Đề kiểm tra Hàm số liên tục lớp 11 (có lời giải) - Đề 1

Chọn B

Vì theo định lý 3 trang 139/sgk.

Chọn B

Đồ thị là một đường liền nét, nhưng bị “gãy” tại điểm $x = 0$ nên nó liên tục tại điểm $x = 0$ nhưng không có đạo hàm tại điểm $x = 0$.

Chọn D

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y$ nên hàm số không liên tục tại $x = 1$.

Chọn D

Khẳng định thứ nhất sai vì thiếu tính liên tục trên đoạn $\left[ {a;\,b} \right]$.

Chọn A

Ta có: $y\left( 1 \right) = 1$.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = 1$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{1 - {x^3}}}{{1 - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x + {x^2}} \right)}}{{1 - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {1 + x + {x^2}} \right) = 4$

Nhận thấy: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = y\left( 1 \right)$. Suy ra $y$ liên tục phải tại $x = 1$.

A. $f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x - 1}}$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = + \infty$ suy ra $f\left( x \right)$ không liên tục tại $x = 1$.

B. $f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - x - 2}}{{{x^2} - 1}}$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x - 2}}{{x - 1}} = - \infty$ suy ra $f\left( x \right)$ không liên tục tại $x = 1$.

C. $f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + x + 1}}{x}$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + x + 1}}{x} = 3 = f\left( 1 \right)$ suy ra $f\left( x \right)$ liên tục tại $x = 1$.

D. $f\left( x \right) = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = + \infty$ suy ra $f\left( x \right)$ không liên tục tại $x = 1$.

Chọn A

Ta có: $y = \frac{{3x - 4}}{{x - 2}}$ có tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}$, do đó gián đoạn tại $x = 2$.

Chọn D

Vì hàm số $y = \frac{x}{{x + 1}}$ có TXĐ: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}$ nên hàm số gián đoạn tại điểm .

Chọn D

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^2} - 7x + 12}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {x - 4} \right) = - 1 = y\left( 3 \right)$ nên hàm số liên tục tại ${x_0} = 3$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\left( {{x^2} - 7x + 12} \right) - \left( {{3^2} - 7.3 + 12} \right)}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\left( {{x^2} - 7x + 12} \right)}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {x - 4} \right) = - 1 \Rightarrow y'\left( 3 \right) = - 1$.

Chọn A

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x - 2}}{{\sqrt {x + 2} - 2}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt {x + 2} + 2} \right)}}{{x - 2}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {\sqrt {x + 2} + 2} \right)$$= 4$

$f\left( 2 \right) = 4$

$\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)$

Vậy hàm số liên tục tại $x = 2$.

a) Sai

b) Sai

c) Đúng

d) Sai

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x + 1} \right) = 2$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \sin \pi x = 0$$\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right)$ do đó hàm số gián đoạn tại $x = 1$.

Tương tự: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \left( {x + 1} \right) = 0$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \sin \pi x = 0$

$\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} f\left( x \right)$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} f\left( x \right)$$= f\left( { - 1} \right)$ do đó hàm số liên tục tại $x = - 1$.

Với $x \ne \pm 1$ thì hàm số liên tục trên tập xác định.

Vậy hàm số đã cho liên tục trên các khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$.

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

Ta có: $g(2) = \frac{2}{{2 - 1}} = 2$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{2}{{x - 1}} = 2$; suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g(x) = g(2)$.

Vậy hàm số $g(x)$ liên tục tại điểm ${x_0} = 2$.

Ta có: $f(2) = 4{,}5$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{(x - 2)(x + 2)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} (x + 2) = 4$.

Suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) \ne f(2)$.

Vậy hàm số $f(x)$ không liên tục tại điểm ${x_0} = 2$.

a) Đúng

b) Sai

c) Sai

d) Đúng

a) Vì $f(x) = {x^3} - {x^2} + 8x$ là hàm đa thức nên hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$.

b) Vì $f(x) = \frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 3x}}$ là hàm phân thức có tập xác định $( - \infty ;0) \cup (0;3) \cup (3; + \infty )$ nên hàm số liên tục trên các khoảng $( - \infty ;0),(0;3),(3; + \infty )$.

c) Tập xác định của hàm số $f(x) = \frac{{\sin x + 1}}{{x + 1}}$ là $( - \infty ; - 1) \cup ( - 1; + \infty )$.

