Đề kiểm tra Hàm số bậc hai lớp 10 (có lời giải) - Đề 1

Trục đối xứng của parabol $y = a{x^2} + bx + c$ là đường thẳng $x = - \frac{b}{{2a}}$.

Trục đối xứng của parabol $y = - {x^2} + 5x + 3$ là đường thẳng $x = \frac{5}{2}$.

$$f\left( x \right) = {x^2} - 4x + 5$$

TXĐ: $D = \mathbb{R}$.

Tọa độ đỉnh $I\left( {2;\,1} \right)$.

Hàm số nghịch biến trên $\left( { - \infty ;\,2} \right)$, đồng biến trên $\left( {2;\, + \infty } \right)$.

Vì $\left( P \right)$ có hoành độ đỉnh bằng $- 3$ và đi qua điểm $M\left( { - 2;1} \right)$ nên ta có hệ

$\left\{ \begin{array}{l} - \frac{{ - 4}}{{2a}} = - 3\\4a + 8 + c = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4 = 6a\\4a + c = - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{2}{3}\\c = - \frac{{13}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow S = a + c = - 5$

Đồ thị có bề lõm quay xuống dưới nên $a < 0$. Loại phương án D.

Trục đối xứng: $x = 2$ do đó chọn A.

Hoành độ giao điểm của $\left( P \right)$ và $d$ là nghiệm của phương trình:

${x^2} - 4x = - x - 2\, \Leftrightarrow \,{x^2} - 3x + 2 = 0\, \Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.$.

Vậy tọa độ giao điểm của $\left( P \right)$ và $d$ là $M\left( {1;\, - 3} \right)$, $N\left( {2;\, - 4} \right)$.

Phương trình hoành độ giao điểm: ${x^2} + 1 = mx - 3$$\Leftrightarrow {x^2} - mx + 4 = 0$

Đường thẳng $y = mx - 3$ không có điểm chung với Parabol $y = {x^2} + 1$ $\Leftrightarrow$Phương trình vô nghiệm $\Leftrightarrow \Delta < 0$ $\Leftrightarrow {m^2} - 16 < 0$ $\Leftrightarrow - 4 < m < 4$.

Vì $m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 3;\, - 2;\, - 1;\,0;\,1;\,2;\,3} \right\}$.

Vì $\left( P \right)$ đi qua hai điểm $M\left( {1;7} \right)$ và $N\left( { - 2;10} \right)$ nên tọa độ hai điểm này thỏa mãn phương trình parabol $\left( P \right)$. Do đó ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}y\left( 1 \right) = 7\\y\left( { - 2} \right) = 10\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 2 + b = 7\\4a - 4 + b = 10\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 5\\4a + b = 14\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 2\end{array} \right.$.

Vậy $S = a + b = 5$.

$pt \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = m$.

Ta có đồ thị hàm số $y = {x^2} - 4x + 3$ như hình vẽ.

$ycbt \Leftrightarrow - 1 < m < 0$.

Vậy không có giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Gọi phương trình của parabol quỹ đạo là $h = a{t^2} + bt + c$.

Từ giả thiết suy ra parabol đi qua các điểm $\left( {0;1;2} \right)$, $\left( {1;8;5} \right)$ và $\left( {2;6} \right)$.

Từ đó ta có

$\left\{ \begin{array}{l}c = 1{,}2\\a + b + c = 8{,}5\\4a + 2b + c = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 4{,}9\\b = 12{,}2\\c = 1{,}2\end{array} \right.$.

Vậy phương trình của parabol quỹ đạo là $h = - 4{,}9{t^2} + 12{,}2t + 1{,}2$.

Giải phương trình

$h = 0 \Leftrightarrow - 4{,}9{t^2} + 12{,}2t + 1{,}2 = 0$ ta tìm được một nghiệm dương là $t \approx 2{,}58$.

a) Đúng

b) Sai

c) Sai

d) Đúng

a) Là hàm số bậc hai với $a = - 2,b = 3,c = - \frac{1}{2}$.

b) Không phải là hàm số bậc hai vì chứa ${x^4}$.

c) Không phải là hàm số bậc hai vì chứa ${x^3}$.

d) Là hàm số bậc hai với $a = {m^2} + 6m + 10 = {(m + 3)^2} + 1 > 0,\quad b = m + 1$, $c = - 3{m^2} + 1$.

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Sai

Ta có $a = 2 > 0$ nên parabol quay bề lõm lên trên, có tọa độ đỉnh $I( - 1; - 1)$ và

trục đối xứng là $x = - 1$. Giao điểm của đồ thị với trục tung là $M(0;1)$. Điểm

đối xứng với $M$ qua trục đối xứng là $N\left( { - 2;1} \right)$. Đồ thị đi qua các điểm $Q\left( {1;7} \right)$ và $P( - 3;7)$.

a) Sai

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

a) Trục đối xứng của đồ thị là đường thẳng $x = 2$. Đỉnh $I$ của đồ thị hàm số có tọa độ là $(2; - 2)$.

b) Hàm số bậc hai có dạng $y = a{x^2} + bx + c(a \ne 0)$. Đồ thị hàm số đi qua điểm $A(0;6)$ nên $a \cdot {0^2} + b \cdot 0 + c = 6 \Rightarrow c = 6$.

