Đề kiểm tra Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lớp 12 (có lời giải) - Đề 2

$M = \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2\,;\,2} \right]} f\left( x \right) = - 1$ khi $x = - 1$ hoặc $x = 2$.

$m = \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2\,;\,2} \right]} f\left( x \right) = - 5$ khi $x = - 2$ hoặc $x = 1$.

Tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$.

Ta có $y' = 1 - \frac{9}{{{x^2}}}$

$y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = - 3\,\,\left( l \right)\end{array} \right.$.

$y\left( 2 \right) = \frac{{13}}{2}$, $y\left( 4 \right) = \frac{{25}}{4}$, $y\left( 3 \right) = 6$.

Vậy $\mathop {\min }\limits_{\left[ {2\,;\,4} \right]} y = 6$.

Tập xác định $D = \left[ { - 1\,;\,6} \right]$.

$y' = \frac{1}{{2\sqrt {x + 1} }} - \frac{1}{{2\sqrt {6 - x} }}$

$y' = 0 \Leftrightarrow \sqrt {x + 1} = \sqrt {6 - x} \Leftrightarrow x + 1 = 6 - x \Leftrightarrow x = \frac{5}{2}$

Ta có $y\left( { - 1} \right) = \sqrt 7$, $y\left( 6 \right) = \sqrt 7 ,$ $y\left( {\frac{5}{2}} \right) = \sqrt {14}$.

Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại $x = \frac{5}{2}$.

Tập xác định $D = \mathbb{R}$.

Đặt $t = {\cos ^2}x,$ $t \in \left[ {0\,;\,1} \right]$.

Hàm số viết lại $y = {t^2} - t + 4$

$y' = 2t - 1$

$y' = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2}$

Ta có $y\left( 0 \right) = 4,$ $y\left( 1 \right) = 4,$ $y\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{{15}}{4}$.

Vậy giá trị lớn nhất là 4.

Tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$.

$y' = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} > 0,\,\,\forall x \in D$.

Ta có $y\left( 3 \right) = 2,$ $y\left( 5 \right) = \frac{3}{2}.$

Vậy $M - m = 2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$.

Tập xác định $D = \mathbb{R}$.

$y' = - 3{e^{2 - 3x}} < 0,\,\,\forall x \in \left[ {0\,;\,2} \right]$

Ta có $y\left( 0 \right) = {e^2}$, $y\left( 2 \right) = {e^{ - 4}}$.

Vậy $m.M = {e^{ - 4}}.{e^2} = {e^{ - 2}} = \frac{1}{{{e^2}}}$.

Ta có $y' = \frac{{2x}}{{\left( {{x^2} + 4} \right)\ln 2}} = 0 \Rightarrow x = 0$.

Khi đó: $y\left( { - 2} \right) = {\log _2}8 = 3;\,\,\,y\left( 0 \right) = {\log _2}4 = 2;\,\,\,y\left( 5 \right) = {\log _2}29$.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $\left[ { - 2;\,5} \right]$ là ${\log _2}29$.

a) Đúng

Ta có $y = f\left( x \right) = \left| {{x^3} - 3{x^2} + m} \right| \ge 0$ với mọi giá trị của $x$.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ${x^3} - 3{x^2} + m = 0$, tức là phương trình ${x^3} - 3{x^2} + m = 0$ có nghiệm (hay đồ thị của hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} + m$ cắt trục hoành).

Do đó, nếu đồ thị của hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} + m$ luôn cắt trục hoành thì giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \left| {{x^3} - 3{x^2} + m} \right|$ bằng 0.

b) Đúng

Với $m = 2$ ta có $f\left( x \right) = \left| {{x^3} - 3{x^2} + 2} \right|$. Xét hàm số $g\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2$ trên đoạn $\left[ {3;\,\,5} \right]$.

Ta có, $g'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \notin \left[ {3;\,\,5} \right]\\x = 2 \notin \left[ {3;\,\,5} \right]\end{array} \right.$.

