Đề kiểm tra Giới hạn của dãy số lớp 11 (có lời giải) - Đề 1

Chọn D

Lấy máy tính bấm từng phương án thì phần D ra kết quả đề bài

Chọn B

Dùng tính chất giới hạn: cho dãy số $\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right)$ và $\lim {u_n} = a,\,\,\lim {v_n} = + \infty$ trong đó $a$ hữu hạn thì $\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = 0$.

Chọn D

Ta có: $\left| {{u_n} - 2} \right| < \frac{1}{{{n^3}}}$$\Rightarrow \lim \left( {{u_n} - 2} \right) = \lim \frac{1}{{{n^3}}} = 0$ $\Rightarrow \lim {u_n} - 2 = 0 \Rightarrow \lim {u_n} = 2$.

Chọn B

Ta có $\lim \frac{{n - 1}}{{{n^3} + 3}} = \lim \frac{{\frac{1}{{{n^2}}} - \frac{1}{{{n^3}}}}}{{1 + \frac{3}{{{n^3}}}}} = \frac{0}{1} = 0$.

Chọn C

Ø Xét đáp án A. $\lim \frac{{{n^2} - 2}}{{5n + 3{n^2}}} = \lim \frac{{1 - \frac{2}{{{n^2}}}}}{{\frac{5}{n} + 3}} = \frac{1}{3}$.

Ø Xét đáp án B. $\lim \frac{{{n^2} - 2n}}{{5n + 3{n^2}}} = \lim \frac{{1 - \frac{2}{n}}}{{\frac{5}{n} + 3}} = \frac{1}{3}$

Ø Xét đáp án C. $\lim \frac{{1 - 2n}}{{5n + 3{n^2}}} = \lim \frac{{\frac{1}{{{n^2}}} - \frac{2}{n}}}{{\frac{5}{n} + 3}} = 0$.

Ø Xét đáp án D. $\lim \frac{{1 - 2{n^2}}}{{5n + 3{n^2}}} = \lim \frac{{\frac{1}{{{n^2}}} - 2}}{{\frac{5}{n} + 3}} = - \frac{2}{3}$.

Chọn B

Ta có $I = \lim \frac{{10n + 3}}{{3n - 15}} = \lim \frac{{10 + \frac{3}{n}}}{{3 - \frac{{15}}{n}}} = \frac{{10}}{3}$.

Chọn A

Ta có $\lim \frac{1}{{5n + 3}} = \lim \frac{{\frac{1}{n}}}{{5 + \frac{3}{n}}} = 0$.

Chọn D

Ta có $\lim {u_n} = \lim \frac{{2n - 1}}{{3 - n}} = \lim \frac{{2 - \frac{1}{n}}}{{\frac{3}{n} - 1}} = - \frac{1}{3}$.

a) Đúng

b) Sai

c) Sai

d) Sai

a) Sai

b) Sai

c) Sai

d) Đúng

a) Ta có: $\lim \frac{{2n + 1}}{{ - 3n + 2}} = \lim \frac{{n\left( {2 + \frac{1}{n}} \right)}}{{n\left( { - 3 + \frac{2}{n}} \right)}} = \lim \frac{{2 + \frac{1}{n}}}{{ - 3 + \frac{2}{n}}} = \frac{{ - 2}}{3}$

b) Ba số $- \frac{5}{3}; - \frac{2}{3};\frac{1}{3}$ tạo thành một cấp số cộng với công sai bằng 1

c) Trên khoảng $\left( { - \pi ;\pi } \right)$ phương trình lượng giác $\sin x = a$ có 2 nghiệm

d) Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ với công bội $q = 3$ và ${u_1} = a$, thì ${u_3} = - 6$

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Sai

a) $\lim {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n} = 0\,$ $\left( {{\rm{do}}\,\frac{2}{3} < 1} \right)$

b) $\lim \frac{1}{{{{(\sqrt 2 )}^n}}} = \lim {\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)^n} = 0\,\left( {{\rm{do}}\,\frac{1}{{\sqrt 2 }}\, < 1} \right)$

c) $\lim \frac{1}{{{n^3}}} = 0$

d) $\lim 4 = 4$

a) Sai

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

a) $\lim {(\sqrt 3 )^n} = + \infty ($do $\sqrt 3 > 1)$

b) $\lim {\pi ^n} = + \infty ($ do $\pi > 1)$

c) $\lim \left( {{n^3} + 2{n^2} - 4} \right) = \lim {n^3} \cdot \left( {1 + \frac{2}{n} - \frac{4}{{{n^3}}}} \right) = + \infty$.

Vì $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\lim {n^3} = + \infty }\\{\lim \left( {1 + \frac{2}{n} - \frac{4}{{{n^3}}}} \right) = 1 > 0}\end{array}} \right.$

d) $\lim \left( { - {n^4} + 5{n^3} - 4n} \right) = \lim {n^4} \cdot \left( { - 1 + \frac{5}{n} - \frac{4}{{{n^3}}}} \right) = - \infty$.

Vì $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\lim {n^4} = + \infty }\\{\lim \left( { - 1 + \frac{5}{n} - \frac{4}{{{n^3}}}} \right) = - 1 < 0}\end{array}} \right.$

Ta thấy $S$ là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_1} = - \frac{1}{3},q = - \frac{1}{3}$.

Do đó $S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{{ - \frac{1}{3}}}{{1 + \frac{1}{3}}} = - \frac{1}{4}$

Ta có ${u_n} = \frac{{1 + a + {a^2} + \cdots + {a^n}}}{{1 + b + {b^2} + \cdots + {b^n}}} = \frac{{\frac{{1 - {a^{n + 1}}}}{{1 - a}}}}{{\frac{{1 - {b^{n + 1}}}}{{1 - b}}}} = \frac{{1 - b}}{{1 - a}} \cdot \frac{{1 - {a^{n + 1}}}}{{1 - {b^{n + 1}}}}$.

Do đó $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = \frac{{1 - b}}{{1 - a}}$.

Một quả bóng cao su được thả từ độ cao $5\;m$ xuống mặt sàn, sau lần chạm sàn đầu tiên, quả bỏng nảy lên một độ cao là ${u_1} = \frac{2}{3} \cdot 5$.

Tiếp đó, bóng rơi từ độ cao ${u_1}$ xuống mặt sàn và nảy lên độ cao là ${u_2} = \frac{2}{3}{u_1} = \frac{2}{3} \cdot \left( {\frac{2}{3} \cdot 5} \right) = 5 \cdot {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2}$.

Tiếp đó, bóng rơi từ độ cao ${u_2}$ xuống mặt sàn và nảy lên độ cao là ${u_3} = \frac{2}{3}{u_2} = \frac{2}{3} \cdot \left( {5 \cdot {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2}} \right) = 5 \cdot {\left( {\frac{2}{3}} \right)^3}$ và cứ tiếp tục như vậy.

Sau lần chạm sàn thứ $n$, quả bóng nảy lên độ cao là ${u_n} = 5 \cdot {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n}$.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n} = 0$, do đó, $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 0$, suy ra điều phải chứng minh.