Đề kiểm tra Đường tiệm cận của đồ thị hàm số lớp 12 (có lời giải) - Đề 5

Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{16}}{5}} \right\}$. Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{x - 3}}{{5x - 16}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{1 - \frac{3}{x}}}{{5 - \frac{{16}}{x}}} = \frac{1}{5}$.

Vậy đường thẳng$y = \frac{1}{5}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{1}{2}} \right\}$.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ + }} \frac{{x + 1}}{{2x - 1}} = + \infty$ ; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ - }} \frac{{x + 1}}{{2x - 1}} = - \infty$.

Vậy đường thẳng$x = \frac{1}{2}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{2{x^2} - 3x - 1}}{{x - 2}} = + \infty$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{2{x^2} - 3x - 1}}{{x - 2}} = - \infty$ nên $x = 2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Chọn B.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {2x - 1 + \frac{1}{{2x - 1}} - (2x - 1)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{1}{{2x - 1}} = 0$ nên đường thẳng $y = 2x - 1$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

Chọn D.

Ta có: $y = \frac{{2{x^2} - 3x - 2}}{{{x^2} - 4}} = \frac{{(x - 2).\left( {2x + 1} \right)}}{{\left( {x - 2} \right).\left( {x + 2} \right)}}$ $= \frac{{2x + 1}}{{x + 2}}$

Do $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2{x^2} - 3x - 2}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{(x - 2).\left( {2x + 1} \right)}}{{\left( {x - 2} \right).\left( {x + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2x + 1}}{{x + 2}} = 2$ nên tiệm cận ngang của đồ thi hàm số là đường thẳng $y = 2$.

Do $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{2{x^2} - 3x - 2}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{(x - 2).\left( {2x + 1} \right)}}{{\left( {x - 2} \right).\left( {x + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{2x + 1}}{{x + 2}} = - \infty$ và

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{2{x^2} - 3x - 2}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{(x - 2).\left( {2x + 1} \right)}}{{\left( {x - 2} \right).\left( {x + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{2x + 1}}{{x + 2}} = - \infty$ nên tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng $x = - 2$. Vậy đồ thị hàm số có hai tiệm cận.

a) Đúng

b) Sai

c) Sai

d) Đúng

a) Đồ thị $\left( C \right)$ có đường tiệm cận đứng $x = 2$. Vậy câu a) đúng.

b) Đồ thị $\left( C \right)$ nhận giao điểm $2$ đường tiệm cận là $x = 2$ và $y = 1$ là tâm đối xứng. Dẫn đến $I\left( {2;1} \right)$là tâm đối xứng của đồ thị $\left( C \right)$. Vậy câu b) sai.

c) Phương trình hoành độ giao điểm $\frac{{x + 2}}{{x - 2}} = x - 1\,\,\left( {x \ne 2} \right) \Leftrightarrow x + 2 = \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)$ $\Leftrightarrow {x^2} - 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = - 1\\x = 4 \Rightarrow y = 3\end{array} \right.$. Từ đó, $A\left( {0; - 1} \right),\,\,\,B\left( {4;3} \right).$ Dẫn đến $AB = \sqrt {{4^2} + {4^2}} = 4\sqrt 2 .$ Vậy câu c) sai.

d) Ta có $M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right) \Rightarrow M\left( {{x_0};1 + \frac{4}{{{x_0} - 2}}} \right)$

Khoảng cách từ $M$ đến tiệm cận đứng: ${d_1} = \left| {{x_0} - 2} \right|$.

Khoảng cách từ $M$ đến tiệm cận ngang: ${d_2} = \left| {{y_0} - 1} \right| = \left| {1 + \frac{4}{{{x_0} - 2}} - 1} \right| = \frac{4}{{\left| {{x_0} - 2} \right|}}$.

$${d_1} + {d_2} = \left| {{x_0} - 2} \right| + \frac{4}{{\left| {{x_0} - 2} \right|}} \ge 2\sqrt {\left| {{x_0} - 2} \right|.\frac{4}{{\left| {{x_0} - 2} \right|}}}$$

$\Rightarrow min\left( {{d_1} + {d_2}} \right) = 4$$\Leftrightarrow \left| {{x_0} - 2} \right| = \frac{4}{{\left| {{x_0} - 2} \right|}}$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 4 \Rightarrow {y_0} = 3\\{x_0} = 0 \Rightarrow {y_0} = - 1\end{array} \right.$. Vậy câu d) đúng.

