Đề kiểm tra giữa học kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 2

Đáp án đúng là: B

Ta có: x$^{2}$ – 8x + 7 ≥ 0 ⇔ $\left[ \begin{array}{l}x \le 1\\x \ge 7\end{array} \right.$.

Suy ra tập nghiệm của bất phương trình là S = (– ∞; 1] ∪ [7; + ∞].

Do đó, [6; + ∞) ⊄ S.

Đáp án đúng là: B

Phương trình – x$^{2}$ + 2(m – 1)x + m – 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ∆' > 0

⇔ (m – 1)$^{2}$ – (– 1) . (m – 3) > 0 ⇔ m$^{2}$ – m – 2 > 0 $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < - 1\\m > 2\end{array} \right.$.

Vậy m ∈ (– ∞; – 1) ∪ (2; + ∞).

Đáp án đúng là: B

Bình phương hai vế của phương trình $\sqrt { - {x^2} + 4x} = 2x - 2$ ta được

– x$^{2}$ + 4x = 4x$^{2}$ – 8x + 4.

Sau khi thu gọn ta được 5x$^{2}$ – 12x + 4 = 0. Từ đó tìm được x = 2 hoặc $x = \frac{2}{5}$.

Thay lần lượt hai giá trị này của x vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có x = 2 thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là x = 2.

Đáp án đúng là: A

Cách 1. Thay lần lượt các giá trị ở từng đáp án vào cho đến khi tìm được giá trị thỏa mãn.

Cách 2. Giải phương trình

Bình phương hai vế của phương trình $\sqrt {3{x^2} - 6x + 1} = \sqrt {{x^2} - 3}$ ta được

3x$^{2}$ – 6x + 1 = x$^{2}$ – 3.

Rút gọn ta được x$^{2}$ – 3x + 2 = 0. Từ đó ta tìm được x = 1 hoặc x = 2.

Thay lần lượt hai giá trị này của x vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có x = 2 thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là x = 2.

Đáp án đúng là: C

Ta có:

$\sqrt { - {x^2} + 4x - 3} = \sqrt {2m + 3x - {x^2}}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {x^2} + 4x - 3 \ge 0\\ - {x^2} + 4x - 3 = 2m + 3x - {x^2}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 \le x \le 3\\x = 2m + 3\end{array} \right.$

Để phương trình (1) có nghiệm thì 1 ≤ 2m + 3 ≤ 3 ⇔ – 1 ≤ m ≤ 0 ⇒ m ∈ [– 1; 0].

Suy ra a = – 1, b = 0, do đó a$^{2}$ + b$^{2}$ = 1.

Đáp án đúng là: C

Hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ cùng phương $\Leftrightarrow \overrightarrow a = k\overrightarrow b$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 = k\left( {2m + 6} \right)\\ - m = k\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1\\m = - 2\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;\,\, - 1} \right),\,\,\overrightarrow {AC} = \left( {4;\,\, - 3} \right)$.

Do đó, $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \left( { - 2} \right) \cdot 4 + \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 3} \right) = - 8 + 3 = - 5$.

Đáp án đúng là: B

Cách 1. Thay tọa độ các điểm A, B lần lượt vào các phương trình trong các đáp án thì thấy đáp án B không thỏa mãn.

Cách 2. Nhận thấy rằng các phương trình ở các đáp án A, C, D thì vectơ chỉ phương của các đường thẳng đó cùng phương, riêng chủ có đáp án B thì không. Do đó chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: A

Khoảng cách từ điểm M(5; – 1) đến d: 3x + 2y + 13 = 0 là

$d\left( {M,\,\,d} \right) = \frac{{\left| {3 \cdot 5 + 2 \cdot \left( { - 1} \right) + 13} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2}} }} = \frac{{26}}{{\sqrt {13} }} = 2\sqrt {13}$.

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng a có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {6;\,\, - 5} \right)$;

Đường thẳng b có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 6;\,\,5} \right)$ nên nó có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {5;\,6} \right)$.

Ta thấy: $\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} = 6 \cdot 5 + \left( { - 5} \right) \cdot 6 = 0$.

Suy ra góc giữa hai đường thẳng bằng 90°.