Mặt khác, đồ thị có toạ độ đỉnh là $I(2; - 2)$ nên ta có:

$\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{\left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{{2a}} = 2\\a \cdot {2^2} + b \cdot 2 + 6 = - 2\end{array} \right.}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\begin{array}{l}4a + b = 0\\4a + 2b = - 8\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\begin{array}{l}a = 2\\b = - 8\end{array}\end{array}{\rm{. }}} \right.} \right.$

Vậy hàm số đã cho là $y = 2{x^2} - 8x + 6$.

a) Sai

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

Ta có $a = 1 > 0$ nên parabol quay bề lõm lên trên, có toạ độ đỉnh $I(3; - 4)$ và

trục đối xứng là $x = 3$. Giao điểm của đồ thị với trục tung là $C(0;5)$. Điểm đối

xứng với $C$ qua trục đối xứng là $D(6;5)$. Giao điểm của đồ thị với trục hoành là

$A(1;0)$ và $B(5;0)$.

Parabol $y = a{x^2} + bx + c$ đi qua điểm $M(0;2)$ suy ra $a{.0^2} + b.0 + c = 2 \Rightarrow c = 2.$ Mặt khác, đỉnh $I$ của parabol có toạ độ là $(2; - 1)$ nên:

$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - \frac{b}{{2a}} = 2}\\{a \cdot {2^2} + b \cdot 2 + 2 = - 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{b = - 4a}\\{4a + 2b = - 3}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{a = \frac{3}{4}}\\{b = - 3}\end{array}} \right.} \right.} \right.$

Vậy parabol cần tìm là $y = \frac{3}{4}{x^2} - 3x + 2$.

Giả sử gốc toạ độ tại điểm $F$. Hàm số của đồ thị biểu diễn đường đi của viên bi có dạng $y = a{x^2} + bx + c(a \ne 0)$. Theo hình vẽ ta có: đồ thị có đỉnh là $C\left( {1;7} \right)$ và đi qua điểm $A(0;2)$ nên ta có

$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - \frac{b}{{2a}} = 1}\\{a \cdot {1^2} + b \cdot 1 + c = 7}\\{a \cdot {0^2} + b \cdot 0 + c = 2}\end{array}} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{2a + b = 0}\\{a + b + 2 = 7}\\{c = 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{a = - 5}\\{b = 10}\\{c = 2.}\end{array}} \right.} \right.$

Do đó, đồ thị hàm số biểu diễn đường đi của viên bi là $y = - 5{x^2} + 10x + 2$.

Điểm $E$ là giao điểm của đồ thị với trục hoành nên hoành độ của điểm $E$ là nghiệm

của phương trình $- 5{x^2} + 10x + 2 = 0$ phương trình này và kết hợp với điều kiện ${x_E} > 0$ ta nhận ${x_1} = \frac{{5 + \sqrt {35} }}{5}$.

Vậy khoảng cách từ vị trí $E$ đến vị trí $F$ là $\frac{{5 + \sqrt {35} }}{5}$ mét.

Sau một năm số lượng cá trong hồ là $1000 + 1000x = 1000(1 + x)$ (con).

Sau hai năm số lượng cá trong hồ là $1000(1 + x) + 1000(1 + x)x = 1000{(1 + x)^2}$ (con).

Điều kiện $x > 0$. Để số lượng cá trong hồ sau hai năm là 36000 thì ta có: $1000{(1 + x)^2} = 36000 \Leftrightarrow {(1 + x)^2} = 36 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 5}\\{x = - 7\left( l \right)}\end{array}} \right.$

Vậy tốc độ tăng thêm số lượng cá trong hồ sau mỗi năm là 5 lần số lượng cá ban đầu.

$(P)$ qua $A(1;0)$ nên $0 = a{.1^2} + b.1 + 2 \Leftrightarrow a + b = - 2$ (1).

(P) có trục đối xứng $x = - \frac{b}{{2a}} = \frac{3}{2} \Rightarrow 3a + b = 0$ (2). Từ (1) và (2) suy ra: $a = 1,b = - 3$.

Vậy hàm số bậc hai được xác định: $y = {x^2} - 3x + 2$.

Dựng hệ trục $Oxy$ như hình vẽ và gọi hàm số tương ứng cổng Arch là: $y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)$.

Vì parabol qua ba điểm $A\left( {0;0} \right),B\left( {162;0} \right),M\left( {10;43} \right)$ nên

$\left\{ \begin{array}{l}c = 0\\{162^2}a + 162b + c = 0\\{10^2}a + 10b + c = 43\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{{43}}{{1520}}\\b = \frac{{3483}}{{760}}\end{array} \right.$

Do vậy ta xác định được hàm số là $y = - \frac{{43}}{{1520}}{x^2} + \frac{{3483}}{{760}}x$.

Đỉnh $I$ của parabol có tọa độ: ${x_I} = - \frac{b}{{2a}} = 81,{y_I} \approx 185{,}6$.

Vậy, chiều cao của cổng gần bằng $185{,}6\;m$.