Đề kiểm tra Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ lớp 10 (có lời giải) - Đề 1

Ta có:

${x^2} + {y^2} - 4x + 2y + 7 = 0$ có ${a^2} + {b^2} - c = - 2 < 0$.

${x^2} + {y^2} - x + y + 4 = 0$ có ${a^2} + {b^2} - c = - \frac{7}{2} < 0$.

${x^2} + {y^2} - 6x + y + 11 = 0$ có ${a^2} + {b^2} - c = - \frac{3}{2} < 0$.

${x^2} + {y^2} - 4x + 2y - 5 = 0$ có ${a^2} + {b^2} - c = 10 > 0$.

Vậy phương trình ${x^2} + {y^2} - 4x + 2y - 5 = 0$ là phương trình đường tròn.

Phương trình của đường tròn tâm $I\left( { - 3;4} \right)$, có bán kính $R = 2$là:

${\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 4$$\Leftrightarrow {\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} - 4 = 0$.

Đường tròn $\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 4x - 6y - 3 = 0$ có $a = - 2;\,b = 3;\,c = - 3$.

Ta có: ${a^2} + {b^2} - c = {\left( { - 2} \right)^2} + {3^2} - \left( { - 3} \right) = 16$.

Do đó đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( { - 2;3} \right)$ và bán kính $R = \sqrt {16} = 4$.

Tâm $I$ nằm trên trục hoành $\Rightarrow I\left( {a\,;\,0} \right) \Rightarrow$ phương trình tổng quát của đường tròn là:

$\left( C \right):\,{x^2} + {y^2} - 2ax + c = 0$.

Ta có: $A\left( {2\,;\,3} \right)\,,\,B\left( { - 2\,;\,1} \right) \in \left( C \right)$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 + 9 - 4a + c = 0\\4 + 1 + 4a + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\c = - 9\end{array} \right.$.

Vậy $\left( C \right):\,{x^2} + {y^2} - 2x - 9 = 0$.

Phương trình đường tròn có tâm $I\left( {1;2} \right)$ và bán kính $R = 5$ là ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = {5^2}$

$\Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 + {y^2} - 4y + 4 = 25$$\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 20 = 0$.

Tọa độ giao điểm của $\Delta$ và $\left( C \right)$ là nghiệm của hệ phương trình sau :

$\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 3 = 0\\{x^2} + {y^2} - 2x - 4y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2y - 3\\{\left( {2y - 3} \right)^2} + {y^2} - 2\left( {2y - 3} \right) - 4y = 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^2} - 4y + 3 = 0\\x = 2y - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\x = - 1\end{array} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l}y = 3\\x = 3\end{array} \right.$

Vậy tọa độ giao điểm là $\left( {3\,;\,3} \right)$ và $\left( { - 1\,;\,1} \right)$.

Đường tròn tâm $I\left( {0;0} \right)$, bán kính $R = 1$.

Ta có :

$d\left( {I,\left( d \right)} \right) = 1$$= R$ $\Rightarrow$ Vậy đường tròn $\left( C \right)$ tiếp xúc đường thẳng $\left( d \right)$ tại 1 điểm.

a) Đúng

b) Sai

c) Sai

d) Đúng

a) ${(x + 2)^2} + {(y + 5)^2} = 64$

b) ${(x + 1)^2} + {(y - 3)^2} = 20$.

c) ${(x + 3)^2} + {(y - 2)^2} = 2$.

d) ${(x + 4)^2} + {(y + 9)^2} = 130$.

a) Sai

b) Đúng

c) Đúng

d) Đúng

Gọi tâm đường tròn là $I(3t + 11;t) \in \Delta$. Ta có: $IA = IB \Leftrightarrow I{A^2} = I{B^2}$

$\Leftrightarrow {(3t + 11 - 2)^2} + {(t - 3)^2} = {(3t + 11 + 1)^2} + {(t - 1)^2} \Leftrightarrow 22t = - 55 \Leftrightarrow t = - \frac{5}{2}.$

Suy ra $I\left( {\frac{7}{2}; - \frac{5}{2}} \right)$; bán kính đường tròn $R = IA = \sqrt {{{\left( {2 - \frac{7}{2}} \right)}^2} + {{\left( {3 + \frac{5}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{65}}{2}}$.

Phương trình đường tròn $(C):{\left( {x - \frac{7}{2}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{5}{2}} \right)^2} = \frac{{65}}{2}$.

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Sai

Đường tròn $(C)$ có tâm $I(3; - 1)$ bán kính $R = \sqrt {9 + 1 - 6} = 2$.

-Ta có: $IA = 2 = R,IB = 2\sqrt 5 > R$ suy ra điểm $A$ thuộc đường tròn và điểm $B$ nằm ngoài đường tròn.

-Tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm $A$ nhận $\overrightarrow {AI} = (2;0)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là $2(x - 1) + 0(y + 1) = 0$ hay $x = 1$.

-Phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua $B$ có dạng: $a(x - 1) + b(y - 3) = 0$ (với ${a^2} + {b^2} \ne 0$ ) hay $ax + by - a - 3b = 0$.

Đường thẳng $\Delta$ là tiếp tuyến của đường tròn $\Leftrightarrow d(I,\Delta ) = R$ $\Leftrightarrow \frac{{|3a - b - a - 3b|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 2 \Leftrightarrow {(a - 2b)^2} = {a^2} + {b^2} \Leftrightarrow 3{b^2} - 4ab = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{b = 0}\\{3b = 4a}\end{array}} \right.$.

- Với $b = 0$, chọn $a = 1$; phương trình tiếp tuyến là $x = 1$.

- Với $3b = 4a$, chọn $a = 3 \Rightarrow b = 4$; phương trình tiếp tuyến là $3x + 4y - 15 = 0$.

Vậy qua $B$ kẻ được hai tiếp tuyến với $(C)$ có phương trình là: $x = 1$; $3x + 4y - 15 = 0$.

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Sai

(C) có tâm $I(1;0)$, bán kính $R = \sqrt {10}$.

Tuyến tuyến qua $A(4;1)$, có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {IA} = (3;1)$ nên có phương trình: $3(x - 4) + 1(y - 1) = 0$ hay $3x + y - 13 = 0$.

Ta có: $R = d(I;d) = \frac{{|3.5 - 4.6 - 6|}}{{\sqrt {{3^2} + {{( - 4)}^2}} }} = 3$.

Phương trình đường tròn cần tìm là ${(x - 5)^2} + {(y - 6)^2} = 9$.

Đáp án: $\left( {{C_1}} \right):{(x - 2 + \sqrt 2 )^2} + {(y - 2 + \sqrt 2 )^2} = {(2 - \sqrt 2 )^2}$ $\left( {{C_2}} \right):{(x - 2 - \sqrt 2 )^2} + {(y - 2 - \sqrt 2 )^2} = {(2 + \sqrt 2 )^2}$

Phương trình đường tròn $(C)$ tâm $I(a;b)$ bán kính $R$ có dạng: ${(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}$. Do $(C)$ tiếp xúc $Ox,Oy \Leftrightarrow R = |a| = |b|$.

$+$ Trường hợp 1: Nếu $a = b$

$(C):{(x - a)^2} + {(y - a)^2} = {a^2}$. Do $(C)$ qua $A(1;1)$ suy ra

${(1 - a)^2} + {(1 - a)^2} = {a^2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{a = 2 - \sqrt 2 }\\{a = 2 + \sqrt 2 }\end{array}} \right.$. Vậy có 2 đường tròn:

$\left( {{C_1}} \right):{(x - 2 + \sqrt 2 )^2} + {(y - 2 + \sqrt 2 )^2} = {(2 - \sqrt 2 )^2}$

$\left( {{C_2}} \right):{(x - 2 - \sqrt 2 )^2} + {(y - 2 - \sqrt 2 )^2} = {(2 + \sqrt 2 )^2}$

+ Trường hợp 2: Nếu $a = - b$

(C): ${(x - a)^2} + {(y + a)^2} = {a^2}$. Do $(C)$ qua $A(1;1)$ suy ra

${(1 - a)^2} + {(1 + a)^2} = {a^2}$ (vô nghiệm)

Đáp án: ${(x - 2)^2} + {(y - 7)^2} = 49$ hoặc ${(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} = 1$

Đường tròn $(C)$ tiếp xúc với trục $Ox$ tại $A$ nên ta có $I(2;b)$ và $d(I,Ox) = |b| = R$.

Mặt khác, $IB = 5 \Leftrightarrow I{B^2} = 25 \Leftrightarrow {(6 - 2)^2} + {(4 - b)^2} = 25 \Leftrightarrow b = 7$ hoặc $b = 1$.

- $b = 7 \Rightarrow I(2;7),R = 7$. Phương trình đường tròn $(C)$ là: ${(x - 2)^2} + {(y - 7)^2} = 49$.

- $b = 1 \Rightarrow I(2;1),R = 1$. Phương trình đường tròn $(C)$ là: ${(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} = 1$.

Gọi $H$ là hình chiếu của $B$ lên $d:3x + 4y + 8 = 0$. Khi đó khoảng cách từ điểm

$B$ đến đường thẳng $d$ là $BH = \frac{{|3 \cdot 1 + 4 \cdot 1 + 8|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 3$.

$H$ là trung điểm của $MN$ nên $HM = 4$. Suy ra bán kính đường tròn $(C)$ là: $R = \sqrt {B{H^2} + H{M^2}} = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5.$

Vậy phương trình đường tròn $(C)$ là: ${(x - 1)^2} + {(y - 1)^2} = 25$.

Vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến là: $\overrightarrow {OM} = (8;6)$.

Phương trình của tiếp tuyến là: $8(x - 8) + 6(y - 6) = 0 \Leftrightarrow 4x + 3y - 50 = 0$.