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Sai

a) Đồ thị $\left( C \right)$ có đường tiệm cận đứng là $x = 1.$ Vậy câu a) đúng.

b) Ta có $y = \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{x - 1}} \Leftrightarrow y = x + 3 + \frac{2}{{x - 1}}.$ Suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {\left( {x + 3 + \frac{2}{{x - 1}}} \right) - \left( {x + 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{2}{{x - 1}} = 0$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\left( {x + 3 + \frac{2}{{x - 1}}} \right) - \left( {x + 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{2}{{x - 1}} = 0$. Dẫn đến $y = x + 3$ là tiệm cận xiên của đồ thị $\left( C \right)$. Vậy câu b) sai.

c) $M\left( {x;y} \right) \in \left( C \right):y = x + 3 + \frac{2}{{x - 1}}$ có tọa độ nguyên khi $\left\{ \begin{array}{l}x \in \mathbb{Z}\\y \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in \mathbb{Z}\\2 \vdots \left( {x - 1} \right)\end{array} \right.$. Từ đó

$\left[ \begin{array}{l}x - 1 = 2\\x - 1 = - 2\\x - 1 = 1\\x - 1 = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3;\,\,y = 7\,\\x = - 1;\,\,y = 1\\x = 2;\,\,y = 7\\x = 0;\,\,y = 1\end{array} \right..$ Dẫn đến đồ thị $\left( C \right)$ có đúng 4 điểm có tọa độ nguyên. Vậy câu c) đúng.

d) Phương trình hoành độ $mx - m = \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{x - 1}}\,\,\,\left( {x \ne 1} \right) \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + m + 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt khác $1.$

$\left\{ \begin{array}{l}m - 1 \ne 0\\{\Delta ^/} = {\left( {m + 1} \right)^2} - \left( {m - 1} \right)\left( {m + 1} \right) > 0\\m - 1 - 2\left( {m + 1} \right) + 1 + m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\m > - 1\\m \in \mathbb{R}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\m > - 1\end{array} \right..$

Gọi $A\left( {{x_1};m{x_1} - m} \right),\,\,\,B\left( {{x_2};m{x_2} - m} \right)$

Ta có $\overrightarrow {CA} = \left( {{x_1} + 2;m{x_1} - m} \right),\,\,\,\overrightarrow {CB} = \left( {{x_2} + 2;m{x_2} - m} \right)\,$. Do tam giác $ABC$ vuông tại $C$ nên $\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} = 0 \Leftrightarrow \left( {{x_1} + 2} \right).\left( {{x_2} + 2} \right) + \left( {m{x_1} - m} \right).\left( {m{x_2} - m} \right) = 0$$\Leftrightarrow {x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4 + {m^2}\left[ {{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1} \right] = 0$$\Leftrightarrow \frac{{m + 1}}{{m - 1}} + 4.\frac{{m + 1}}{{m - 1}} + 4 + {m^2}\left( {\frac{{m + 1}}{{m - 1}} - 2.\frac{{m + 1}}{{m - 1}} + 1} \right) = 0$

$\Leftrightarrow - 2{m^2} + 9m + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m_1} = \frac{{9 + \sqrt {89} }}{4}\,\left( n \right)\\{m_2} = \frac{{9 - \sqrt {89} }}{4}\,\left( n \right)\end{array} \right..$ Suy ra ${m_1} + {m_2} = \frac{9}{2}.$ Vậy câu d) sai.

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Sai

a) $y = \frac{{x + 1}}{{{x^2} - 2x + 6}}$.

TXĐ: $D = \mathbb{R}$.

${y^/} = \frac{{{x^2} - 2x + 6 - \left( {2x - 2} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} - 2x + 6} \right)}^2}}} \Leftrightarrow {y^/} = \frac{{ - {x^2} - 2x + 8}}{{{{\left( {{x^2} - 2x + 6} \right)}^2}}}.$

Suy ra ${y^/} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 4\\x = 2\end{array} \right..$ Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { - 4;2} \right)$. Vậy câu a) đúng.

b) Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đạt cực đại tại $x = 2$. Vậy câu b) sai.

c) ${y^/} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 4;\,y = \frac{{ - 1}}{{10}}\\x = 2;\,\,y = \frac{1}{2}\end{array} \right.$.

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị $A\left( { - 4;\,\frac{{ - 1}}{{10}}} \right)$ và $B\left( {2;\,\frac{1}{2}} \right)$ là $\left( \Delta \right):x - 10y + 3 = 0.$ Theo giả thiết, do $d \bot \Delta$ nên $1.\left( {2m + 3} \right) - 10.m = 0 \Leftrightarrow m = \frac{3}{8}.$ Vậy câu c) đúng.

d) Đặt $t = \cos x - \sqrt 3 \sin x + 1 \Leftrightarrow t = 2\left( {\frac{1}{2}.\cos x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x} \right) + 1 \Leftrightarrow t = 2\cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) + 1$; $t \in \left[ { - 1;3} \right].$Ta có $g\left( t \right) = f\left( t \right) + {m^2} = \frac{{t + 1}}{{{t^2} - 2t + 6}} + {m^2},\,\,\,t \in \left[ { - 1;3} \right] \Rightarrow {g^/}\left( t \right) = \frac{{ - {t^2} - 2t + 8}}{{{{\left( {{t^2} - 2t + 6} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 4\,\left( l \right)\\t = 2\,\left( n \right)\end{array} \right..$ Ta tính được $g\left( { - 1} \right) = {m^2},\,\,\,g\left( 2 \right) = \frac{1}{2} + {m^2},\,\,f\left( 3 \right) = \frac{4}{9} + {m^2}.$ Do đó $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} f\left( t \right) = {m^2} + \frac{1}{2}.$ Theo giả thiết, ${m^2} + \frac{1}{2} > 5 \Leftrightarrow {m^2} > \frac{9}{2} \Leftrightarrow m \in \left( { - \infty ; - \frac{{3\sqrt 2 }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{3\sqrt 2 }}{2}; + \infty } \right).$ Kết hợp với $m$ là số nguyên và $m \in \left[ { - 2;2028} \right]$ ta suy ra có $2026$ giá trị $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán. Vậy câu d) sai.

