Đề kiểm tra Giới hạn của dãy số lớp 11 (có lời giải) - Đề 2

Chọn D

Ta có: $\lim \frac{1}{{2n + 7}}$$= \lim \frac{{\frac{1}{n}}}{{2 + \frac{7}{n}}} = 0$.

Chọn B

Ta có $I = \lim \frac{{7{n^2} - 2{n^3} + 1}}{{3{n^3} + 2{n^2} + 1}} = \lim \frac{{\frac{7}{n} - 2 + \frac{1}{{{n^3}}}}}{{3 + \frac{2}{n} + \frac{1}{{{n^3}}}}} = - \frac{2}{3}.$

Chọn D

Ta có: $L = \lim \frac{{2n + 1}}{{2 + n - {n^2}}} = \lim \frac{{\frac{2}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{\frac{2}{{{n^2}}} + \frac{1}{n} - 1}} = 0$.

Chọn C

Có $\lim \,\frac{{n + 1}}{n} = \lim \,1 + \lim \,\frac{1}{n} = 1$.

Chọn C

$\lim \frac{{2{n^2} - 3}}{{1 - 2{n^2}}} = \lim \frac{{2 - \frac{3}{{{n^2}}}}}{{\frac{1}{{{n^2}}} - 2}} = - 1$.

Chọn A

$A = \lim \frac{{{n^2} + n}}{{12{n^2} + 1}} = \lim \frac{{1 + \frac{1}{n}}}{{12 + \frac{1}{{{n^2}}}}} = \frac{1}{{12}}$.

Vậy $A = \frac{1}{{12}}$.

Chọn A

$\mathop {\lim }\limits_{} \frac{{3{n^2} + 1}}{{{n^2} - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{} \frac{{3 + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{1 - \frac{2}{{{n^2}}}}} = 3$

Chọn A

$\lim {q^n} = 0\,\,\,(\left| q \right| < 1)$.

Chọn D

Ta có: $\lim \frac{{{2^n} + 1}}{{{{2.2}^n} + 3}} = \lim \frac{{1 + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}}}{{2 + 3.{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}}} = \frac{{1 + 0}}{{2 + 0}} = \frac{1}{2}$

Chọn C

Ta có $T = \lim \left( {\sqrt {{{16}^{n + 1}} + {4^n}} - \sqrt {{{16}^{n + 1}} + 3} } \right)$$= \lim \frac{{{4^n} - {3^n}}}{{\sqrt {{{16}^{n + 1}} + {4^n}} + \sqrt {{{16}^{n + 1}} + {3^n}} }}$

$= \lim \frac{{{4^n} - {3^n}}}{{\sqrt {{{16.16}^n} + {4^n}} + \sqrt {{{16.16}^n} + {3^n}} }}$$= \lim \frac{{1 - {{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^n}}}{{\sqrt {16 + {{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^n}} + \sqrt {16 + {{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^n}} }}$$= \frac{1}{{4 + 4}}$$= \frac{1}{8}$.

Ta có $0 < \left| {\frac{{\cos n + \sin n}}{{{n^2} + 1}}} \right| \le \frac{{\left| {\cos n} \right| + \left| {\sin n} \right|}}{{{n^2} + 1}} < \frac{2}{{{n^2} + 1}}$ và $\lim \frac{2}{{{n^2} + 1}} = 0$.

Suy ra $\lim \frac{{\cos n + \sin n}}{{{n^2} + 1}} = 0.$

a) Sai

b) Sai

c) Dúng

d) Sai

Chọn C

Nếu $\lim {u_n} = a > 0$ và ${{\mathop{\rm limv}\nolimits} _n} = 0$ thì $\lim (\frac{{u}_{n}}{{v}_{n}})=+\infty$ là mệnh đề sai vì chưa rõ dấu của ${v_n}$ là dương hay âm.

a) Đúng

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

a) Ta có: $\lim \frac{{5{n^3} - 2n + 1}}{{n - 2{n^3}}} = \lim \frac{{{n^3}\left( {5 - \frac{2}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^3}}}} \right)}}{{{n^3}\left( {\frac{1}{{{n^2}}} - 2} \right)}} = \lim \frac{{5 - \frac{2}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^3}}}}}{{\frac{1}{{{n^2}}} - 2}} = - \frac{5}{2}$.

b) parabol $(P):y = {x^2} + 5x + 2$ nhận $x = - \frac{5}{2}$ làm trục đối xứng

c) Phương trình lượng giác $\sin x = - \frac{5}{2}$ vô nghiệm

d) Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ với công sai $d = 3$ và ${u_1} = a$, thì ${u_3} = {u_1} + \left( {3 - 1} \right)d = - \frac{5}{2} + 2.3 = \frac{7}{2}$

a) Sai

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

a) Ta có: $\lim \frac{{2{n^2} + 1}}{{3{n^3} - 3n + 3}} = \lim \frac{{{n^3}\left( {\frac{2}{n} + \frac{1}{{{n^3}}}} \right)}}{{{n^3}\left( {3 - \frac{3}{{{n^2}}} + \frac{3}{{{n^3}}}} \right)}} = \lim \frac{{\frac{2}{n} + \frac{1}{{{n^3}}}}}{{3 - \frac{3}{{{n^2}}} + \frac{3}{{{n^3}}}}} = \frac{0}{3} = 0$.

