Đề kiểm tra Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ lớp 10 (có lời giải) - Đề 2

Ta có:

${x^2} + {y^2} - 6x + 2y - 5 = 0$ có ${a^2} + {b^2} - c = 15 > 0$.

${x^2} + {y^2} - 2x + 2y - 1 = 0$ có ${a^2} + {b^2} - c = 3 > 0$.

${x^2} + {y^2} - 6x + 2y + 12 = 0$ có ${a^2} + {b^2} - c = - 2 < 0$.

${x^2} + {y^2} - 4x + 2y - 3 = 0$ có ${a^2} + {b^2} - c = 8 > 0$.

Vậy phương trình ${x^2} + {y^2} - 6x + 2y + 12 = 0$ không là phương trình đường tròn.

Đường tròn $\left( C \right)$ tiếp xúc với đường thẳng $\Delta :\,\,3x - 4y + 1 = 0$ nên ta có:

$R = d\left( {I,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3.\left( { - 4} \right) - 4.1 + 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{{15}}{5} = 3$.

Ta có ${x^2} + {y^2} - 2x - 2y - {m^2} = 0$$\Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 2 + {m^2}$.

Đường tròn có bán kính bằng $2$khi và chỉ khi $\sqrt {2 + {m^2}} = 2$ $\Leftrightarrow 2 + {m^2} = 4$$\Leftrightarrow {m^2} = 2$$\Leftrightarrow m = \pm \sqrt 2$.

Ta có $AB = \sqrt {{{\left( {0 - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 5 - 3} \right)}^2}} = \sqrt {68} = 2\sqrt {17}$

Gọi $I$là tâm và $R$là bán kính của đường tròn đường kính $AB$

Khi đó$I$là trung điểm của $AB$ và $R = \frac{{AB}}{2}$.

Như vậy $I\left( {1; - 1} \right)$và $R = \sqrt {17}$.

Vậy phương trình đường tròn đường kính $AB$ là ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 17$.

Phương trình đường tròn $\left( C \right)$ tâm $I\left( {1;\,2} \right)$ tiếp xúc với đường thẳng $\left( d \right):\,3x - 4y - 10 = 0$ có dạng: ${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\,.\,$

$$R = d\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| {3.1 - 4.2 - 10} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 3$$

Vậy phương trình đường tròn $\left( C \right)$: ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9\,.\,$

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {4\,;\, - 4} \right)$, $\overrightarrow {AC} = \left( {2\,;\,2} \right)$,$\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 4.2 + \left( { - 4} \right).2 = 0 \Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại $A$.

Suy ra: tâm $I$ của đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$ là trung điểm của $BC \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_B} + {x_C}}}{2} = 1\\{y_I} = \frac{{{y_B} + {y_C}}}{2} = 0\end{array} \right.$.

$\Rightarrow I\left( {1\,;\,0} \right)\,,\,\overrightarrow {IA} = \left( { - 3\,;\,1} \right)$, bán kính đường tròn $R = IA = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {1^2}} = \sqrt {10}$.

Đường tròn $\left( C \right)$ ngoại tiếp $\Delta ABC$ có tâm $I\left( {1\,;\,0} \right)$, bán kính $R = \sqrt {10}$.

$\Rightarrow \left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = 10$.

Đường tròn $({C_1}):{x^2} + {y^2} - 4x = 0$ có tâm ${I_1}(2;0)$, bán kính ${R_1} = 2$.

Đường tròn $({C_2}):{x^2} + {y^2} + 8y = 0$ có tâm ${I_2}(0; - 4)$, bán kính ${R_2} = 4$.

Ta có${R_2} - {R_1} < {I_1}{I_2} = 2\sqrt 5 < {R_2} + {R_1}$ nên hai đường tròn cắt nhau.

Gọi $I\left( {x;\,\,y} \right)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}A{I^2} = B{I^2}\\A{I^2} = C{I^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2}\\{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = {\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y + 5} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x + 6y = 11\\8x - 8y = 48\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{47}}{{10}}\\y = - \frac{{13}}{{10}}\end{array} \right.$.

$\Rightarrow I\left( {\frac{{47}}{{10}}; - \frac{{13}}{{10}}} \right)$.

Đường tròn $\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x + 4y + 1 = 0$ có tâm $I\left( {1; - 2} \right)$ bán kính $R = 2$.

Đường tròn $\left( {C'} \right):{x^2} + {y^2} + 6x - 8y + 20 = 0$ có tâm $I'\left( { - 3;4} \right)$ bán kính $R' = \sqrt 5$.

$II' = 2\sqrt {13}$.

Vậy $II' > R + R'$ nên 2 đường tròn không có điểm chung suy ra 2 đường tròn có 4 tiếp tuyến chung.

