Đề kiểm tra Hàm số bậc hai lớp 10 (có lời giải) - Đề 2

Chọn A

$y = {x^2} - 4x + 1$$= {\left( {x - 2} \right)^2} - 3 \ge - 3$.

Dấu xảy ra khi và chỉ khi $x = 2$.

Vậy hàm số đã cho đạt giá trị nhỏ nhất là $- 3$ tại $x = 2$.

Chọn D

Trục đối xứng $x = 2$. Ta có $a = 1 > 0$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ;\,2} \right)$ và đồng biến trên khoảng $\left( {2;\, + \infty } \right)$.

Chọn D

+ Có $a = 3$; $b = - 2$; $c = 4$.

+ Trục đối xứng của parabol là $x = \frac{{ - b}}{{2a}}$$= \frac{1}{3}$.

Chọn A

Ta có bảng biến thiên của hàm số $y = {x^2} - 2x + 2m + 3$ trên đoạn $\left[ {2\,;\,5} \right]$:

Do đó giá trị nhỏ nhất trên đoạn $\left[ {2\,;\,5} \right]$ của hàm số $y = {x^2} - 2x + 2m + 3$ bằng $2m + 3$.

Theo giả thiết $2m + 3 = - 3$$\Leftrightarrow m = - 3$.

Chọn C

Ta có đồ thị hàm số $y = m{x^2} - 2mx - {m^2} - 2$ là parabol có đỉnh $I\left( {1; - {m^2} - m - 2} \right)$.

$I \in d:\,y = x - 3$ $\Leftrightarrow - {m^2} - m - 2 = 1 - 3$ $\Leftrightarrow {m^2} + m = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = - 1\end{array} \right.$$\Rightarrow m \in \left( { - 3;3} \right)$.

Chọn A

Vì $M \in \left( P \right)$, $N \in \left( P \right)$, $P \in \left( P \right)$ nên ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}c = - 1\\a + b + c = - 1\\a - b + c = 1\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 1\\c = - 1\end{array} \right.$.

Vậy $\left( P \right):y = - {x^2} - x - 1$.

Chọn A

Nhận xét: Hàm số đi qua điểm $A\left( {0;6} \right)$; đạt cực tiểu bằng $4$ tại $x = 2$ nên đồ thị hàm số đi qua $I\left( {2;4} \right)$ và nhận $x = 2$ làm trục đối xứng, hàm số cũng đi qua điểm $A\left( {0;6} \right)$ suy ra:

$\left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - b}}{{2a}} = 2\\4a + 2b + c = 4\\c = 6\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b = - 2\\c = 6\end{array} \right.$$\Rightarrow abc = - 6$.

Chọn D

Parabol $\left( P \right)$ có dạng $y = a{x^2} + bx + c$ $\left( {a \ne 0} \right)$.

Do $I \in \left( P \right) \Rightarrow c = - 1$.

$I\left( {0;\, - 1} \right)$ là đỉnh của $\left( P \right)$$\Rightarrow \frac{{ - b}}{{2a}} = 0$$\Rightarrow b = 0$.

Lại có $A\left( {2;\,3} \right) \in \left( P \right)$$\Rightarrow 3 = 4a + 2b + c$$\Rightarrow a = 1$.

Nên $\left( P \right):\,y = {x^2} - 1$.

Chọn D

Phương trình hoành độ giao điểm: ${x^2} - 7x + 12 = - x + 4 \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 2 \Rightarrow y = 2}\\{x = 4 \Rightarrow y = 0}\end{array}} \right.$

Chọn C

Ta có ${x^2}--8x + 5 = 0$ $\Leftrightarrow$ ${x^2} = 8x - 5$.

Do đó nghiệm của phương trình ${x^2}--8x + 5 = 0$ có thể xem là hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số $y = {x^2}$ và $y = 8x - 5$.

Chọn B

Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( P \right)$ và $\left( d \right)$ là

${x^2} - 3x + 2 = x - 1$ $\Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.$.

Vậy hai giao điểm của $\left( P \right)$ và $\left( d \right)$ là $\left( {1;0} \right)$; $\left( {3;2} \right)$.

Chọn A

$\left( {m - 2} \right)x + my = - 6$$\Leftrightarrow \left( {x + y} \right)m - 2x + 6 = 0{\rm{ }}\left( * \right)$

Phương trình $\left( * \right)$luôn đúng với mọi $m$ khi $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 0\\ - 2x + 6 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = - 3\end{array} \right.$

Vậy ${d_m}$ luôn đi qua điểm cố định $\left( {3; - 3} \right)$.

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Sai

Tập xác định $D = \mathbb{R}$, đỉnh $I( - 1; - 4)$, trục đối xứng là đường thẳng $x = - 1$.

Giao điểm với trục $Oy$ là $A(0; - 3)$, giao điểm với trục $Ox$ là $B(1;0),C( - 3;0)$.

