Đề kiểm tra Giới hạn của hàm số lớp 11 (có lời giải) - Đề 1

Chọn D

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {2{x^2} - 3x + 1} \right) = 0$.

Chọn B

Ta có $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{x - 3}}{{x + 3}}$$= \frac{{3 - 3}}{{3 + 3}} = 0$.

Chọn B

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {3{x^2} - 2x + 1} \right) = {3.1^2} - 2.1 + 1 = 2.$

Chọn B

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left( {{x^2} - x + 7} \right)$$= {\left( { - 1} \right)^2} - \left( { - 1} \right) + 7 = 9$.

Chọn D

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{2\left| {x + 1} \right| - 5\sqrt {{x^2} - 3} }}{{2x + 3}} = \frac{{2 - 5}}{{ - 1}} = 3$.

Chọn D

Ta có ${\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0,\,\forall x \ne 1$

Do đó để giới hạn bằng $+ \infty$ thì giới hạn của tử phải dương

Vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x + 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = + \infty .$

Có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x + {x^2} + {x^3} + ... + {x^{50}} - 50}}{{x - 1}}$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {1 + \left( {x + 1} \right) + \left( {{x^2} + x + 1} \right) + .... + \left( {{x^{49}} + {x^{48}} + ... + 1} \right)} \right]$

$= 1 + 2 + 3 + ..... + 50 = 25\left( {1 + 50} \right) = 1275.$

Vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = 1275$.

Chọn C

Dễ thấy $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 3x + 4}}{{x - 2}} = - 3$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 3x + 4}}{{x - 2}} = - 3$ (loại).

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( { - 3x + 4} \right) = - 2;\;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {x - 2} \right) = 0;\;x - 2 > 0,\forall x > 2$nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{ - 3x + 4}}{{x - 2}} = - \infty$

Chọn B

$\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( { - 2x + 1} \right) = - 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x - 1} \right) = 0\\x \to {1^ + } \Rightarrow x - 1 > 0\end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{ - 2x + 1}}{{x - 1}} = - \infty$

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - x + 1} + x - 2} \right)$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2} - x + 1 - {{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} - \left( {x - 2} \right)}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{3x - 3}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} - x + 2}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{3 - \frac{3}{x}}}{{ - \sqrt {1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} - 1 + \frac{2}{x}}}$$= - \frac{3}{2}$$\Rightarrow$ đáp án A đúng.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - x + 1} + x - 2} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\left( {\sqrt {1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} + 1 - \frac{2}{x}} \right)$.

Do $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x = + \infty$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} + 1 - \frac{2}{x}} \right) = 2 > 0$ nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\left( {\sqrt {1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} + 1 - \frac{2}{x}} \right) = + \infty$$\Rightarrow$ đáp án C đúng.

Do $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( {3x + 2} \right) = - 1 < 0$ và $x + 1 < 0$ với $\forall x < - 1$ nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{3x + 2}}{{x + 1}} = + \infty$$\Rightarrow$ đáp án B sai.

Do $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {3x + 2} \right) = - 1 < 0$ và $x + 1 > 0$ với $\forall x > - 1$ nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{3x + 2}}{{x + 1}} = - \infty$$\Rightarrow$ đáp án D đúng.

Chọn D

Do hàm số $f\left( x \right)$ có giới hạn hữu hạn khi $x$ dần tới $- 2$ nên $x = - 2$ là nghiệm của phương trình ${x^2} + ax + b = 0$, do đó ta $4 - 2a + b = 0$.

Ta viết lại hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{x - 2 + a}}{{x - 2}},x < - 2\\x + 1,x \ge - 2\end{array} \right.$

Mặt khác hàm số tồn tại giới hạn

$$\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f\left( 2 \right) \Leftrightarrow \frac{{ - 2 - 2 + a}}{{ - 2 - 2}} = - 1 \Leftrightarrow a = 8 \Rightarrow b = 12$$

Do đó $3a - b = 12$.

a) Đúng

b) Sai

c) Sai

d) Sai

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^4} - x} }}{{1 - 2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - x.\sqrt {{x^2} - \frac{1}{x}} }}{{x\left( {\frac{1}{x} - 2x} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} - \frac{1}{x}} }}{{\frac{1}{x} - 2x}} = + \infty$. Vậy A đúng.

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Sai

a) Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left( {{x^2} - x + 3} \right) = {( - 2)^2} - ( - 2) + 3 = 9$.

b) Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 6} \sqrt {\frac{1}{{x + 3}}} = \sqrt {\frac{1}{{6 + 3}}} = \frac{1}{3}$.

c) Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{(x - 2)(x - 1)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} (x - 1) = 2 - 1 = 1$.

d) Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{2{x^2} + 3x + 1}}{{{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{(2x + 1)(x + 1)}}{{(x - 1)(x + 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{2x + 1}}{{x - 1}} = \frac{{ - 2 + 1}}{{ - 1 - 1}} = \frac{1}{2}$.

a) Sai

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

a) Ta có: Giới hạn$\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f(x) = - 4$

b) Xét dãy số $\left( {{x_n}} \right)$ bất kì sao cho ${x_n} < - 1$ và ${x_n} \to - 1$, ta có: $f\left( {{x_n}} \right) = {x_n} - 2$.

Khi đó: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f(x) = \lim f\left( {{x_n}} \right) = - 1 - 2 = - 3$.

c) Xét dãy số $\left( {{x_n}} \right)$ bất kì sao cho ${x_n} > - 1$ và ${x_n} \to - 1$, ta có: $f\left( {{x_n}} \right) = \sqrt {x_n^2 + 1}$.

Khi đó: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f(x) = \lim f\left( {{x_n}} \right) = \sqrt {{{( - 1)}^2} + 1} = \sqrt 2$.

d) Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f(x) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f(x)$ (hay $- 3 \ne \sqrt 2$ ) nên không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} f(x)$.

a) Đúng

b) Sai

c) Sai

d) Đúng

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( { - 5{x^3} - 4x + 2} \right) = - 5 \cdot {0^3} - 4 \cdot 0 + 2 = 2$.

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{2x - 3{x^2}}}{{4x + 1}} = \frac{{2 \cdot ( - 1) - 3 \cdot {{( - 1)}^2}}}{{4 \cdot ( - 1) + 1}} = \frac{5}{3}$.

c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 5} \frac{{{x^2} + 2x - 15}}{{x + 5}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 5} \frac{{(x + 5)(x - 3)}}{{x + 5}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 5} (x - 3) = - 5 - 3 = - 8$.

d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 4} \frac{{{x^2} + 3x - 4}}{{{x^2} + 4x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 4} \frac{{(x - 1)(x + 4)}}{{x(x + 4)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 4} \frac{{x - 1}}{x} = \frac{{ - 4 - 1}}{{ - 4}} = \frac{5}{4}$.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^2} - 1} \right)g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^2}\left[ {\left( {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)g(x)} \right] = + \infty$

(do $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^2} = + \infty$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {\left( {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)g(x)} \right] = 1 > 0$ ).