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

a) Không phải là phương trình đường tròn.

b) Là phương trình đường tròn có tâm $I(4; - 1)$, bán kính $R = 4\sqrt 2$.

c) Không phải là phương trình đường tròn.

d) là phương trình đường tròn có tâm $I(1;2)$, bán kính $R = 7$.

a) Sai

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

$(C)$ có tâm $I$ và tiếp xúc $\Delta$ nên có bán kính $R = d(I,\Delta ) = \frac{{| - 1 - 4 + 7|}}{{\sqrt {1 + 4} }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}$.

Vậy phương trình đường tròn $(C)$ là: ${(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} = \frac{4}{5}$.

Đường tròn $(C)$ tiếp xúc với đường thẳng $\Delta$ tại điểm có hoành độ nhỏ hơn 0

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Sai

Vì điểm $A(2; - 1)$ nằm ở góc phần tư thứ tư của hệ trục tọa độ và đường tròn tiếp xúc với hai trục toạ độ nên tâm của đường tròn có dạng $I(R; - R)$ trong đó $R$ là bán kính đường tròn $(C)$.

Ta có: ${R^2} = I{A^2} \Leftrightarrow {R^2} = {(2 - R)^2} + {( - 1 + R)^2} \Leftrightarrow {R^2} - 6R + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{R = 1}\\{R = 5}\end{array}} \right.$.

Vậy có hai đường tròn thoả mãn đề bài là: ${(x - 1)^2} + {(y + 1)^2} = 1$; ${(x - 5)^2} + {(y + 5)^2} = 25$.

a) Sai

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

a) Đường tròn $(C)$ có tâm $I(1; - 2)$ bán kính $R = 5$.

b) Giả sử ${\Delta ^\prime }$ là tiếp tuyến của đường tròn và song song với $\Delta$.

Khi đó, phương trình ${\Delta ^\prime }$ có dạng $3x - 4y + c = 0$ với $c \ne 14$.

Khoảng cách từ $I$ đến ${\Delta ^\prime }$ là $d\left( {I,{\Delta ^\prime }} \right) = \frac{{|3 \cdot 1 - 4 \cdot ( - 2) + c|}}{{\sqrt {{3^2} + {{( - 4)}^2}} }} = \frac{{|11 + c|}}{5}$. ${\Delta ^\prime }$ là tiếp tuyến của đường tròn $(C)$ khi và chỉ khi $d\left( {I,{\Delta ^\prime }} \right) = R \Leftrightarrow |11 + c| = 25$. Suy ra $c = - 36$ hoặc $c = 14$ (loại). Vậy phương trình $\Delta$' là: $3x - 4y - 36 = 0$.

Đáp án: ${(x - 10)^2} + {y^2} = 49;{\left( {x - \frac{{10}}{{43}}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{{70}}{{43}}} \right)^2} = {\left( {\frac{7}{{43}}} \right)^2}{\rm{. }}$

Gọi tâm đường tròn là $I(6a + 10;a) \in d$.

Đường tròn tiếp xúc với ${d_1},{d_2}$ nên khoảng cách từ tâm $I$ đến hai đường thẳng này bằng nhau và bằng bán kính $R$, ta có:

$\begin{array}{l}d\left( {I,{d_1}} \right) = d\left( {I,{d_2}} \right) \Leftrightarrow \frac{{|3(6a + 10) + 4a + 5|}}{5} = \frac{{|4(6a + 10) - 3a - 5|}}{5}\\ \Leftrightarrow |22a + 35| = |21a + 35| \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{22a + 35 = 21a + 35}\\{22a + 35 = - 21a - 35}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{a = 0}\\{a = - \frac{{70}}{{43}}}\end{array}} \right.} \right.\end{array}$

- Với $a = 0$ thì $K(10;0)$ và $R = 7$ suy ra $(C):{(x - 10)^2} + {y^2} = 49$.

- Với $a = - \frac{{70}}{{43}}$ thì $K\left( {\frac{{10}}{{43}}; - \frac{{70}}{{43}}} \right)$ và $R = \frac{7}{{43}}$ suy ra

$(C):{\left( {x - \frac{{10}}{{43}}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{{70}}{{43}}} \right)^2} = {\left( {\frac{7}{{43}}} \right)^2}$.

Vậy có hai đường tròn thỏa mãn có phương trình là:

${(x - 10)^2} + {y^2} = 49;{\left( {x - \frac{{10}}{{43}}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{{70}}{{43}}} \right)^2} = {\left( {\frac{7}{{43}}} \right)^2}{\rm{. }}$

Đáp án: ${\left( {x - \frac{8}{5}} \right)^2} + {\left( {x - \frac{4}{5}} \right)^2} = \frac{8}{{25}}$

Gọi $I(a;b)$ là tâm đường tròn $\left( {{C^\prime }} \right)$. Ta có: $I \in (C) \Leftrightarrow {(a - 2)^2} + {b^2} = \frac{4}{5}$.

