Đề kiểm tra giữa học kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 1

Đáp án đúng là: B

Phương trình x$^{2}$ – (m + 1)x + 1 = 0 vô nghiệm khi và chỉ khi ∆ < 0 ⇔ (m + 1)$^{2}$ – 4 < 0

⇔ m$^{2}$ + 2m – 3 < 0 ⇔ – 3 < m < 1.

Đáp án đúng là: B

Bình phương hai vế của phương trình $\sqrt {4 - 3{x^2}} = 2x - 1$ ta được

4 – 3x$^{2}$ = 4x$^{2}$ – 4x + 1.

Sau khi thu gọn ta được 7x$^{2}$ – 4x – 3 = 0. Từ đó tìm được x = 1 hoặc $x = - \frac{3}{7}$.

Thay lần lượt hai giá trị này của x vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có x = 1 thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là x = 1.

Đáp án đúng là: A

Cách 1. Thay lần lượt các giá trị ở từng đáp án vào cho đến khi tìm được giá trị thỏa mãn.

Cách 2. Giải phương trình

Bình phương hai vế của phương trình $\sqrt {3{x^2} - 6x + 1} = \sqrt {{x^2} - 3}$ ta được

3x$^{2}$ – 6x + 1 = x$^{2}$ – 3.

Rút gọn ta được x$^{2}$ – 3x + 2 = 0. Từ đó ta tìm được x = 1 hoặc x = 2.

Thay lần lượt hai giá trị này của x vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có x = 2 thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là x = 2.

Đáp án đúng là: A

$\overrightarrow c = \overrightarrow a + 3\overrightarrow b$ = (2; – 1) + 3 . (3; 4) = (2; – 1) + (9; 12) = (2 + 9; – 1 + 12) = (11; 11).

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\cos \left( {\overrightarrow x ,\,\overrightarrow y } \right) = \frac{{\overrightarrow x \cdot \overrightarrow y }}{{\left| {\overrightarrow x } \right| \cdot \left| {\overrightarrow y } \right|}} = \frac{{1.\left( { - 2} \right) + \left( { - 2} \right).\left( { - 6} \right)}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

Do đó, $\left( {\overrightarrow x ,\,\overrightarrow y } \right) = 45^\circ$.

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng d: $\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + t\\y = - 9 - 2t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = x - 5\\y = - 9 - 2t\end{array} \right.$⇒ y = – 9 – 2 . (x – 5) ⇔ 2x + y – 1 = 0.

Đáp án đúng là: D

Khoảng cách từ điểm A(1; 1) đến d: 5x – 12y – 6 = 0 là

$d\left( {A,\,\,d} \right) = \frac{{\left| {5 \cdot 1 - 12 \cdot 1 - 6} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {{\left( { - 12} \right)}^2}} }} = 1$.

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng a có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {\sqrt 3 ;\,\, - 1} \right)$;

Đường thẳng b có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;\, - \sqrt 3 } \right)$.

Áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng ta có:

$\cos \left( {a,\,\,b} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {\sqrt 3 \cdot 1 + \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - \sqrt 3 } \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Suy ra góc giữa hai đường thẳng bằng 30°.

Đáp án đúng là: A

Đường tròn có tâm I(3; 4) tiếp xúc với đường thẳng ∆: 3x + 4y – 10 = 0 nên bán kính đường tròn chính là khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng ∆.

Ta có: R = d(I, ∆) = $\frac{{\left| {3 \cdot 3 + 4 \cdot 4 - 10} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 3$.

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: (x – 3)$^{2}$ + (y – 4)$^{2}$ = 9.

Đáp án đúng là: D

Đường tròn (C) có tâm là I(2; – 2). Tiếp tuyến của (C) tại M(1; 0) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {MI} = \left( {1;\, - 2} \right)$, nên có phương trình

1(x – 1) – 2(y – 0) = 0 hay x – 2y – 1 = 0.

Đáp án đúng là: D

Từ phương trình (E) ta suy ra a = 5, b = 3, do đó $c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = \sqrt {{5^2} - {3^2}} = 4$.

Tiêu cự của (E) là 2c = 8.

Đáp án đúng là: D

Xét hypebol (H) có phương trình chính tắc là $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\,\left( {a,\,b > 0} \right)$.

Từ giả thiết ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{c}{a} = 2\\2c = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\c = 2\end{array} \right. \Rightarrow b = \sqrt {{2^2} - {1^2}} = \sqrt 3$.

Vậy (H) có phương trình là: $\frac{{{x^2}}}{{{1^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}}} = 1\,\,\,hay\,\,\,{x^2} - \frac{{{y^2}}}{3} = 1$.