Khi đó, $g\left( 3 \right) = 2,\,\,g\left( 5 \right) = 52$. Vậy $\mathop {\min }\limits_{\left[ {3;\,\,5} \right]} g\left( x \right) = 2$.

Suy ra $\mathop {\min }\limits_{\left[ {3;\,\,5} \right]} \left| {g\left( x \right)} \right| = 2$ hay $\mathop {\min }\limits_{\left[ {3;\,\,5} \right]} f\left( x \right) = 2$.

c) Sai

Xét hàm số $g\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + m \Rightarrow g'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \in \left[ {0;\,\,1} \right]\\x = 2 \notin \left[ {0;\,\,1} \right]\end{array} \right.$.

Khi đó, $g\left( 0 \right) = m,\,\,g\left( 1 \right) = m - 2$.

Vì $m < 0$ nên $m - 2 < m < 0$, suy ra $f\left( 0 \right) = \left| m \right| = - m,\,\,f\left( 1 \right) = - m + 2$ và $- m + 2 > - m > 0$.

Do đó, $\mathop {Max}\limits_{\left[ {0;\,\,1} \right]} f\left( x \right) = - m + 2$.

d) Sai

Xét hàm số $g\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + m \Rightarrow g'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \in \left[ { - 2;\,\,2} \right]\\x = 2 \in \left[ { - 2;\,\,2} \right]\end{array} \right.$.

$\Rightarrow g\left( { - 2} \right) = m - 20,\,\,g\left( 0 \right) = m,\,\,g\left( 2 \right) = m - 4$.

Khi đó, $\mathop {Max}\limits_{\left[ { - 2;\,\,2} \right]} g\left( x \right) = m,\,\,\,\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;\,\,2} \right]} g\left( x \right) = m - 20$.

Suy ra $\mathop {Max}\limits_{\left[ { - 2;\,\,2} \right]} f\left( x \right) = {\rm{max}}\left\{ {\left| m \right|,\left| {m - 20} \right|} \right\} = 10 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left| {m - 20} \right| = 10\\\left| {m - 20} \right| \ge \left| m \right|\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}\left| m \right| = 10\\\left| m \right| \ge \left| {m - 20} \right|\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 10\\m = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 10$

Vậy tổng các giá trị của tham số $m$bằng 10.

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

+ Đặt $f(x) = {x^4} - 2{x^2} + 3m$, ta có $f'(x) = 4{x^3} - 4x;\,f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = - 1\end{array} \right.$

+ Khi $m = 1$ ta có $f(0) = 3;f(1) = 2;f(2) = 11$ do đó $y(0) = 3;y(1) = 2;y(2) = 11$. Vậy a) đúng, b) Sai

+ Ta có $f(0) = 3m;f(1) = f( - 1) = 3m - 1$ do đó $y(0) = \left| {3m} \right|;y(1) = y( - 1) = \left| {3m - 1} \right|$

+ Để giá trị lớn nhất trên đoạn $\left[ { - 1;1} \right]$ bằng 9 ta có 2 trường hợp

+/ TH1: $\left\{ \begin{array}{l}\left| {3m} \right| > \left| {3m - 1} \right|\\\left| {3m} \right| = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {3m} \right| > \left| {3m - 1} \right|\\m = \pm 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left| 9 \right| > \left| 8 \right|\\m = 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}\left| { - 9} \right| > \left| { - 10} \right|\\m = - 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 3$

+/ TH 2: $\left\{ \begin{array}{l}\left| {3m - 1} \right| > \left| {3m} \right|\\\left| {3m - 1} \right| = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {3m - 1} \right| > \left| {3m} \right|\\\left[ \begin{array}{l}m = \frac{{10}}{3}\\m = - \frac{8}{3}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left| 9 \right| > \left| {10} \right|\\m = \frac{{10}}{3}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}\left| { - 9} \right| > \left| { - 8} \right|\\m = - \frac{8}{3}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m = - \frac{8}{3}$