Trên các khoảng đó, hàm lượng giác $y = \sin x + 1$ (tử thức) và hàm số đa thức $y = x + 1$ (mẫu thức) đều liên tục.

Do vậy hàm $f(x)$ liên tục trên các khoảng $( - \infty ; - 1),( - 1; + \infty )$.

d) Tập xác định của hàm số $f(x) = \sqrt {x - 2}$ là $[2; + \infty )$.

Với mỗi ${x_0}$ tuỳ ý thuộc $(2; + \infty )$, ta luôn có $f\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = \sqrt {{x_0} - 2}$; vì vậy hàm số liên tục trên khoảng $(2; + \infty )$. (1)

Mặt khác: $f(2) = 0$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = 0$ nên $f(2) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x)$; suy ra hàm số liên tục tại điểm $x = 2$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra hàm số $f(x)$ liên tục trên nửa khoảng $[2; + \infty )$.

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

Ta có: $f(1) = - \frac{1}{2}$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{ - x}}{2} = - \frac{1}{2}$,

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{(x - 1)(x - 2)}}{{(x - 1)(x + 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x - 2}}{{x + 1}} = - \frac{1}{2}{\rm{. }}$

Vậy $f(1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = - \frac{1}{2}$ nên hàm số $f(x)$ liên tục tại điểm ${x_0} = 1$.

Ta có: $g(1) = - 1$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g(x) = {1^2} - 3 \cdot 1 + 1 = - 1$ nên $g(1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g(x)$.

Vậy hàm số $g(x)$ liên tục tại điểm ${x_0} = 1$.

Ta có: $h(2) = \sin \frac{{2\pi }}{4} = 1$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} h(x) = \sin \frac{{2\pi }}{4} = 1$ nên $h(2) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} h(x)$.

Vậy hàm số $h(x)$ liên tục tại điểm ${x_0} = 2$.

Xét hàm số $f(x) = 2{x^5} + a\left( {{x^2} - 1} \right) + 1$. Ta có $f(1) = 3 > 0,f( - 1) = - 1 < 0$.

Do $f(x)$ là hàm đa thức nên nó liên tục trên $[ - 1;1]$. Do đó, theo tính chất của hàm liên tục, tồn tại ít nhất một điểm $c \in [ - 1;1]$ sao cho $f(c) = 0$. Nói cách khác, $x = c$ là một nghiệm của phương trình đã cho.

Theo cách xác định hàm số $f(x)$, ta có $f(1) = 3 = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x)$ và $f(2) = 5 = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x)$. Hơn nữa, $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = a + b,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = 2a + b$.

Vậy hàm số $f(x)$ liên tục tại $x = 1$ và $x = 2$ khi và chỉ khi $a + b = 3{,}2a + b = 5$.

Từ đó, $a = 2,b = 1$.

Đặt $f\left( x \right) = 4{x^4} + 2{x^2} - x - 3$.

+ Hàm số $f\left( x \right) = 4{x^4} + 2{x^2} - x - 3$ liên tục trên $\mathbb{R}$ nên liên tục trên $\left[ { - 1;0} \right]$, $\left[ {0;1} \right]$.

+ Ta có $f\left( { - 1} \right) = 4\,$, $f\left( 0 \right) = - 3$, $f\left( 1 \right) = 2$

Vì $f\left( { - 1} \right).\,f\left( 0 \right) < 0\,$nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng $\left( { - 1;0} \right)$.

Vì $f\left( 0 \right).\,f\left( 1 \right) < 0\,$nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng $\left( {0;1} \right)$.

Mà $\left( { - 1;0} \right)$và $\left( {0;1} \right)$ là hai khoảng phân biệt.

Vậy phương trình $4{x^4} + 2{x^2} - x - 3 = 0$ có ít nhất hai nghiệm trong khoảng $\left( { - 1;1} \right)$.