Đề kiểm tra Hàm số liên tục lớp 11 (có lời giải) - Đề 3

Chọn B

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{x\left( {x - 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x - 1}}{x} = \frac{1}{2}$.

$f\left( 2 \right) = 3m + 1$.

Để hàm số liên tục tại điểm $x = 2$$\Leftrightarrow 3m + 1 = \frac{1}{2}$$\Leftrightarrow m = - \frac{1}{6}$.

Chọn D

+ Ta có $f\left( 0 \right) = 2a - \frac{5}{4}$.

+ $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {{x^2} + 4} - 2}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}}}{{{x^2}\left( {\sqrt {{x^2} + 4} + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 4} + 2}}} \right) = \frac{1}{4}.$

Hàm số $f\left( x \right)$ liên tục tại $x = 0$ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow 2a - \frac{5}{4} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow a = \frac{3}{4}$.

Chọn C

Tập xác định $D = R$.

$f\left( 1 \right) = a$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + 1} \right) = 2$.

$f\left( x \right)$ liên tục tại ${x_0} = 1$ khi và chỉ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) \Leftrightarrow a = 2$.

Chọn A

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{(x - 2)(x + 1)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} (x + 1) = 3.$

Hàm số liên tục tại x=2 $\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = f(2) \Leftrightarrow m = 3.$

Chọn A

$f\left( 1 \right) = m$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2{x^2} - 3x + 1}}{{2\left( {x - 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {2x - 1} \right)}}{{2\left( {x - 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2x - 1}}{2} = \frac{1}{2}$.

Để hàm số $f\left( x \right)$ liên tục tại $x = 1$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}$.

Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}.$

Hàm số gián đoạn tại $x = 1$ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) \ne f\left( 1 \right) \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + x - 2}}{{x - 1}} \ne 3m$

$$\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x - 1}} \ne 3m \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + 2} \right) \ne 3m \Leftrightarrow 3 \ne 3m \Leftrightarrow m \ne 1.$$

Ta có

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {m + \frac{{1 - x}}{{1 + x}}} \right) = m + 1$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {\frac{{\sqrt {1 - x} - \sqrt {1 + x} }}{x}} \right) =$$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{ - 2x}}{{x\left( {\sqrt {1 - x} + \sqrt {1 + x} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{ - 2}}{{\left( {\sqrt {1 - x} + \sqrt {1 + x} } \right)}} = - 1$.

$$f\left( 0 \right) = m + 1$$

Để hàm liên tục tại $x = 0$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)$$\Leftrightarrow m + 1 = - 1 \Rightarrow m = - 2$.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {x + 2} - 2}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x - 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt {x + 2} + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{1}{{\sqrt {x + 2} + 2}} = \frac{1}{4}$.

Hàm số liên tục tại $x = 2$$\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)$$\Leftrightarrow a + 4 = \frac{1}{4}$$\Leftrightarrow a = - \frac{{15}}{4}$.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} f\left( x \right)$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{x + 1}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{x + 1}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \left( {x + 3} \right)$$= 2$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} f\left( x \right)$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \left( {mx + 2} \right)$$= - m + 2$.

$f\left( { - 1} \right) = - m + 2$.

Để hàm số đã cho liên tục tại điểm $x = - 1$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right)$$\Leftrightarrow 2 = - m + 2$$\Leftrightarrow m = 0$.

Chọn B

Ta có: $f\left( 3 \right) = m$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^3} - 6{x^2} + 11x - 6}}{{x - 3}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = 2$.

a) Đúng

b) Sai

c) Sai

d) Đúng

Ta có: $f\left( {{x_0}} \right) = f(2) = \frac{1}{2} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x)$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\sqrt {4x - 7} - 1}}{{{x^2} - 4}} = \frac{1}{2} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x)$.

$\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \frac{1}{2} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = f(2)$.

Vậy hàm số $f\left( x \right)$liên tục tại điểm ${x_0} = 2$.

