Đề kiểm tra Hàm số liên tục lớp 11 (có lời giải) - Đề 2

Chọn D

Tại $x = \frac{1}{2}$, ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} \frac{{2x - 1}}{{{x^3} - 1}} = 0 = f\left( {\frac{1}{2}} \right)$. Vậy hàm số liên tục tại $x = 2$.

Chọn A

Hàm số $y = \frac{{x - 3}}{{{x^2} - 1}}$ có tập xác định $\mathbb{R}\backslash \left\{ { \pm 1} \right\}$. Do đó hàm số không liên tục tại các điểm $x = \pm 1$.

Chọn A

Vì $y = {x^3} - x$ là đa thức nên nó liên tục trên $\mathbb{R}$.

* Ta có hai hàm số ${f_2}\left( x \right) = \frac{{3x + 1}}{{x - 2}}$ và ${f_4}\left( x \right) = {\log _3}x$ có tập xác định không phải là tập $\mathbb{R}$ nên không thỏa yêu cầu.

* Cả hai hàm số ${f_1}\left( x \right) = 2{x^3} - 3x + 1$ và ${f_3}\left( x \right) = \cos x + 3$ đều có tập xác định là $\mathbb{R}$ đồng thời liên tục trên $\mathbb{R}$.

Chọn D

Hàm số $f\left( x \right) = \frac{{x + 5}}{{{x^2} + 4}}$ là hàm phân thức hữu tỉ và có TXĐ là $D = \mathbb{R}$ do đó hàm số $f\left( x \right) = \frac{{x + 5}}{{{x^2} + 4}}$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

Chọn C

Ta có $f(1) = 2m + 1$

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^3} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} ({x^2} + x + 1) = 3$$

Để hàm số liên tục tại điểm ${x_0} = 1$thì $f(1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} y \Rightarrow 2m + 1 = 3 \Leftrightarrow m = 1$.

Chọn B

Hàm số liên tục tại $x = - 1$ khi và chỉ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} y = = y\left( { - 1} \right)$

$\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {4x + a} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( {{x^2} + 3x + 2} \right) = y\left( { - 1} \right)$ $\Leftrightarrow a - 4 = 0 \Leftrightarrow a = 4$.

Chọn A

Ta có: $f\left( 1 \right) = m + 3$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^3} - {x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 2} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^2} + 2} \right) = 3$.

Để hàm số $f\left( x \right)$ liên tục tại $x = 1$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) \Leftrightarrow 3 = m + 3 \Leftrightarrow m = 0$.

Chọn A

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^{2016}} + x - 2}}{{\sqrt {2018{\rm{x}} + 1} - \sqrt {x + 2018} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {{x^{2016}} - 1 + x - 1} \right)\left( {\sqrt {2018{\rm{x}} + 1} + \sqrt {x + 2018} } \right)}}{{2017{\rm{x}} - 2017}}$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^{2015}} + {x^{2014}} + ... + x + 1 + 1} \right)\left( {\sqrt {2018{\rm{x}} + 1} + \sqrt {x + 2018} } \right)}}{{2017\left( {{\rm{x}} - 1} \right)}}$$= 2\sqrt {2019}$

Để hàm số liên tục tại $x = 1$ $\Leftrightarrow$$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)$ $\Leftrightarrow k = 2\sqrt {2019}$.

Chọn C

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt x - 1}}{{x - 1}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\sqrt x + 1}}$$= \frac{1}{2}$.

Để hàm số liên tục tại ${x_0} = 1$ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)$$\Leftrightarrow a = \frac{1}{2}$.

Chọn A

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{{x^2} - 2x}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{x\left( {x - 2} \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} x = 2$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {mx - 4} \right) = 2m - 4$

Hàm số liên tục tại $x = 2$ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) \Leftrightarrow 2m - 4 = 2 \Leftrightarrow m = 3$.

Chọn D

Ta có: $f\left( 1 \right) = n.$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x + 3 - {m^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {x + 3} + m} \right)}}.$

Hàm số liên tục tại $x = 1$ $\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\, \Leftrightarrow n = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x + 3 - {m^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {x + 3} + m} \right)}}\,\,\,\,(1).$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)$tồn tại khi $1$ là nghiệm của phương trình: $1 + 3 - {m^2} = 0\, \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = - 2\end{array} \right..$

+ Khi $m = 2$ thì $\left( 1 \right)\, \Rightarrow n = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {x + 3} + 2} \right)}} \Rightarrow n = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\sqrt {x + 3} + 2}} \Rightarrow n = \frac{1}{4}.$

+ Khi $m = - 2$ thì $\left( 1 \right) \Rightarrow n = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\sqrt {x + 3} - 2}}$ suy ra không tồn tại $n.$

Vậy $m + n = 2 + \frac{1}{4} = \frac{9}{4}.$

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

Chọn C

Hàm số $f\left( x \right) = 2{x^3} - 8x - 1$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

Do $f\left( { - 5} \right) = - 211,\,$$f\left( { - 1} \right) = 5 > 0,\,$$f\left( 2 \right) = - 1 < 0,\,$$f\left( 3 \right) = 29 > 0$ nên phương trình có ít nhất $3$ nghiệm trên $\left( { - 5; - 1} \right),\,\left( { - 1;2} \right),\,\left( {2;3} \right)$. Mà phương trình bậc ba có tối đa $3$ nghiệm nên phương trình có đúng $3$ nghiệm trên $\mathbb{R}$. Do đó C sai.

a) Đúng

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

Ta có: $f\left( {{x_0}} \right) = f(1) = 1 + 1 = 2$.