Đáp án:

a) Nếu có thêm x người khách thì số khách là 20 + x (người). Vì cứ có thêm 1 người, giá vé sẽ giảm 10 000 đồng/người cho toàn bộ hành khách, khi đó giá vé của mỗi người là:

300 000 – x . 10 000 = 300 000 – 10 000x (đồng).

Theo đó, doanh thu của công ty là:

(20 + x)(300 000 – 10 000x) = – 10 000x$^{2}$ + 100 000x + 6 000 000.

b) Lợi nhuận của công ty là:

(– 10 000x$^{2}$ + 100 000x + 6 000 000) – 4 000 000 = – 10 000x$^{2}$ + 100 000x + 2 000 000.

Xét tam thức bậc hai f(x) = – 10 000x$^{2}$ + 100 000x + 2 000 000, ta thấy f(x) có hai nghiệm là x$_{1}$ = – 10, x$_{2}$ = 20.

Áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta có bảng xét dấu sau:

Công ty lãi khi f(x) > 0, tức là – 10 < x < 20. Vì x ≥ 0 nên ta có 0 ≤ x < 20.

Vậy số khách từ người thứ 21 trở lên có ít hơn 20 người thì công ty có lãi.

Đáp án:

Gọi tọa độ các điểm A, B và M là A(x$_{A}$; y$_{A}$); B(x$_{B}$; y$_{B}$) và M(x$_{M}$; y$_{M}$).

Vì A thuộc d$_{1}$ nên 2x$_{A}$ – y$_{A}$ – 2 = 0. Suy ra y$_{A}$ = 2x$_{A}$ – 2.

Vì B thuộc d$_{2}$ nên x$_{B}$ + y$_{B}$ + 3 = 0. Suy ra y$_{B}$ = – x$_{B}$ – 3.

Do M là trung điểm của đoạn AB nên

$\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = 2{x_M}\\{y_A} + {y_B} = 2{y_M}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = 6\\\left( {2{x_A} - 2} \right) + \left( { - {x_B} - 3} \right) = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = \frac{{11}}{3}\\{y_A} = \frac{{16}}{3}\end{array} \right.$.

Suy ra $A\left( {\frac{{11}}{3};\,\,\frac{{16}}{3}} \right)$.

Đường thẳng ∆ đi qua điểm A và điểm M.

Ta có: $\overrightarrow {AM} = \left( { - \frac{2}{3};\,\, - \frac{{16}}{3}} \right)$$\Rightarrow \overrightarrow {{u_{AM}}} = \left( {1;\,\,8} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{AM}}} = \left( {8;\,\, - 1} \right)$.

Đường thẳng ∆ đi qua M(3; 0) và có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_{AM}}}$ nên có phương trình là

8(x – 3) – (y – 0) = 0 hay 8x – y – 24 = 0.

Đáp án:

(C) có tâm I(1; 2), bán kính R = 2.

Phương trình đường thẳng ∆ đi qua I, vuông góc với d có dạng x + y + m = 0.

I (1; 2) ∈ ∆, suy ra 1 + 2 + m = 0 ⇒ m = – 3.

Do đó, phương trình đường thẳng ∆: x + y – 3 = 0.

Gọi H là giao điểm của ∆ và d. Tọa độ của H là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{\rm{x}} + {\rm{y}} - 3 = 0\\{\rm{x}} - {\rm{y}} - 1 = 0\end{array} \right.$

Từ đó tìm được H(2; 1).

Chứng minh được H là trung điểm của II*'* với I*'* là tâm của (C*'). Suy ra I'*(3; 0)

Vì (C), (C*') đối xứng nhau qua d nên R = R'*.

Vậy phương trình (C*'*): (x – 3)$^{2}$ + y$^{2}$ = 4.

Tọa độ giao điểm của (C), (C*'*) là nghiệm của hệ phương trình:

$$\left\{ \begin{array}{l}{\left( {{\rm{x}} - 1} \right)^2} + {\left( {{\rm{y}} - 2} \right)^2} = 4\\{\left( {{\rm{x}} - 3} \right)^2} + {y^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {{\rm{x}} - 1} \right)^2} + {\left( {{\rm{y}} - 2} \right)^2} = 4\\{\rm{x}} - {\rm{y}} - 1 = 0\end{array} \right.$$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{{\rm{x}}_{\rm{1}}} = 1 \Rightarrow {{\rm{y}}_{\rm{1}}} = 0\\{{\rm{x}}_{\rm{2}}} = 3 \Rightarrow {{\rm{y}}_2} = 2\end{array} \right. \Rightarrow {\rm{A}}\left( {1;0} \right),\,\,{\rm{B}}\left( {3;2} \right)$ là giao điểm của (C), (C*'*).