Đề kiểm tra Hàm số bậc hai lớp 10 (có lời giải) - Đề 3

Chọn C

$\left( P \right)$ có đỉnh là $S\left( {1;\;1} \right)$; trục đối xứng là đường thẳng $x = 1$ nên C sai.

và $\left( P \right)$ đi qua điểm $M\left( { - 1;\;9} \right)$$\Rightarrow$ B, D đều đúng.

Xét phương trình $2{x^2} - 4x + 3 = 0$ vô nghiệm trên $\mathbb{R}$ nên $\left( P \right)$không có giao điểm với trục hoành$\Rightarrow$ A đúng.

Chọn D

Trục đối xứng của $\left( P \right)$ có dạng:

$x = - \frac{b}{{2a}} = - 3$$\Leftrightarrow - \frac{3}{{2a}} = - 3$$\Leftrightarrow - 3 = - 6a$$\Leftrightarrow a = \frac{1}{2}$.

Vậy $\left( P \right)$ có phương trình: $y = \frac{1}{2}{x^2} + 3x - 2$.

Chọn B

Vì parabol $y = a{x^2} + bx + 4$có trục đối xứng là đường thẳng $x = \frac{1}{3}$và đi qua điểm $A\left( {1;3} \right)$

Nên ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{\rm{a}} + b + 4 = 3\\ - \frac{b}{{2a}} = \frac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{a}} + b = - 1\\2a + 3b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 3\\b = 2\end{array} \right.$

Do đó: $a + 2b = - 3 + 4 = 1$

Chọn D

Đồ thị hàm số $y = m{x^2} - 2mx - {m^2} - 1$$\left( {m \ne 0} \right)$ có đỉnh là $I\left( {1;\; - {m^2} - m - 1} \right)$.

Để $I\left( {1;\; - {m^2} - m - 1} \right)$ nằm trên đường thẳng $y = x - 2$ thì $- {m^2} - m - 1 = - 1$ $\Leftrightarrow {m^2} + m = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0{\rm{ }}\left( l \right)\\m = - 1{\rm{ }}\left( n \right)\end{array} \right.$. Vậy $m = - 1$$\in \left( { - 2;\;2} \right)$.

Chọn C

Ta có: ${x_I} = - 1 \Rightarrow - \frac{4}{{2a}} = - 1 \Rightarrow a = 2.$

Hơn nữa: $I \in \left( P \right)$ nên $- 5 = a - 4 - b \Rightarrow b = 3.$

Chọn C

Phương trình hoành độ giao điểm của $d$ và $\left( P \right)$ là ${x^2} - x - 2 = x + 1$$\Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0$.

Phương trình này có $a - b + c = 0$ nên có hai nghiệm ${x_1} = - 1$,${x_2} = 3$.

Suy ra $A\left( { - 1;0} \right)$ và $B\left( {3;4} \right)$.

Diện tích tam giác $OAB$ bằng $\frac{1}{2}.1.3 = \frac{3}{2}$.

Chọn B

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

${x^2} + \left( {m + 2} \right)x - m = 2x + 3$$\Leftrightarrow$ ${x^2} + mx - m - 3 = 0$. $\left( 1 \right)$

Để đường thẳng $d$ cắt parabol tại hai điểm phân biệt nằm cùng phía với trục tung $Oy$ thì phương trình $y = {x^2} - 3x - 1$ có hai nghiệm phân biệt cùng dấu $y = - 2{x^2} + 5x - 1$$y = 2{x^2} - 5x - 1$$\Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$ $\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;4} \right]} f\left( x \right) = 2\,450$.

Chọn B

Gọi $A$và $B$là hai điểm ứng với hai chân cổng như hình vẽ.

Vì cổng hình parabol có phương trình $y = - \frac{1}{2}{x^2}$và cổng có chiều rộng $d = 5$ mét nên:

$AB = 5\,$ và $A\left( { - \frac{5}{2}; - \frac{{25}}{8}} \right)$$;\,$$B\left( {\frac{5}{2}; - \frac{{25}}{8}} \right)$.

Vậy chiều cao của cổng là$\left| { - \frac{{25}}{8}} \right| = \frac{{25}}{8} = 3{,}125\,$mét.

Ta có $\left( P \right)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $1$: Khi $x = 0$ thì $y = 1$ $\Rightarrow$ $c = 1$.

$\left( P \right)$có giá trị nhỏ nhất bằng $\frac{3}{4}$ khi $x = \frac{1}{2}$ nên:

$\left\{ \begin{array}{l}y\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{3}{4}\\\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{1}{2}\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{4}a + \frac{1}{2}b + 1 = \frac{3}{4}\\\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{1}{2}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{4}a + \frac{1}{2}b = - \frac{1}{4}\\a + b = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 1\end{array} \right.$.

Vậy $\left( P \right)$: $y = {x^2} - x + 1$.

Do parabol có bề lõm quay lên nên $a > 0$, từ đó ta loại A

Trục đối xứng của parabol là $x = - \frac{b}{{2a}} = 1$ nên ta loại B

Khi $x = 0$ thì $y = - 1$ nên loại C

Vậy đồ thị trên là của hàm số $y = {x^2} - 2x - 1$.