- Vậy có hai giá trị của tham số $m$nên c) đúng

+/ Ta có $f(0) = 3m;f(1) = 3m - 1;\,f(2) = 8 + 3m$ do đó $y(0) = \left| {3m} \right|;y(1) = \left| {3m - 1} \right|;y(2) = \left| {8 + 3m} \right|$

+ Đặt $A = \left\{ {\left| {3m} \right|;\left| {3m - 1} \right|;\left| {8 + 3m} \right|} \right\}$thì giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\left[ { - 1;2} \right]$ nhận một trong các giá trị của $A$. Có 3 trường hợp

+ Giá trị nhỏ nhất trên đoạn $\left[ { - 1;2} \right]$ bằng $\left| {3m} \right|$ ta có $\left| {3m} \right| = 2024 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{{2024}}{3}\\m = - \frac{{2024}}{3}\end{array} \right.$

- Với $m = \frac{{2024}}{3}$ ta có $A = \left\{ {2024;2023;2031} \right\}$(Loại)

- Với $m = - \frac{{2024}}{3}$ ta có $A = \left\{ {2024;2025;2016} \right\}$(Loại)

+ Giá trị nhỏ nhất trên đoạn $\left[ { - 1;2} \right]$ bằng $\left| {3m - 1} \right|$ ta có $\left| {3m - 1} \right| = 2024 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{{2025}}{3}\\m = - \frac{{2023}}{3}\end{array} \right.$

- Với $m = \frac{{2025}}{3}$ ta có $A = \left\{ {2025;2024;2033} \right\}$(Chọn)

- Với $m = - \frac{{2023}}{3}$ ta có $A = \left\{ {2023;2024;2017} \right\}$(Loại)

+ Giá trị nhỏ nhất trên đoạn $\left[ { - 1;2} \right]$ bằng $\left| {8 + 3m} \right|$ ta có $\left| {8 + 3m} \right| = 2024 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{{2016}}{3}\\m = - \frac{{2032}}{3}\end{array} \right.$

- Với $m = \frac{{2016}}{3}$ ta có $A = \left\{ {2016;2015;2024} \right\}$(Loại)

- Với $m = - \frac{{2032}}{3}$ ta có $A = \left\{ {2032;2033;2024} \right\}$(Chọn)

Vậy $3\left| {{m_1} - {m_2}} \right| = 4057$ nên d) đúng

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

Đặt $t = {{\rm{e}}^x} \Rightarrow t \in \left[ {1\,;\,4} \right]$. Ta có $f\left( t \right) = {t^2} - 4t + m$ với $t \in \left[ {1\,;\,4} \right]$.

Do đó: $f'\left( t \right) = 2t - 4$. Xét $f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 2t - 4 = 0 \Leftrightarrow t = 2$ (nhận).

Ta có: $f\left( 1 \right) = m - 3$; $f\left( 2 \right) = m - 4$; $f\left( 4 \right) = m$.

+ Với $m = 1$ ta có $f\left( 1 \right) = 1 - 3 = - 2$; $f\left( 2 \right) = 1 - 4 = - 3$; $f\left( 4 \right) = 1$.

Do đó

a) Đúng

b) Sai

+ Với $m = 9$ ta có$f\left( 1 \right) = 9 - 3 = 6$; $f\left( 2 \right) = 9 - 4 = 5$; $f\left( 4 \right) = 9$. Vậy giá trị nhỏ nhất trên $\left[ {0\,;\,\ln 4} \right]$bằng 5 là đúng

c) Đúng

+ Theo trên ta có giá trị nhỏ nhất của $f\left( x \right) = \left| {{{\rm{e}}^{2x}} - 4{{\rm{e}}^x} + m} \right|$ trên $\left[ {0\,;\,\ln 4} \right]$ sẽ thuộc $A = \left\{ {\left| {m - 3} \right|\,;\,\left| {m - 4} \right|\,;\,\left| m \right|} \right\}$.

