Đề kiểm tra Hàm số lượng giác lớp 11 (có lời giải) - Đề 1

Chọn D

Hàm số $y = \sin \,x$ và $y = cos\,x$ tuần hoàn với chu kì $2\pi .$

Hàm số $y = \tan \,x$ và $y = cot\,x$ tuần hoàn với chu kì $\pi .$

Nên khẳng định sai là $D.$

Chọn B

Dựa vào đường tròn lượng giác ta thấy$y = \cos x$ là hàm số nghịch biến trên $\left( {0\,;\,\pi } \right)$ nên $y = \cos x$là hàm số nghịch biến trên $\left( {\frac{\pi }{4}\,;\,\frac{{3\pi }}{4}} \right)$.

Chọn A

Với $x \in \left( {0;\frac{\pi }{4}} \right)$$\Rightarrow 2x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$$\Rightarrow y = \sin 2x$ đồng biến, $y = - 1 + \cos 2x$ nghịch biến.

Vậy cả hai hàm số $y = - \sin 2x$ và $y = - 1 + \cos 2x$ đều nghịch biến.

Chọn A

Xét hàm số $y = x.\sin x = f\left( x \right)$

$D = \mathbb{R}$

$\forall x \in D \Rightarrow - x \in D$

$f\left( { - x} \right) = \left( { - x} \right).\sin \left( { - x} \right) = x.\sin x = f\left( x \right)$

Nên $f\left( x \right)$ là hàm số chẵn.

Chọn C

Hàm số xác định $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\\sin x \ne 1\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \\x \ne \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Vậy tập xác định của hàm số là: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi \,,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Chọn A

ĐKXĐ: $\left\{ \begin{array}{l}1 - \cos x \ge 0\left( {\forall x} \right)\\\sin x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne k\pi ;k \in \mathbb{Z}$

Hàm số xác định $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - \cos x \ge 0\\\sin x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos x \le 1\\x \ne k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne k\pi \,,{\kern 1pt} \;k \in \mathbb{Z}$.

Tập xác định của hàm số $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi \,,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Chọn C

Hàm số $y = \cos x$ đồng biến trên khoảng $\left( { - \pi ;0} \right)$ và nghịch biến trên $\left( {0;\pi } \right)$.

Chọn D

Cách 1: Hàm số $y = \sin x$đồng biến trên các khoảng $\left( { - \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{\pi }{2} + k2\pi } \right)$$\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$ và nghịch biến trên các khoảng $\left( {\frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{{3\pi }}{2} + k2\pi } \right)$$\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Do đó đáp án D đúng.

Cách 2: Dùng chức năng Table(Mode 7) của MTCT để khảo sát SBT trên từng khoảng.

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Sai

Hàm số xác định $\Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi (k \in \mathbb{Z})$.

Tập xác định của hàm số: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi \mid \,k \in \mathbb{Z}} \right\}$. Với mọi $x \in D$, ta có: $- x \in D$ và $f( - x) = \tan ( - x) - ( - x) = - \tan x + x = - (\tan x - x) = - f(x)$.

Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

a) b) Tập xác định hàm số: $D = \mathbb{R}$.

Với mọi $x \in D$ thì $x \pm 2\pi \in D$ và $f(x + 2\pi ) = 2\cos (x + 2\pi ) + 1 = 2\cos x + 1 = f(x)$.

Vậy hàm số đã cho là hàm tuần hoàn.

c) d) Tập xác định hàm số: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}$.

Với mọi $x \in D$ thì $x \pm 2\pi \in D$ và $f(x + 2\pi ) = \sin (x + 2\pi ) + \tan (x + 2\pi ) = \sin x + \tan x = f(x)$.

Vậy hàm số đã cho là hàm tuần hoàn.

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Sai

a) b) Xét $y = f(x) = 3{\sin ^3}x$

Tập xác định $D = \mathbb{R}$ suy ra $\forall x \in D$ thì $- x \in D$.

Ta có: $f( - x) = 3{\sin ^3}( - x) = - 3{\sin ^3}x = - f(x)$.

Do đó hàm số đã cho là hàm số lẻ.

c) d) Xét $y = f(x) = - 5\cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)$

Tập xác định $D = \mathbb{R}$ suy ra $\forall x \in D$ thì $- x \in D$.

Ta có $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{f\left( { - \frac{\pi }{{12}}} \right) = - 5\cos \left( { - \frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{3}} \right) = - 5\cos \left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{ - 5\sqrt 3 }}{2}}\\{f\left( {\frac{\pi }{{12}}} \right) = - 5\cos \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{3}} \right) = - 5\cos \left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{f\left( { - \frac{\pi }{{12}}} \right) \ne f\left( {\frac{\pi }{{12}}} \right)}\\{f\left( { - \frac{\pi }{{12}}} \right) \ne - f\left( {\frac{\pi }{{12}}} \right)}\end{array}} \right.} \right.$.

Do đó hàm số đã cho không chẵn, không lẻ.