Ta có: $g(2) = \frac{{1 - 2}}{4} = - \frac{1}{4};\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {\frac{{1 - x}}{4}} \right) = - \frac{1}{4}$;

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {\frac{{\sqrt {x + 2} - 2}}{{2 - x}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{x + 2 - 4}}{{(2 - x)(\sqrt {x + 2} + 2)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{ - 1}}{{\sqrt {x + 2} + 2}} = - \frac{1}{4}{\rm{. }}$

Suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g(x) = - \frac{1}{4} = g(2)$.

Vậy hàm số $g(x)$ liên tục tại điểm ${x_0} = 2$.

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

Ta có: $f(1) = - \frac{1}{2}$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{ - x}}{2} = - \frac{1}{2}$,

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{(x - 1)(x - 2)}}{{(x - 1)(x + 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x - 2}}{{x + 1}} = - \frac{1}{2}{\rm{. }}$

Vậy $f(1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = - \frac{1}{2}$ nên hàm số $f(x)$ liên tục tại điểm ${x_0} = 1$.

Ta có: $g(1) = - 1$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g(x) = {1^2} - 3 \cdot 1 + 1 = - 1$ nên $g(1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g(x)$.

Vậy hàm số $g(x)$ liên tục tại điểm ${x_0} = 1$.

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

Ta có: $f\left( {{x_0}} \right) = f( - 1) = 10 = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f(x)$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{2 - \sqrt {x + 5} }}{{{x^3} - 5x - 4}} = \frac{1}{8} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f(x)$.

$\Rightarrow$ Không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} f(x)$.

Vậy hàm số gián đoạn tại điểm ${x_0} = - 1$.

-Ta có: $g( - 1) = 2a - 1$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{x + 1}} = - 2$.

Để hàm số liên tục tại điểm ${x_0} = - 1$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} g(x) = g( - 1)$.

$\Rightarrow 2a - 1 = - 2 \Leftrightarrow a = \frac{{ - 1}}{2}{\rm{. }}$

a) Đúng

b) Đúng

c) Đúng

d) Đúng

a) Hàm số $f(x)$ có tập xác định là $( - \infty ;5) \cup (5; + \infty )$ và $f(x)$ là hàm phân thức nên nó liên tục trên mỗi khoảng $( - \infty ;5),(5; + \infty )$.

b) Hàm số $f(x) = \sin x - 2\cos x + 3$ là hàm số lượng giác có tập xác định là $\mathbb{R}$ nên hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$.

c) Tập xác định của hàm số là $D = [ - 2;2]$.

Với mỗi ${x_0} \in ( - 2;2)$; ta luôn có $f\left( {{x_0}} \right) = \sqrt {4 - x_0^2} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)$, vì vậy hàm số liên tục trên khoảng $( - 2;2)$.

Mặt khác: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = \sqrt {4 - {2^2}} = 0$ và $f(2) = 0$ nên hàm số liên tục về bên trái tại điểm ${x_0} = 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f(x) = \sqrt {4 - {{( - 2)}^2}} = 0$ và $f( - 2) = 0$ nên hàm số liên tục về bên phải tại điểm ${x_0} = - 2$.

Vậy hàm số đã cho liên tục trên đoạn $[ - 2;2]$.

d) Tập xác định của hàm số là $D = [ - 1;2]$.

Với mỗi ${x_0} \in ( - 1;2)$, ta luôn có $f\left( {{x_0}} \right) = \sqrt {2 - {x_0}} + 3\sqrt {{x_0} + 1} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)$, vì vậy hàm số liên tục trên khoảng $( - 1;2)$.

Mặt khác: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = \sqrt {2 - 2} + 3\sqrt {2 + 1} = 3\sqrt 3$ và $f(2) = 3\sqrt 3$ nên hàm số liên tục về bên trái tại điểm ${x_0} = 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f(x) = \sqrt {2 + 1} + 3\sqrt { - 1 + 1} = \sqrt 3$ và $f( - 1) = \sqrt 3$ nên hàm số liên tục về bên phải tại điểm ${x_0} = - 1$.