Ta có đồ thị như Hình.

a) Đúng

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

Ta có $a = - 1 < 0$ nên parabol quay bề lõm xuống dưới, có toạ độ đỉnh $I\left( {\frac{5}{2};\frac{9}{4}} \right)$

và trục đối xứng là $x = \frac{5}{2}$. Giao điểm của đồ thị với trục tung là $C(0; - 4)$. Điểm đối xứng với $C$ qua trục đối xứng là $D\left( {5; - 4} \right)$. Giao điểm của đồ thị với trục hoành là $A(1;0)$ và $B(4;0)$.

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

Tập xác định $D = \mathbb{R}$, đỉnh $I(2; - 4)$, trục đối xứng là đường thẳng $x = 2$.

Giao điểm với trục $Oy$ là $O(0;0)$, giao điểm với trục $Ox$ là $O(0;0),B(4;0)$. Ta có đồ thị như Hình.

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Sai

a) $y = - 2{x^2} + 1$ là hàm số bậc hai với $a = - 2,b = 0,c = 1$.

b) $y = - x\left( {3{x^2} + 2x} \right)$ không là hàm số bậc hai.

c) $y = ( - 6x + 1)(8x - 2)$ là hàm số bậc hai vì $y = ( - 6x + 1)(8x - 2) = - 48{x^2} + 20x - 2$ với $a = - 48,b = 20,c = - 2$.

d) $y = 0{x^2} + 6x + 5$ không là hàm số bậc hai vì $a = 0$.

$(P)$ có trục đối xứng $x = - \frac{b}{{2a}} = \frac{4}{{2a}} = 2 \Rightarrow a = 1;(P)$ lại qua $M(3;0)$ $\Rightarrow 0 = a{.3^2} - 4.3 + c\mathop \Rightarrow \limits^{a = 1} c = 3$.

Vậy hàm số bậc hai được xác định: $y = {x^2} - 4x + 3$.

$(P)$ qua hai điểm $A(3;6)$ và $I(1;4)$ nên $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{9a + 3b + c = 6}\\{a + b + c = 4}\end{array}} \right.$ (1).

Mặt khác, hoành độ đỉnh: ${x_I} = - \frac{b}{{2a}} = 1 \Rightarrow 2a + b = 0$ (2).

Giải hệ gồm (1), (2) suy ra: $a = \frac{1}{2},b = - 1,c = \frac{9}{2}$. Vậy $(P):y = \frac{1}{2}{x^2} - x + \frac{9}{2}$.

Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( {{P_1}} \right)$ và $\left( {{P_2}} \right):2{x^2} - 2x + 2 = {x^2} + 2x - 1$ $\Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 1}\\{x = 3}\end{array}} \right.$. Với $x = 1$ thì $y = 2$; với $x = 3$ thì $y = 14$.

Vậy hai parabol đã cho cắt nhau tại hai điểm: $(1;2),(3;14)$.

Dựng trục $Oxy$ như hình vẽ.

Gọi $(P):y = a{x^2} + bx + c(a \ne 0)$.

Ta có $(P)$ qua các điểm $I(0;4),E(2;3),F( - 2;3)$ nên $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{c = 4}\\{4a + 2b + c = 3}\\{4a - 2b + c = 3}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{a = - \frac{1}{4}}\\{b = 0}\\{c = 4}\end{array}} \right.} \right.$

Ta có $(P):y = - \frac{1}{4}{x^2} + 4$.

Hai điểm $A,B$ là giao điểm của $(P)$ với $Ox$ nên hoành độ thỏa mãn $- \frac{1}{4}{x^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 4$.

Do vậy $A( - 4;0),B(4;0) \Rightarrow AB = 8$.

$+$ Ta có: $- \frac{b}{{2a}} = - \frac{{{m^2} - 8}}{{2 \cdot ( - 1)}} = \frac{{{m^2} - 8}}{2}$

Vì $- 1 < 0$: hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { - \infty ;\frac{{{m^2} - 8}}{2}} \right)$, nghịch biến trên khoảng $\left( {\frac{{{m^2} - 8}}{2}; + \infty } \right)$

+ Để hàm số đồng biến trên khoảng $( - \infty ; - 3)$ thì:

$( - \infty ; - 3) \subset \left( { - \infty ;\frac{{{m^2} - 8}}{2}} \right) \Rightarrow \frac{{{m^2} - 8}}{2} \ge - 3 \Leftrightarrow {m^2} - 2 \ge 0 \Leftrightarrow (m - \sqrt 2 )(m + \sqrt 2 ) \ge 0$

Trường hợp 1: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{m - \sqrt 2 \le 0}\\{m + \sqrt 2 \le 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{m \le \sqrt 2 }\\{m \le - \sqrt 2 }\end{array} \Rightarrow m \le - \sqrt 2 } \right.} \right.$

Trường hợp 2: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{m - \sqrt 2 \ge 0}\\{m + \sqrt 2 \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{m \ge \sqrt 2 }\\{m \ge - \sqrt 2 }\end{array} \Rightarrow m \ge \sqrt 2 } \right.} \right.$

Vậy, $m \in ( - \infty ; - \sqrt 2 ] \cup [\sqrt 2 ; + \infty )$ là các giá trị cần tìm.