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

a) Hàm số xác định

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2x + \frac{\pi }{6} \ne \frac{\pi }{2} + k\pi (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow 2x \ne \frac{{2\pi }}{3} + k\pi (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{3} + k\frac{\pi }{2}(k \in \mathbb{Z})\\ \Rightarrow D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{3} + k\frac{\pi }{2}\left| {k \in \mathbb{Z}} \right|} \right\}.\end{array}$

b) Hàm số xác định $\Leftrightarrow x + \frac{\pi }{3} \ne k\pi (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow x \ne - \frac{\pi }{3} + k\pi (k \in \mathbb{Z})$

Vậy $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{\pi }{3} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}$.

c) Hàm số xác định $\Leftrightarrow \sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi (k \in \mathbb{Z}) \Rightarrow D = \mathbb{R}\backslash \{ k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.\}$.

d) Hàm số xác định

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{ c o s x \ne 0}\\{3x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi }\\{x \ne \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{3}}\end{array}(k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{3}(k \in \mathbb{Z})} \right.} \right.$

Vậy $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{3}\left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}$.

$y = 5 + 4\sin 2x\cos 2x$.

Hàm số có tập xác định $D = \mathbb{R}$.

Ta có $y = 5 + 4\sin 2x\cos 2x = 5 + 2\sin 4x$.

Do $- 1 \le \sin 4x \le 1 \Leftrightarrow - 2 \le 2\sin 4x \le 2 \Leftrightarrow 3 \le 5 + 2\sin 4x \le 7 \Leftrightarrow 3 \le y \le 7$.

Vậy giá trị của hàm số là $T = [3;7]$.

$y = f(x) = \tan x + 2\sin x$

ТXÐ: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$

Ta có: $\forall x \in D \Rightarrow - x \in D$

$\begin{array}{llllllllllllllllllll}{f( - x)}&{ = \tan ( - x) + 2\sin ( - x) = - \tan x - 2\sin x = - f(x)}\\ \Rightarrow &{f( - x) = - f(x),\forall x \in D}\end{array}$

Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ trên $D$.

$y = f(x) = 2\cos \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) - 1$.

TXD: $D = \mathbb{R}$.

Ta có: $- 1 \le \cos \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) \le 1,\forall x \in \mathbb{R}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow - 2 \le 2\cos \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) \le 2,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow - 3 \le 2\cos \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) - 1 \le 1,\forall x \in \mathbb{R}\\{f_{{\rm{Max }}}}(x) = 1 \Leftrightarrow \cos \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) = 1 \Leftrightarrow x - \frac{\pi }{3} = k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\\{f_{{\rm{Min }}}}(x) = - 3 \Leftrightarrow \cos \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) = - 1 \Leftrightarrow x - \frac{\pi }{3} = \pi + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{{4\pi }}{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\end{array}$

Ta có: ${\cos ^2} \ge 0 \Rightarrow - {\cos ^2} \le 0 \Leftrightarrow 1 - {\cos ^2} \le 1$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt {1 - {{\cos }^2}} \le 1 \Leftrightarrow - 3\sqrt {1 - {{\cos }^2}} \ge - 3 \Leftrightarrow 1 - 3\sqrt {1 - {{\cos }^2}} \ge - 2\\ \Leftrightarrow y \ge - 2.\end{array}$

(Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow 1 - {\cos ^2}x = 1 \Leftrightarrow {\cos ^2}x = 0 \Leftrightarrow \frac{{1 + \cos 2x}}{2} = 0$

$\left. { \Leftrightarrow \cos 2x = - 1 \Leftrightarrow 2x = \pi + k2\pi ,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.} \right)$

Vậy tại $x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$ thì $y$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $- 2$.

Ta có: $h(x) = 4 + 4\sin \alpha$.

Khi $M$ ở vị trí cao nhất so với mặt nước (tức là $h(x) = 8$ ) thì $\sin \alpha = 1 \Rightarrow \alpha = \frac{\pi }{2}$ (vì chỉ xét 1 vòng quay đầu tiên).

Thời gian thực hiện của guồng nước là: $t = \frac{{\frac{\pi }{2} \cdot 40}}{{2\pi }} = 10$ (giây).

Do $\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}(t - 80)} \right] \ge - 1 \Rightarrow 3 \cdot \sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}(t - 80)} \right] \ge - 3$

$\Rightarrow 3 \cdot \sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}(t - 80)} \right] + 12 \ge 9 \Rightarrow d(t) \ge 9$.

Vậy thành phố $T$ có ít giờ có ánh sáng mặt trời nhất khi và chỉ khi:

$\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}(t - 80)} \right] = - 1 \Leftrightarrow \frac{\pi }{{182}}(t - 80) = - \frac{\pi }{2} + k2\pi$

$\Leftrightarrow t - 80 = 182\left( { - \frac{1}{2} + 2k} \right) \Leftrightarrow t = 364k - 11,k \in \mathbb{Z}$.

Mặt khác: $0 \le 364k - 11 \le 365 \Leftrightarrow \frac{{11}}{{364}} \le k \le \frac{{376}}{{364}} \Leftrightarrow k = 1($do $k \in \mathbb{Z})$

$\Rightarrow t = 364 - 11 = 353$

Vậy thành phố $T$ có ít giờ ánh sáng Mặt Trời nhất là 9 giờ khi $t = 353$, tức là vào ngày thứ 353 trong năm.