Vậy hàm số đã cho liên tục trên đoạn $[ - 1;2]$.

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} [x(2 - x)] = - 8 = f( - 2)\\\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \left( {{x^2} + ax + b} \right) = 4 - 2a + b\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} [x(2 - x)] = 0 = f(2)\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {{x^2} + ax + b} \right) = 4 + 2a + b\end{array}$

Hàm số liên tục tại $x = - 2$ và $x = 2$ khi và chỉ khi

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{4 - 2a + b = - 8}\\{4 + 2a + b = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{ - 2a + b = - 12}\\{2a + b = - 4}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{a = 2}\\{b = - 8}\end{array}} \right.} \right.} \right.$

Vậy $a = 2,b = - 8$ là các giá trị cần tìm.

Hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$, do đó ${x_0} = 0$ thuộc tập xác định của hàm số.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {x^2} = {0^2} = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} ( - x) = 0$.

Do đó, $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = 0$, suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = 0$.

Lại có $f(0) = 0$ nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = f(0)$. Vậy hàm số $f(x)$ liên tục tại ${x_0} = 0$.

Vì hàm số $f(x)$ liên tục tại $x = 1$ nên hàm số $2f(x)$ cũng liên tục tại $x = 1$.

Mà hàm số $g(x)$ liên tục tại $x = 1$. Do đó, hàm số $y = 2f(x) - g(x)$ liên tục tại $x = 1$.

Suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} [2f(x) - g(x)] = 2f(1) - g(1)$

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} [2f(x) - g(x)] = 3$ và $f(1) = 2$ nên ta có $3 = 2.2 - g(1) \Leftrightarrow g(1) = 1$.

Vậy $g(1) = 1$.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$ và $x = 0 \in D$.

$f\left( 0 \right) = m + 1$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {m + \frac{{1 - x}}{{1 + x}}} \right) = m + 1$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {\frac{{\sqrt {1 - x} - \sqrt {1 + x} }}{x}} \right) =$$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{ - 2x}}{{x\left( {\sqrt {1 - x} + \sqrt {1 + x} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{ - 2}}{{\left( {\sqrt {1 - x} + \sqrt {1 + x} } \right)}} = - 1$.

Để hàm liên tục tại $x = 0$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)$$\Leftrightarrow m + 1 = - 1 \Leftrightarrow m = - 2$.

Vậy $m = - 2$ thỏa mãn đề bài.

Hàm số $P(t)$ trên $(0;4]$ có công thức:

$P(t) = \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}2&{{\rm{ khi }}}&{0 < t \le 1}\\3&{{\rm{ khi }}}&{1 < t \le 2}\\4&{{\rm{ khi }}}&{2 < t \le 3}\\5&{{\rm{ khi }}}&{3 < t \le 4}\end{array}} \right.$($P$tính theo chục nghìn đồng, $t$ tính theo giờ).

Đồ thị của hàm số $P(t)$ như Hình 1.

Trên mỗi nữa khoảng $(0;1],(1;2],(2;3]$ và $(3;4]$, hàm số đều có dạng $P(t) = c$ ($c$là hằng số) nên hàm số liên tục trên mỗi khoảng này.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{t \to {1^ - }} P(t) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {1^ - }} 2 = 2;\mathop {\lim }\limits_{t \to {1^ + }} P(t) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {1^ + }} 3 = 3$. Do $\mathop {\lim }\limits_{t \to {1^ - }} P(t) \ne \mathop {\lim }\limits_{t \to {1^ + }} P(t)$ nên hàm số không liên tục tại điểm $t = 1$.

Tương tự, chỉ ra được hàm số không liên tục tại các điểm $t = 2$ và $t = 3$.

Vậy hàm số liên tục trên các nửa khoảng $(0;1],(1;2],(2;3]$ và $\left( {3;4} \right];$gián đoạn tại các điểm $t = 1,t = 2$ và $t = 3$.