Đường tròn $\left( {{C^\prime }} \right)$ tiếp xúc với hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$

$\Leftrightarrow d\left( {I,{d_1}} \right) = d\left( {I,{d_2}} \right) = R \Leftrightarrow \frac{{|a - b|}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{|a - 7b|}}{{\sqrt {50} }} \Leftrightarrow 5|a - b| = |a - 7b|$

$\Leftrightarrow a = \frac{{ - 1}}{2}b$ hoặc $a = 2b$.

- $a = \frac{{ - 1}}{2}b \Rightarrow {\left( {\frac{{ - 1}}{2}b - 2} \right)^2} + {b^2} = \frac{4}{5} \Leftrightarrow \frac{5}{4}{b^2} + 2b + \frac{{16}}{5} = 0$ (vô nghiệm).

- $a = 2b \Rightarrow {(2b - 2)^2} + {b^2} = \frac{4}{5} \Leftrightarrow 5{b^2} - 8b + \frac{{16}}{5} = 0 \Leftrightarrow b = \frac{4}{5}$.

Suy ra $a = \frac{8}{5},R = \frac{{2\sqrt 2 }}{5}$.

Vậy đường tròn (C') có phương trình là: ${\left( {x - \frac{8}{5}} \right)^2} + {\left( {x - \frac{4}{5}} \right)^2} = \frac{8}{{25}}$.

Ta có:

$\{\begin{matrix}x=3+2\cos {t}^{^{\circ}} \\ y=4+2\sin {t}^{^{\circ}}\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x-3=2\cos {t}^{^{\circ}} \\ y-4=2\sin {t}^{^{\circ}}\end{matrix}\Rightarrow {(x-3)}^{2}+{(y-4)}^{2}=4$

Vậy chất điểm $K$ chuyển động theo quỹ đạo đường tròn ${(x - 3)^2} + {(y - 4)^2} = 4$ có

tâm $I(3;4)$ và bán kính $R = 2$.

Giả sử tâm của đường tròn là điểm $I(a;b)$.

Vì $IM = IN = IP$ nên $I{M^2} = I{N^2} = I{P^2}$. Suy ra

$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{{(2 - a)}^2} + {{(0 - b)}^2} = {{( - 2 - a)}^2} + {{(0 - b)}^2}}\\{{{( - 2 - a)}^2} + {{(0 - b)}^2} = {{(1 - a)}^2} + {{( - 1 - b)}^2}}\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{a^2} + {b^2} - 4a + 4 = {a^2} + {b^2} + 4a + 4}\\{{a^2} + {b^2} + 4a + 4 = {a^2} + {b^2} - 2a + 2b + 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{8a = 0}\\{6a - 2b + 2 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{a = 0}\\{b = 1.}\end{array}} \right.} \right.} \right.$

Bán kính đường tròn là: $R = IA = \sqrt {{{(2 - 0)}^2} + {{(0 - 1)}^2}} = \sqrt 5$.

Phương trình đường tròn là: ${x^2} + {(y - 1)^2} = 5$.

(C) có tâm $I(1; - 1)$ và bán kính $R = \sqrt {1 + 1 + 7} = 3$.

Ta có $:IA = \sqrt {{{(2 - 1)}^2} + {{( - 2 + 1)}^2}} = \sqrt 2 < R$ nên $A$ nằm bên trong đường tròn. $IB = \sqrt {{{( - 3 - 1)}^2} + {{( - 1 + 1)}^2}} = 4 > R$ nên $B$ nằm bên ngoài đường tròn.

Vì $M$ thuộc $\left( C \right)$ và $AM$ lớn nhất nên $A,I,M$ thẳng hàng ($I$ nằm giữa $A,M$) ta có: $AM = R + IA$.

$N$ thuộc $\left( C \right)$, $AN$ bé nhất nên $I,A,N$thẳng hàng ($A$ nằm giữa $I,N$), ta có $AN = R - IA$

Suy ra: $AM + AN = \left( {R + IA} \right) + \left( {R - IA} \right) = 2R = 6$.

Đặt $a = \frac{{4m}}{{ - 2}} = - 2m,b = \frac{{2(m + 1)}}{{ - 2}} = - (m + 1),c = - 1$.

Ta có: ${a^2} + {b^2} - c = 4{m^2} + {(m + 1)^2} + 1 > 0,\forall m \in \mathbb{R}$ nên $\left( {{C_m}} \right)$ luôn là đường tròn với mọi số thực $m$.

Bán kính đường tròn là:

$R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} = \sqrt {5{m^2} + 2m + 2} = \sqrt {5{{\left( {m + \frac{1}{5}} \right)}^2} + \frac{9}{5}} \ge \sqrt {\frac{9}{5}} .$

Vậy bán kính nhỏ nhất của đườn tròn ${R_{\min }} = \sqrt {\frac{9}{5}}$; khi đó $m = - \frac{1}{5}$.