b) Ta có: $\lim \frac{{n\sqrt {{n^2} + 1} }}{{\sqrt {4{n^4} - {n^2} + 3} }} = \lim \frac{{{n^2}\sqrt {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} }}{{{n^2}\sqrt {4 - \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{3}{{{n^4}}}} }} = \lim \frac{{\sqrt {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} }}{{\sqrt {4 - \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{3}{{{n^4}}}} }} = \frac{1}{2}$.

c) Phương trình lượng giác $\cos x = 0$ có một nghiệm là $x = \frac{\pi }{2}$

d) Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ với công sai $d = \frac{1}{2}$ và ${u_1} = 0$, thì ${u_3} = 0 + 2.\frac{1}{2} = 1$

a) Đúng

b) Sai

c) Sai

d) Đúng

Ta có: $0{,}212121 \ldots = 0{,}21 + 0{,}0021 + 0{,}000021 + \ldots$

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu 0,21 và công bội $\frac{1}{{100}}$.

Vì vậy $0{,}212121 \ldots = 0{,}21 + 0{,}0021 + 0{,}000021 + \ldots = \frac{{0{,}21}}{{1 - \frac{1}{{100}}}} = \frac{7}{{33}}$.

Ta có: $0{,}333 \ldots = 0{,}3 + 0{,}03 + 0{,}003 + \ldots$

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu là 0,3 và công bội là $\frac{1}{{10}}$.

Vì vậy $4{,}333 \ldots = 4 + 0{,}3 + 0{,}03 + 0{,}003 + \ldots = 4 + \frac{{0{,}3}}{{1 - \frac{1}{{10}}}} = \frac{{13}}{3}$.

$\lim \frac{{2n + 3}}{{{n^2}{u_n}}} = \lim \left( {\frac{{2n + 3}}{n} \cdot \frac{1}{{n{u_n}}}} \right) = \lim \frac{{2n + 3}}{n} \cdot \lim \frac{1}{{n{u_n}}}$

$= \lim \left( {2 + \frac{3}{n}} \right) \cdot \frac{1}{{\lim n{u_n}}} = 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}{\rm{. }}$

Ta thấy $S$ là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_1} = - 1$ và $q = - \frac{1}{5}$.

Do đó $S = \frac{{ - 1}}{{1 + \frac{1}{5}}} = - \frac{5}{6}$

Ta có: 2,(12) = 2+0,(12);

$\begin{array}{llllllllllllllllllll}{0,(12)}&{ = 0{,}12121212 \ldots = 0{,}12 + 0{,}0012 + 0{,}000012 + 0{,}00000012 \ldots }\\{}&{ = 0{,}12 + 0{,}12 \cdot \frac{1}{{100}} + 0{,}12 \cdot \frac{1}{{{{100}^2}}} + 0{,}12 \cdot \frac{1}{{{{100}^3}}} + 0{,}12 \cdot \frac{1}{{{{100}^4}}} \ldots }\end{array}$

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu bằng 0,12 và công bội bằng $\frac{1}{{100}}$. Tổng này bằng $0{,}12 \cdot \frac{1}{{1 - \frac{1}{{100}}}} = \frac{{12}}{{99}} = \frac{4}{{33}}$.

Vậy $2,(12) = 2 + \frac{4}{{33}} = \frac{{70}}{{33}}$.

Lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày đầu tiên là $150mg$.

Sau ngày đầu, trước mỗi lần uống, hàm lượng thuốc cũ trong cơ thể vẫn còn $5\%$.

Do đó, lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày thứ hai là

$150 + 150 \cdot 5\% = 150(1 + 0{,}05)$

Lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày thứ ba là

$150 + 150(1 + 0{,}05) \cdot 5\% = 150 + 150\left( {0{,}05 + 0,{{05}^2}} \right) = 150\left( {1 + 0{,}05 + 0,{{05}^2}} \right)$

Lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày thứ tư là

$150 + 150\left( {1 + 0{,}05 + 0,{{05}^2}} \right) \cdot 5\% = 150\left( {1 + 0{,}05 + 0,{{05}^2} + 0,{{05}^3}} \right)$

Lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày thứ năm là

$\begin{array}{l}150 + 150\left( {1 + 0{,}05 + 0,{{05}^2} + 0,{{05}^3}} \right) \cdot 5\% = 150\left( {1 + 0{,}05 + 0,{{05}^2} + 0,{{05}^3} + 0,{{05}^4}} \right)\\ = 157{,}8946875(mg).\end{array}$

Cứ tiếp tục như vậy, ta ước tính lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian dài là

$S = 150\left( {1 + 0{,}05 + 0,{{05}^2} + 0,{{05}^3} + 0,{{05}^4} + \ldots } \right)$

Lại có $1 + 0{,}05 + 0,{05^2} + 0,{05^3} + 0,{05^4} + \ldots$ là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu ${u_1} = 1$ và công bội $q = 0{,}05$.

Do đó, $1 + 0{,}05 + 0,{05^2} + 0,{05^3} + 0,{05^4} + \ldots = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{1}{{1 - 0{,}05}} = \frac{{20}}{{19}}$.

Suy ra $S = 150 \cdot \frac{{20}}{{19}} = \frac{{400}}{{361}}$.