0103n}} \Rightarrow {e^{0{,}0103n}} = \frac{{750}}{{641}} \Rightarrow 0{,}0103n = \ln \frac{{750}}{{641}} \Rightarrow n \approx 15{,}25$

Có nghĩa là theo tốc độ tăng dân số này thì sau $16$ năm dân số thành phố sẽ đạt $1500000$ người vào năm $2039$.

Tổng số tiền bạn Nam vay (gốc và lãi) sau 4 năm là:

$\begin{array}{l}A = {10^7}{(1 + 0{,}04)^4} + {10^7}{(1 + 0{,}04)^3} + {10^7}{(1 + 0{,}04)^2} + {10^7}(1 + 0{,}04)\\ = {10^7}(1 + 0{,}04){\rm{[}}1 + (1 + 0{,}04) + {(1 + 0{,}04)^2} + {(1 + 0{,}04)^3}{\rm{]}}\\ = {10^7}(1 + 0{,}04).\frac{{1 - {{(1 + 0{,}04)}^4}}}{{1 - (1 + 0{,}04)}} = 44163225{,}6\end{array}$

Nên $A \simeq 44163000$ đồng

a) Sai

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

Xét hàm số $y = {\log _4}x$.

Ta có bảng giá trị:

Đồ thị của hàm số $y = {\log _4}x$:

a) Đúng

b) Sai

c) Sai

d) Đúng

a) Xét hàm số $y = {\log _2}x$ có cơ số $2 > 1$ nên hàm số đồng biến trên khoảng $(0; + \infty )$.

Mặt khác $3 > \frac{5}{2}$ nên ${\log _2}3 > {\log _2}\frac{5}{2}$.

b) Xét hàm số $y = {\log _{\frac{1}{e}}}x$ có cơ số $\frac{1}{e} \in (0;1)$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng $(0; + \infty )$.

Mặt khác $2 > \frac{5}{4}$ nên ${\log _{\frac{1}{e}}}2 < {\log _{\frac{1}{e}}}\frac{5}{4}$.

c) Xét hàm số $y = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x}$ có cơ số $\frac{1}{3} \in (0;1)$ nên hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Mặt khác $4000 > 3999$ nên $\frac{1}{{{3^{4000}}}} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{4000}} < {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{3999}} = \frac{1}{{{3^{3999}}}}$.

d) Xét hàm số $y = {\pi ^x}$ có cơ số $\pi > 1$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Mặt khác ${n^2} > {n^2} - 1,\forall n \in \mathbb{R}$ nên ${\pi ^{{n^2}}} > {\pi ^{{n^2} - 1}}$.

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

a) Hàm số xác định khi và chỉ khi $x > 0$. Tập xác định hàm số là $D = (0; + \infty )$.

b) Hàm số xác định khi và chỉ khi $\frac{1}{{{x^2}}} > 0 \Leftrightarrow {x^2} > 0 \Leftrightarrow x \ne 0$.

Tập xác định hàm số là: $D = \mathbb{R}\backslash \{ 0\}$.

c) Hàm số xác định với mọi $x \in \mathbb{R}$. Tập xác định hàm số là $D = \mathbb{R}$.

d) Hàm số xác định khi và chỉ khi $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\log x \ne 0}\\{x > 0}\\{{x^2} - x > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x \ne 1}\\{x > 0}\\{\left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x < 0}\\{x > 1}\end{array}} \right.}\end{array} \Leftrightarrow x > 1} \right.} \right.$.

Tập xác định hàm số là $D = (1; + \infty )$.

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

a) ${a^{\sqrt 2 }} < {a^{\sqrt 3 }}$ suy ra $a > 1$

b) ${\log _b}30 < {\log _b}29{,}7$ suy ra $0 < b < 1$

c) Ta có ${a^{\frac{{\sqrt 3 }}{4}}} > {a^{\frac{{\sqrt 2 }}{3}}}$ và $\frac{{\sqrt 3 }}{4} < \frac{{\sqrt 2 }}{3}$ nên hàm số $y = {a^x}$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Vậy $0 < a < 1$.

d) Ta có ${\log _b}7 < {\log _b}2$ và $7 > 2$ nên hàm số $y = {\log _b}x$ nghịch biến trên $(0; + \infty )$. Vậy $0 < b < 1$.

Hàm số xác định trên khoảng $(2;3)$ khi và chỉ khi: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{2m + 1 - x > 0}\\{x - m > 0}\end{array},\forall x \in (2;3)} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x < 2m + 1}\\{x > m}\end{array},\forall x \in (2;3) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{m \le 2}\\{2m + 1 \ge 3}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{m \le 2}\\{m \ge 1}\end{array} \Leftrightarrow 1 \le m \le 2.} \right.} \right.} \right.$

Hàm số đã cho xác định khi $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{4 - {x^2} \ge 0}\\{2{x^2} - 5x + 2 > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{ - 2 \le x \le 2}\\{\left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x > 2}\\{x < \frac{1}{2}}\end{array}} \right.}\end{array} \Leftrightarrow - 2 \le x < \frac{1}{2}} \right.} \right.$.

Vậy $D = \left[ { - 2;\frac{1}{2}} \right)$.

Áp dụng công thức $f\left( t \right) = c\left( {1 - {e^{ - kt}}} \right)$

Sau 2 ngày, em học sinh tiếp thu được $f\left( t \right) = 25\left( {1 - {e^{ - 0{,}2.2}}} \right) \approx 8$(đơn vị kiến thức mới)

Sau 8 ngày, em học sinh tiếp thu được $f\left( t \right) = 25\left( {1 - {e^{ - 0{,}2.8}}} \right) \approx 20$(đơn vị kiến thức mới).

Lúc đầu có 300 vi khuẩn. Sau một giờ, số vi khuẩn là 705 con.

${\rm{ Ta c\'o }}\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{f(0) = 300 = C.{e^{k.0}} = C}\\{f(1) = 705 = C.{e^{k.1}} = C.{e^k}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{C = 300}\\{{e^k} = \frac{{705}}{{300}} = 2{,}35}\end{array}} \right.} \right.{\rm{. }}$Vậy $f(x) = 300 \cdot {(2{,}35)^x}$.

Số vi khuẩn có được sau 5 giờ là $f(5) = 300 \cdot {(2{,}35)^5} \approx 21501$ con.

Ta có ${T_S} = 65$ và độ chênh lệch nhiệt độ là ${D_0} = 195 - 65 = 130$

Sau nửa giờ $(t = 0{,}5)$ thì nhiệt độ của gà là $T = 150$.

Áp dụng công thức (1): $150 = 65 + 130 \cdot {e^{ - k(0{,}5)}} \Leftrightarrow {e^{ - k}} = {\left( {\frac{{17}}{{26}}} \right)^2}$.

Vậy $T(t) = 65 + 130 \cdot {\left( {\frac{{17}}{{26}}} \right)^{2t}}$.

Suy ra nhiệt độ của gà sau 60 phút $\left( {t = 1} \right.$ giờ) là $65+130\cdot {(\frac{17}{26})}^{2.1}\approx {121}^{^{\circ}}F$.