Chọn B

Do bề lõm của $\left( P \right)$ quay xuống và $M$ có tung độ lớn nhất nên $M$ là đỉnh của $\left( P \right)$.

Ta có $M\left( {1;3} \right)$ là đỉnh của parabol nên $\frac{a}{{ - 4}} = 1 \Leftrightarrow a = - 4$.

Suy ra $y = - 2{x^2} + 4x + b$ qua $M\left( {1;3} \right)$ nên $b = 1$.

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

a) Hàm số $y = (2m - 1){x^2} + x + 3$ là hàm số bậc hai khi $2m - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \frac{1}{2}$.

b) Hàm số $y = \left( {4{m^2} - 1} \right){x^2} - 2x$ là hàm số bậc hai khi $4{m^2} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \pm \frac{1}{2}$.

c) Hàm số $y = \left( {{m^2} - 2m} \right){x^3} + {x^2} - 1$ là hàm số bậc hai khi ${m^2} - 2m = 0 \Leftrightarrow m = 0$ hoặc $m = 2$.

d) Ta có $y = m{x^2} + (3 - x)\left( {{m^2}x + 2} \right) = \left( { - {m^2} + m} \right){x^2} + \left( {3{m^2} - 2} \right)x + 6$. Để hàm số đã cho là hàm số bậc hai thì $- {m^2} + m \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 0$ và $m \ne 1$.

a) Đúng

b) Sai

c) Sai

d) Đúng

a) Vì $(P)$ đi qua điểm $A(0;1)$ nên suy ra $c = 1$.

Vì $(P)$ đi qua điểm $B(1; - 1)$ và $C( - 1;1)$ nên ta có hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l}a + b + 1 = - 1\\a - b + 1 = 1\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l}a + b = - 2\\a - b = 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l}a = - 1\\b = - 1\end{array}\end{array}} \right.} \right.} \right.$

Vậy parabol $(P)$ có phương trình $y = - {x^2} - x + 1$.

b) Vì $(P)$ đi qua hai điểm $D(3;0)$ và $I(1;4)$ nên ta có: $9a + 3b + c = 0{\rm{ (1) ;}}\,a + b + c = 4{\rm{ (2) }}$

Trừ theo từng vế của (1) cho (2) ta có: $8a + 2b = - 4$ (3)

Vì $(P)$ có đỉnh $I(1;4)$ và từ (3) ta có hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l}\frac{{ - b}}{{2a}} = 1\\8a + 2b = - 4\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l}2a + b = 0\\4a + b = - 2\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l}a = - 1\\b = 2.\end{array}\end{array}} \right.} \right.} \right.$

Thay $a = - 1$ và $b = 2$ vào $(2)$ suy ra $c = 3$.

Vậy parabol $(P)$ có phương trình $y = - {x^2} + 2x + 3$.

c) Vì $(P)$ đi qua hai điểm $M(2; - 7)$ và $N( - 5;0)$ nên ta có: $4a + 2b + c = - 7(1){\rm{ ; }}25a - 5b + c = 0{\rm{ (2) }}$

Trừ theo từng vế của (2) cho (1) ta có: $21a - 7b = 7$ (3)

Vì $(P)$ có trục đối xứng là $x = - 2$ và từ $(3)$ ta có hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l}\frac{{ - b}}{{2a}} = - 2\\21a - 7b = 7\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l}4a - b = 0\\3a - b = 1\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l}a = - 1\\b = - 4\end{array}\end{array}} \right.} \right.} \right.$

Thay $a = - 1$ và $b = - 4$ vào (1) suy ra $c = 5$.

Vậy parabol $(P)$ có phương trình $y = - {x^2} - 4x + 5$.

d) Do $(P)$ có trục đối xứng là $x = - 2$ và có đỉnh thuộc đường thẳng $d:y = 2x - 1$ nên đỉnh của $(P)$ là điểm $I( - 2; - 5)$.

Vì $(P)$ đi qua hai điểm $E(1;4)$ và $I( - 2; - 5)$ nên ta có: $a + b + c = 4{\rm{ (1) ; }}4a - 2b + c = - 5{\rm{ (2) }}$

Trừ theo từng vế của (2) cho (1) ta có: $3a - 3b = - 9$ (3)

Vì $(P)$ có trục đối xứng là $x = - 2$ và từ $(3)$ ta có hệ phương trình:

$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l}\frac{{ - b}}{{2a}} = - 2\\3a - 3b = - 9\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l}4a - b = 0\\a - b = - 3\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l}a = 1\\b = 4.\end{array}\end{array}} \right.} \right.} \right.$

Thay $a = 1$ và $b = 4$ vào (1) suy ra $c = - 1$.

Vậy parabol $(P)$ có phương trình $y = {x^2} + 4x - 1$.

a) Đúng

b) Sai

c) Sai

d) Đúng

Parabol đi qua điểm $I(0;4)$ nên suy ra $c = 4$.