Đáp án đúng là: D

Đường tròn đường kính AB có tâm là trung điểm I của AB và có bán kính bằng nửa độ dài đoạn AB.

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {4;\,\, - 4} \right)$, suy ra $AB = \sqrt {{4^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} = 4\sqrt 2$.

Suy ra bán kính đường tròn là $R = \frac{{AB}}{2} = 2\sqrt 2$.

Tọa độ tâm là $\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{1 + 5}}{2} = 3\\{y_I} = \frac{{3 + \left( { - 1} \right)}}{2} = 1\end{array} \right.$. Suy ra I(3; 1).

Phương trình đường tròn cần lập là: (x – 3)$^{2}$ + (y – 1)$^{2}$ = 8.

Đáp án đúng là: A

Ta có: 1$^{2}$ + 5$^{2}$ – 2 . 1 – 4 . 5 – 4 = 0, do đó A thuộc đường tròn (C).

Đường tròn (C) có tâm là I(1; 2). Tiếp tuyến của (C) tại A(1; 5) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {AI} = \left( {0;\, - 3} \right)$, nên có phương trình

0(x – 1) – 3(y – 5) = 0 hay y – 5 = 0.

Đáp án đúng là: B

Ta có: 16x$^{2}$ + 25y$^{2}$ = 400 $\Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1$.

Do đó, elip (E) có a = 5, b = 4, nên c = 3.

Vậy (E) có trục nhỏ bằng 2b = 8, có trục lớn bằng 2a = 10, có tiêu cự bằng 2c = 6 và có các tiêu điểm F$_{1}$(– 3; 0) và F$_{2}$(3; 0). Do đó, đáp án B sai.

Đáp án đúng là: D

Ta có: a$^{2}$ = 5 và b$^{2}$ = 4 nên c$^{2}$ = a$^{2}$ + b$^{2}$ = 9, suy ra c = 3.

Vậy tiêu cự của hypebol là 2c = 6.

Đáp án:

a) Gọi đường thẳng cần lập là d.

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng 3x + 5y – 2 = 0 cũng là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng d nên phương trình đường thẳng d có dạng 3x + 5y + c = 0 (c ≠ – 2).

Vì d đi qua điểm M(– 1; – 4) nên 3 . (– 1) + 5 . (– 4) + c = 0. Suy ra c = 23 (t/m).

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng d là 3x + 5y + 23 = 0.

b) Gọi đường thẳng cần lập là a.

Đường thẳng a vuông góc với đường thẳng 2x + 3y + 7 nên lấy vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {2;\,\,3} \right)$ của đường thẳng 2x + 3y + 7 là vectơ chỉ phương của đường thẳng a. Khi đó, một vectơ pháp tuyến của đường thẳng a là $\overrightarrow {{n_a}} = \left( {3;\,\, - 2} \right)$.

Đường thẳng a đi qua điểm N(1; 1) và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_a}} = \left( {3;\,\, - 2} \right)$ nên có phương trình là 3(x – 1) – 2(y – 1) = 0 hay 3x – 2y – 1 = 0.

Đáp án:

Parabol có phương trình chính tắc là: y$^{2}$ = 2px (p > 0).

Vì AB = 40 cm và h = 30 cm nên A(30; 20).

Do A(30; 20) thuộc parabol nên ta có: 20$^{2}$ = 2p . 30 $\Rightarrow p = \frac{{20}}{3}$.

Vậy parabol có phương trình chính tắc là: y$^{2}$ = $\frac{{40}}{3}x$.

Diện tích hình chữ nhật bên trong khung ảnh (không bao gồm viền) là 7 . 13 = 91 (cm$^{2}$).

Vì độ rộng viền xung quanh là x cm nên x > 0 và kích thước của khung ảnh là (7 + 2x) cm × (13 + 2x) cm.

Diện tích viền khung ảnh là: (7 + 2x)(13 + 2x) – 91 = 4x$^{2}$ + 40x (cm$^{2}$).

Theo bài ra ta có: 4x$^{2}$ + 40x ≤ 44.

Giải bất phương trình trên ta được x ∈ [– 11; 1]. Do x > 0 nên x ∈ (0; 1].

Vậy độ rộng viền khung ảnh lớn nhất là 1 cm.