Ø Xét $\left| {m - 4} \right| = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 10 \Rightarrow A = \left\{ {7\,;\,6\,;\,10} \right\}\\m = - 2 \Rightarrow A = \left\{ {5\,;\,6\,;\,2} \right\}\end{array} \right.$.

Ta thấy $m = 10$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là $\mathop {\min }\limits_{\left[ {0\,;\,\ln 4} \right]} f\left( x \right) = 6$.

Ø Xét $\left| {m - 3} \right| = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 9 \Rightarrow A = \left\{ {5\,;\,6\,;\,9} \right\}\\m = - 3 \Rightarrow A = \left\{ {7\,;\,6\,;\,3} \right\}\end{array} \right.$(Không có $m$ thỏa mãn).

Ø Xét $\left| m \right| = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 6 \Rightarrow A = \left\{ {2\,;\,3\,;\,6} \right\}\\m = - 6 \Rightarrow A = \left\{ {10\,;\,9\,;\,6} \right\}\end{array} \right.$.

Ta thấy $m = - 6$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là $\mathop {\min }\limits_{\left[ {0\,;\,\ln 4} \right]} f\left( x \right) = 6$.

Vậy có hai giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

d) Đúng

a) Đúng.

Vì hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên đoạn $\left[ { - 1;2} \right]$ nên giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $\left[ { - 1;2} \right]$ là $f( - 1) \Rightarrow$a) Đúng.

b) Sai.

Căn cứ BXD ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$ nên giá trị lớn nhất của hàm số $y = f(x)$trên đoạn $\left[ { - 1;3} \right]$ là $f(2) \Rightarrow$ b) Sai.

c) Sai.

Ta có $h'\left( x \right) = 2f'(2x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = - 1\\2x = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{1}{2}\\x = 1\end{array} \right.$ .

BBT của hàm số $h\left( x \right) = f(2x)$ là

vậy giá trị lớn nhất của hàm số $h\left( x \right) = f(2x)$trên đoạn $\left[ { - 1;1} \right]$ là $f( - \frac{1}{2})$ $\Rightarrow$ c) Sai.

d) Đúng.

Ta có

$g'\left( x \right) = \left( {2x - 2} \right)f'\left( {{x^2} - 2x} \right) - 6x + 6 = \left( {2x - 2} \right)\left[ {f'\left( {{x^2} - 2x} \right) - 3} \right]$

$g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 2 = 0\\f'\left( {{x^2} - 2x} \right) - 3 = 0\end{array} \right.$

Với $x \in \left[ {0;2} \right] \Rightarrow {x^2} - 2x \in \left[ { - 1;0} \right]$

Trên $\left[ { - 1;0} \right]$, $f'\left( {{x^2} - 2x} \right) \le 0 \Rightarrow f'\left( {{x^2} - 2x} \right) - 3 < 0$

Do đó $g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1$

Ta có bẳng biến thiên như sau

Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất là $g\left( 1 \right) = f\left( { - 1} \right) - 2$ tại $x = 1$ $\Rightarrow$ d) Đúng

Đáp số: 5.

$D = \mathbb{R}$

$f'(x) = 3{x^2} - 6x + 4$

Ta có $f'(x) > 0,\forall x \in \mathbb{R}$. Do đó hàm số đồng biến trên $\left( {0;1} \right]$

Hàm số đạt giá trị lớn nhất là $M = f(1) = {m^2} - 2m + 2$

$M \le 8 \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 2 \le 8$$\Leftrightarrow {m^2} - 2m - 6 \le 0 \Leftrightarrow 1 - \sqrt 7 \le m \le 1 + \sqrt 7$

Các giá trị nguyên của $m$thỏa mãn là $- 1;\,0\,;\,1;\,2;\,3$.

Có $5$ giá trị nguyên của tham số $m$ để $M \le 8$.

Ta có $y = f\left( x \right) = \cos x\left( {1 - 2\cos 2x} \right) = \cos x\left( { - 4{{\cos }^2}x + 3} \right) = - 4{\cos ^3}x + 3\cos x$.