Vì parabol đi qua điểm $A( - 2;0)$ và có đỉnh $I(0;4)$ nên ta có hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l}\frac{{ - b}}{{2a}} = 0\\4a - 2b + 4 = 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l}a = - 1\\b = 0\end{array}\end{array}} \right.} \right.$

Vậy hàm số cần tìm là $y = - {x^2} + 4$.

a) Đúng

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

Parabol đi qua điểm $A(0;1)$ nên suy ra $c = 1$.

Vì parabol có đỉnh $I( - 1;0)$ nên ta có hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l}\frac{{ - b}}{{2a}} = - 1\\a - b + 1 = 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l}2a - b = 0\\a - b = - 1\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l}a = 1\\b = 2.\end{array}\end{array}} \right.} \right.} \right.$

Vậy hàm số cần tìm là $y = {x^2} + 2x + 1$.

+ Theo yêu cầu bài toán ta có hệ phương trình:

$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l}{0^2} \cdot a + 0 \cdot b + c = 1\\{1^2} \cdot a + 1 \cdot b + c = 2\\{3^2} \cdot a + 3 \cdot b + c = - 1\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l}c = 1\\a + b + c = 2\\9a + 3b + c = - 1\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l}a = - \frac{5}{6}\\b = \frac{{11}}{6}\\c = 1\end{array}\end{array}{\rm{ }}} \right.} \right.} \right.$

Vậy $(P):y = - \frac{5}{6}{x^2} + \frac{{11}}{6}x + 1.$

+ Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Trong đó $A( - 2{,}5;1{,}5),B(2{,}5;1{,}5),C(0;2)$.

+ Do Parabol đi qua các điểm $A( - 2{,}5;1{,}5)$, $B(2{,}5;1{,}5),C(0;2)$ nên ta có hệ phương

trình: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{a{{( - 2{,}5)}^2} + b( - 2{,}5) + c = 1{,}5}\\{a{{(2{,}5)}^2} + b(2{,}5) + c = 1{,}5}\\{c = 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{a = - \frac{2}{{25}}}\\{b = 0}\\{c = 2}\end{array}} \right.} \right.$. Vậy $a = - \frac{2}{{25}},b = 0,c = 2$.

Ta có bảng biến thiên của hàm số $y = {x^2} - 2x + 2m + 3$ trên đoạn [2;5]:

Do đó giá trị nhỏ nhất trên đoạn $(2;5)$ của hàm số $y = {x^2} - 2x + 2m + 3$ bằng $2m + 3$

Theo giả thiết $2m + 2 = - 3 \Leftrightarrow m = - \frac{5}{2}$.

Ta có ${x^2} - 5x + 7 + 2m = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 7 = - 2m\,(*)$

Phương trình (*) là phương trình hoành độ giao điểm của parabol $(P):y = {x^2} - 5x + 7$ và đường thẳng $y = - 2m$ (song song hoặc trùng với trục hoành).

Ta có bảng biên thiên của hàm số $y = {x^2} - 5x + 7$ trên đoạn $[1;5]$ như sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy $x \in [1;5]$ thì $y \in \left[ {\frac{3}{4};7} \right]$.

Do đó để phương trình $\left( {^*} \right)$ có nghiệm $x \in [1;5] \Leftrightarrow \frac{3}{4} \le - 2m \le 7 \Leftrightarrow - \frac{3}{8} \ge m \ge - \frac{7}{2}$.

Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và đường thẳng $(d)$ là

$3{x^2} - 2x - 1 = - \frac{1}{2}x + 3m + 2 \Leftrightarrow 2{x^2} - x - 2m - 2 = 0$(1)

Yêu cầu bài toán tương đương với phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}$ thoả mãn

$$\begin{array}{l}x_1^2 + x_2^2 = 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l}{\Delta ^\prime } = 16m + 17 > 0\\{x_1} + {x_2} = \frac{1}{2}\\{x_1} \cdot {x_2} = - m - 1\\x_1^2 + x_2^2 = 3({x_1} + {x_2})\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l}m > - \frac{{17}}{{16}}\\{x_1} + {x_2} = \frac{1}{2}\\{x_1} \cdot {x_2} = - m - 1\\{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 2{x_1}{x_2} = 0\end{array}\end{array}} \right.} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l}m > - \frac{9}{{16}}\\{(\frac{1}{2})^2} - \frac{3}{2} - 2( - m - 1) = 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l}m > - \frac{9}{{16}}\\m = - \frac{3}{8}\end{array}\end{array} \Leftrightarrow m = - \frac{3}{8}} \right.} \right.{\rm{ }}\end{array}$$

Vậy $m = - \frac{3}{8}{\rm{. }}$

Gọi $A$ và $B$ là hai điểm ứng với hai chân cổng như hình vẽ. Vì cổng hình parabol cớ phương trình $y = - \frac{1}{2}{x^2}$ và có chiều rộng $d = 5$ mét nên $AB = 5$ và $A\left( { - \frac{5}{2}; - \frac{{25}}{8}} \right);B\left( {\frac{5}{2}; - \frac{{25}}{8}} \right)$.

Vậy chiều cao của cổng là: $\left| { - \frac{{25}}{8}} \right| = \frac{{25}}{8} = 3{,}125$ mét.