Đề kiểm tra Giá trị lượng giác của một góc từ 0 độ đến 180 độ lớp 10 (có lời giải) - Đề 1

Chọn A

Ta có $P = \sin 30^\circ .\sin 30^\circ + \cos 30^\circ .cos30^\circ = {\sin ^2}30^\circ + {\cos ^2}30^\circ = 1$.

Chọn C

Ta có: $\cos \left( {{{90}^{\rm{0}}} + \alpha } \right) = \cos \left( {{{180}^{\rm{0}}} - \left( {{{90}^{\rm{0}}} - \alpha } \right)} \right) = - \cos \left( {{{90}^{\rm{0}}} - \alpha } \right) = - \sin \alpha$.

Chọn B

Tam giác $ABC$ là tam giác đều nên có các góc bằng $60^\circ$ nên dễ thấy C đúng vì

$\sin \widehat {ABC} = \sin 60^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Chọn B

$\alpha$ và $\beta$ là góc nhọn nên có điểm biểu diễn thuộc góc phần tư thứ nhất, có các giá trị lượng giác đều dương nên $\tan \alpha + \tan \beta > 0$; $\alpha < \beta$ nên $\sin \alpha < \sin \beta$, C đúng theo tính chất 2 góc phụ nhau.

Phương án B, C, D đều đúng và A sai.

Chọn D

Ta có ${\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha$ $= 1 - {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{8}{9}$.

Mặt khác $90^\circ < \alpha < 180^\circ$nên $\cos \alpha = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$.

Chọn D

Do $\cos \alpha < 0 \Rightarrow \tan \alpha < 0$.

Ta có: $1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}$$\Leftrightarrow {\tan ^2}\alpha = \frac{5}{4}$$\Rightarrow \tan \alpha = - \frac{{\sqrt 5 }}{2}$.

Chọn C

Ta có ${\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = \frac{{144}}{{169}} \Rightarrow \cos \alpha = \pm \frac{{12}}{{13}}$

Do $\alpha$ là góc tù nên $\cos \alpha < 0$, từ đó $\cos \alpha = - \frac{{12}}{{13}}$

Như vậy $3\sin \alpha + 2\cos \alpha = 3 \cdot \frac{5}{{13}} + 2\left( { - \frac{{12}}{{13}}} \right) = - \frac{9}{{13}}$.

Chọn D

Do $\cot \alpha = - a$, $a > 0$ nên ${90^0} < \alpha < {180^0}$ suy ra $\cos \alpha < 0$.

Mặt khác, $\tan \alpha = \frac{1}{{\cot \alpha }}$ $\Leftrightarrow \tan \alpha = \frac{{ - 1}}{a}$.

Mà ta lại có $1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}$ $\Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{1}{{1 + {{\tan }^2}\alpha }}$ $\Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{{{a^2}}}{{1 + {a^2}}}$.

Khi đó $\cos \alpha = - \frac{{\left| a \right|}}{{\sqrt {1 + {a^2}} }}$ và do $a > 0$ nên $\cos \alpha = - \frac{a}{{\sqrt {1 + {a^2}} }}$.

Chọn D

$A = \frac{{3\sin \alpha + 4\sin \alpha .\cot \alpha }}{{2\sin \alpha - 5\sin \alpha .\cot \alpha }} = \frac{{3 + 4\cot \alpha }}{{2 - 5\cot \alpha }} = 13$.

Chọn C

$E = \frac{{\cot \alpha - 3\tan \alpha }}{{2\cot \alpha - \tan \alpha }} = \frac{{1 - 3{{\tan }^2}\alpha }}{{2 - {{\tan }^2}\alpha }} = \frac{{4 - 3\left( {{{\tan }^2}\alpha + 1} \right)}}{{3 - \left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right)}} = \frac{{4 - \frac{3}{{{{\cos }^2}\alpha }}}}{{3 - \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}}} = \frac{{4{{\cos }^2}\alpha - 3}}{{3{{\cos }^2}\alpha - 1}} = - \frac{{11}}{3}$.

Chọn C

$\begin{array}{l}{\left( {\cot a + \tan a} \right)^2} = {\cot ^2}a + 2\cot a.\tan a + {\tan ^2}a\\ = \left( {{{\cot }^2}a + 1} \right) + \left( {{{\tan }^2}a + 1} \right) = \frac{1}{{{{\sin }^2}a}} + \frac{1}{{{{\cos }^2}a}}\end{array}$.

Chọn C

$A = \frac{{{{\cot }^2}x - {{\cos }^2}x}}{{{{\cot }^2}x}} + \frac{{\sin x.\cos x}}{{\cot x}} = \frac{{\frac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} - {{\cos }^2}x}}{{\frac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}}}} + \frac{{\sin x.\cos x}}{{\frac{{\cos x}}{{\sin x}}}}$$= \frac{{{{\cos }^2}x\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}} + {\sin ^2}x = 1 - {\sin ^2}x + {\sin ^2}x = 1$.

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

$5\tan {135}^{^{\circ}}+\sqrt{3}\cot {120}^{^{\circ}}-\sin {90}^{^{\circ}}=5\cdot (-1)+\sqrt{3}\cdot \frac{-1}{\sqrt{3}}-1=-7$

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Sai

Vì $α\in ({90}^{^{\circ}};{180}^{^{\circ}})$ nên $\sin \alpha > 0$.