$\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (x + 1) = 2 = f\left( {{x_0}} \right){\rm{. }}$

Vậy hàm số liên tục tại điểm ${x_0} = 1$.

Ta có: $g\left( {{x_0}} \right) = g(1) = 4$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {4{x^2} - x + 1} \right) = 4 = g(1)$

Vậy hàm số liên tục tại điểm ${x_0} = 1$.

a) Đúng

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

Ta có: $f(2) = \frac{{2a + 1}}{6}$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {x - 1} - 1}}{{{x^2} - 3x + 2}}$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x - 1 - 1}}{{(x - 2)(x - 1)(\sqrt {x - 1} + 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{1}{{(x - 1)(\sqrt {x - 1} + 1)}} = \frac{1}{2}.$

Hàm số $f(x)$ liên tục tại $x = 2 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = f(2) \Leftrightarrow \frac{{2a + 1}}{6} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow a = 1$.

Ta có: $g(2) = \sin \frac{{2\pi }}{4} = 1$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g(x) = \sin \frac{{2\pi }}{4} = 1$ nên $g(2) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g(x)$.

Vậy hàm số $g(x)$ liên tục tại điểm ${x_0} = 2$.

a) Đúng

b) Sai

c) Sai

d) Đúng

Ta có: $f\left( {{x_0}} \right) = f( - 2) = 0 = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f(x)$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{1 - \sqrt {5x + 11} }}{{2{x^2} - 5x - 18}} = \frac{5}{{26}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f(x)$. $\Rightarrow$ Không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f(x)$.

Vậy hàm số gián đoạn tại điểm ${x_0} = - 2$.

Ta có: $g\left( {{x_0}} \right) = g( - 2) = - 4 + a$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^2} - x - 6}}{{x + 2}} = - 5$.

Để hàm số liên tục tại điểm ${x_0} = - 2$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} g(x) = g( - 2)$.

$\Rightarrow - 4 + a = - 5 \Leftrightarrow a = - 1.{\rm{ }}$

Ta có $f(1) = m + 1 = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x),\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = 2$.

Vậy hàm số liên tục tại $x = 1$ khi và chỉ khi $m = 1$.

Lời giải

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {x + 2} - 2}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{(\sqrt {x + 2} - 2)(\sqrt {x + 2} + 2)}}{{(x - 2)(\sqrt {x + 2} + 2)}}$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x + 2 - 4}}{{(x - 2)(\sqrt {x + 2} + 2)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{1}{{\sqrt {x + 2} + 2}} = \frac{1}{4}{\rm{. }}$Hàm số liên tục tại $x = 2$ khi và chỉ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = f(2) \Leftrightarrow \frac{1}{4} = a$.

Vậy $a = \frac{1}{4}$ là giá trị cần tìm.

$h(x) = f(x) + g(x) = \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{2 + x - {x^2}}&{{\rm{ khi }}x < 1}\\{x + a}&{{\rm{ khi }}x \ge 1}\end{array}} \right.$

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} h(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {2 + x - {x^2}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} 2 + \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} x - \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {x^2} = 2 + 1 - {1^2} = 2;\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} h(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} (x + a) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} x + \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} a = 1 + a;h(1) = 1 + a.\end{array}$

Tập xác định của hàm số $f(x)$ là $[1; + \infty )$. Do đó ${x_0}$ thuộc tập xác định của hàm số. Ta có

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt {x - 1} = \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} (x - 1)} = 1 = f(2).$

Vậy hàm số $f(x)$ liên tục tại ${x_0} = 2$.

Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$, chứa điểm 3 .

Ta có: $f(3) = 3$;

Khi $x > 3,f(x) = \frac{{x(x - 3)}}{{x - 3}} = x$ nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} x = 3$;

Khi $x < 3,f(x) = \frac{{x(3 - x)}}{{x - 3}} = - x$ nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} ( - x) = - 3$.

Do $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f(x) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f(x)$ nên không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f(x)$.

Do đó, hàm số $y = f(x)$ không liên tục tại điểm $x = 3$.

+ TXĐ: $D = \left[ {0; + \infty } \right)$.

+ Với $x \ge 9$ thì $f(x) = \frac{3}{x}$ là hàm phân thức hữu tỉ xác định trên nửa khoảng $\left[ {9; + \infty } \right)$ nên liên tục trên nửa khoảng $\left[ {9; + \infty } \right)$.

+ Với $0 < x < 9$ thì $f(x) = \frac{{3 - \sqrt {9 - x} }}{x}$ là hàm phân thức hữu tỉ xác định trên khoảng $\left( {0;9} \right)$ nên liên tục trên khoảng $\left( {0;9} \right)$.

+ Tại điểm $x = 0$:

Ta có $f\left( 0 \right) = m$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{3 - \sqrt {9 - x} }}{x}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{3 + \sqrt {9 - x} }}$$= \frac{1}{6}$.

Vậy để hàm số liên tục trên $\left[ {0; + \infty } \right)$ thì khi hàm số liên tục tại $x = 0$$\Leftrightarrow$$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = f(0)$$\Leftrightarrow m = \frac{1}{6}$.