Đặt $t = \cos x,\,\,t \in \left[ { - 1;1} \right]$. Hàm số trở thành $y = f\left( t \right) = - 4{t^3} + 3t$ với $t \in \left[ { - 1;1} \right]$.

Khi đó $y' = f'\left( t \right) = - 12{t^2} + 3$. Cho $f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = \pm \frac{1}{2}$.

Ta tính $f\left( { - 1} \right) = 1;f\left( 1 \right) = - 1;f\left( { - \frac{1}{2}} \right) = - 1;f\left( {\frac{1}{2}} \right) = 1$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f\left( x \right) = \cos x\left( {1 - 2\cos 2x} \right)$ là $- 1$.

Gọi cạnh đáy của bể nước có độ dài là $x\left( m \right)$ và chiều cao của bể nước là $h\left( m \right)$. Điều kiện $x,h > 0$.

Khi đó thể tích của bể nước là $16{m^3}$ nên ${x^2}h = 16 \Leftrightarrow h = \frac{{16}}{{{x^2}}}$.

Diện tích cần để xây bể nước (bao gồm diện tích xung quanh và diện tích mặt đáy) là

$S = 4xh + {x^2} = 4x.\frac{{16}}{{{x^2}}} + {x^2} = \frac{{64}}{x} + {x^2}$.

Để tìm số tiền tối thiểu, ta tìm giá trị nhỏ nhất của hàm $y = S\left( x \right)$ với $x > 0$.

Ta có $S'\left( x \right) = - \frac{{64}}{{{x^2}}} + 2x$. Cho $S'\left( x \right) = 0 \Rightarrow 2{x^3} - 64 = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{32}}$.

Lập bảng biến thiên, ta dễ thấy $\mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} S\left( x \right) = S\left( {\sqrt[3]{{32}}} \right)$.

Vậy số tiền tối thiểu phải trả là $500\,000.S\left( {\sqrt[3]{{32}}} \right) \approx 15\,119\,053$(đồng).

Gọi cạnh hình tam giác cân bị cắt bỏ có độ dài $x\,\,(0 < x < 3)$

$\Rightarrow AN = BM = x \Rightarrow MN = 6 - 2x$

$\Rightarrow EM = EN = \frac{{6 - 2x}}{{\sqrt 2 }}$

Hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông cạnh $MF = x\sqrt 2$,

Có chiều cao $EN = \frac{{6 - 2x}}{{\sqrt 2 }}$

$\Rightarrow V = M{F^2}.EN = 2{x^2}.\frac{{6 - 2x}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 {x^2}\left( {6 - 2x} \right) = - 2\sqrt 2 {x^3} + 6\sqrt 2 {x^2}$

$\Rightarrow V' = - 6\sqrt 2 {x^2} + 12\sqrt 2 x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 0}\\{x = 2}\end{array}} \right.$

$\Rightarrow {V_{{\rm{max}}}} = V\left( 2 \right) = - 2\sqrt 2 {.2^3} + 6\sqrt 2 {.2^2} = 8\sqrt 2$

Gọi $x$là chiều dài 1 mặt hàng rào hình chữ E ( trong ba mặt song song,$x > 0$ ).

Gọi $y$là chiều dài mặt hàng rào hình chữ E song song với bờ sông ($y > 0$).

Số tiền phải làm là:

$x.3.50000 + y.60000 = 15.000.000 \Leftrightarrow y = \frac{{500 - 5x}}{2}$.

Diện tích đất:

$$S = x.y = x.\frac{{500 - 5x}}{2} = 250x - \frac{5}{2}{x^2}$$

Ta có:

$S' = 250 - 5x$.

$$S' = 0 \Leftrightarrow 250 - 5x \Leftrightarrow x = 50.$$

Bảng biến thiên:

Vậy: $\mathop {\max S}\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} = 6250{\rm{ }}({m^2})$ khi $x = 50.$