Ta có: ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow {\sin ^2}\alpha = 1 - {\cos ^2}\alpha = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$ mà $\sin \alpha > 0$,

nên $\sin \alpha = \frac{{\sqrt 5 }}{3};\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{{ - \frac{2}{3}}}{{\frac{{\sqrt 5 }}{3}}} = - \frac{2}{{\sqrt 5 }},\tan \alpha = - \frac{{\sqrt 5 }}{2}$.

a) Sai

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

Vì ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} = \frac{5}{9}$.

Mà ${0}^{^{\circ}}<α<{90}^{^{\circ}}$ nên $\cos \alpha > 0$. Do đó $\cos \alpha = \frac{{\sqrt 5 }}{3}$ nên$A = \frac{{\sin \alpha + \sqrt 5 \cos \alpha }}{{2\sin \alpha + \cos \alpha }} = \frac{7}{{4 + \sqrt 5 }}$.

a) Sai

b) Sai

c) Sai

d) Đúng

a) $D = a.1 + b.0 + c.0 = a$.

b) $E = {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} + 2 \cdot {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} - 5.1 = - \frac{{11}}{4}$.

c) $F = {\cos ^2}{24^0} + {\sin ^2}{24^0} + {\cos ^2}{1^0} + {\sin ^2}{1^0} = 1 + 1 = 2$.

d) $G={\cos }^{2}{45}^{^{\circ}}+{\sin }^{2}{45}^{^{\circ}}+{\sin }^{2}{45}^{^{\circ}}-2({\cos }^{2}{50}^{^{\circ}}+{\cos }^{2}{40}^{^{\circ}})-5\tan {55}^{^{\circ}}\cot {55}^{^{\circ}}$

$={\cos }^{2}{45}^{^{\circ}}+{\sin }^{2}{45}^{^{\circ}}+{\sin }^{2}{45}^{^{\circ}}-2({\cos }^{2}{50}^{^{\circ}}+{\sin }^{2}{50}^{^{\circ}})-5\tan {55}^{^{\circ}}\cot {55}^{^{\circ}}=\frac{-11}{2}$

Vì $\cot \alpha = - 3$nên $\sin \alpha \ne 0.$ Chia cả tử và mẫu của $P$ cho ${\sin ^3}\alpha$, ta có:

$P = \frac{{1 + {{\cot }^3}\alpha }}{{\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\left( {1 - \cot \alpha } \right)}} = \frac{{1 + {{\cot }^3}\alpha }}{{\left( {1 + {{\cot }^2}\alpha } \right)\left( {1 - \cot \alpha } \right)}} = \frac{{1 + {{\left( { - 3} \right)}^3}}}{{\left[ {1 + {{\left( { - 3} \right)}^2}} \right]\left[ {1 - \left( { - 3} \right)} \right]}} = - \frac{{13}}{{20}}$

$A=({\cos }^{2}{15}^{^{\circ}}+{\sin }^{2}{15}^{^{\circ}})+({\cos }^{2}{25}^{^{\circ}}+{\sin }^{2}{25}^{^{\circ}})+({\cos }^{2}{35}^{^{\circ}}+{\sin }^{2}{35}^{^{\circ}})+{\cos }^{2}{45}^{^{\circ}}$

$=1+1+1+{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}=\frac{7}{2}$

Do $\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{1}{3} \Rightarrow \sin \alpha \ne 0$.

Chia hai vế biểu thức $A$ cho $\sin \alpha$, ta có: $A = \frac{{3 + 4\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}}}{{2 - 5\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}}} = \frac{{3 + 4\cot \alpha }}{{2 - 5\cot \alpha }} = \frac{{3 + 4 \cdot \frac{1}{3}}}{{2 - 5 \cdot \frac{1}{3}}} = 13$

Ta có: $\sin a + \cos a = \sqrt 2$ $\Rightarrow 2 = {(\sin a + \cos a)^2} = {\sin ^2}a + 2\sin a\cos a + {\cos ^2}a = 1 + 2\sin a\cos a$ $\Rightarrow \sin a \cdot \cos a = \frac{1}{2}$.

Khi đó: ${\sin ^4}a + {\cos ^4}a = \left( {{{\sin }^2}a + {{\cos }^2}a} \right) - 2{\sin ^2}a{\cos ^2}a = 1 - 2{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{1}{2}$.

Vì $\tan \alpha = 1 \Rightarrow \cos \alpha \ne 0$. Chia cả tử và mẫu cho ${\cos ^2}\alpha$ ta được:

$B = \frac{{\left( {{{\sin }^2}\alpha + 1} \right)\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}}}{{\left( {2{{\cos }^2}\alpha - {{\sin }^2}\alpha } \right)\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}}} = \frac{{{{\tan }^2}\alpha + \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}}}{{2 - {{\tan }^2}\alpha }} = \frac{{{{\tan }^2}\alpha + {{\tan }^2}\alpha + 1}}{{2 - {{\tan }^2}\alpha }} = 3$