a) Sai

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

a) Đồ thị $\left( C \right)$ có $2$ đường tiệm cận đứng và $x = - 1$ và $x = - 5$. Vậy câu a) sai.

b) Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {\frac{{{x^2} - 6x + 5}}{{{x^2} + 6x + 5}} - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - {x^3} - 5{x^2} - 11x + 5}}{{{x^2} + 6x + 5}} = + \infty$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac{{{x^2} - 6x + 5}}{{{x^2} + 6x + 5}} - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - {x^3} - 5{x^2} - 11x + 5}}{{{x^2} + 6x + 5}} = - \infty$. Dẫn đến $y = x$ không là tiệm cận xiên của đồ thị $\left( C \right)$.Vậy câu b) sai.

c) Đặt $t = 6 - 4{\sin ^2}x \Rightarrow 2 \le t \le 6.$ Từ đó $y = \frac{{{t^2} - 6t + 5}}{{{t^2} + 6t + 5}}$, với $t \in \left[ {2;6} \right].$

Ta có ${y^/} = \frac{{12{t^2} - 60}}{{{{\left( {{t^2} + 6t + 5} \right)}^2}}}.$ Xét ${y^/} = 0 \Leftrightarrow 12{t^2} - 60 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - \sqrt 5 \,\,\left( l \right)\\t = \sqrt 5 \,\,\,\,\left( n \right)\end{array} \right.$

$y\left( 2 \right) = \frac{{ - 1}}{7},y\left( {\sqrt 5 } \right) = \frac{{3\sqrt 5 - 7}}{2},y\left( 6 \right) = \frac{5}{{77}}.$ Suy ra $M = \frac{5}{{77}};\,\,\,\,m = \frac{{3\sqrt 5 - 7}}{2}$ hay $77M + 2m = 3\sqrt 5 - 2.$ Vậy câu c) đúng.

d) $h\left( x \right) = g\left( {\frac{{{x^2} - 6x + 5}}{{{x^2} + 6x + 5}}} \right) \Rightarrow {h^/}\left( x \right) = \frac{{12{x^2} - 60}}{{{{\left( {{x^2} + 6x + 5} \right)}^2}}}.{g^/}\left( {\frac{{{x^2} - 6x + 5}}{{{x^2} + 6x + 5}}} \right)$

Xét ${h^/}\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{12{x^2} - 60}}{{{{\left( {{x^2} + 6x + 5} \right)}^2}}} = 0\left( 1 \right)\\{g^/}\left( {\frac{{{x^2} - 6x + 5}}{{{x^2} + 6x + 5}}} \right) = 0\left( 2 \right)\end{array} \right.$

$$\left( 1 \right) \Leftrightarrow 12{x^2} - 60 = 0 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 5 .$$

Dựa vào đồ thị của hàm số $y = {g^/}\left( x \right)$ ta có $\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 6x + 5}}{{{x^2} + 6x + 5}} = - 1\,\,\,\left( 3 \right)\\\frac{{{x^2} - 6x + 5}}{{{x^2} + 6x + 5}} = 1\,\,\,\left( 4 \right)\\\frac{{{x^2} - 6x + 5}}{{{x^2} + 6x + 5}} = 4\,\,\,\left( 5 \right)\end{array} \right.$

Giải $\left( 3 \right)$: $\frac{{{x^2} - 6x + 5}}{{{x^2} + 6x + 5}} = - 1 \Rightarrow {x^2} - 6x + 5 = - {x^2} - 6x - 5 \Leftrightarrow 2{x^2} + 10 = 0$ (vô nghiệm)

Giải $\left( 4 \right)$: $\frac{{{x^2} - 6x + 5}}{{{x^2} + 6x + 5}} = 1 \Rightarrow {x^2} - 6x + 5 = {x^2} + 6x + 5 \Leftrightarrow x = 0\,\left( n \right)$.

Giải $\left( 5 \right)$: $\frac{{{x^2} - 6x + 5}}{{{x^2} + 6x + 5}} = 4 \Rightarrow {x^2} - 6x + 5 = 4{x^2} + 24x + 20 \Leftrightarrow 3{x^2} + 30x + 15 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 5 + 2\sqrt 5 \,\,\left( n \right)\\x = - 5 - 2\sqrt 5 \,\,\left( n \right)\end{array} \right.$

Dẫn đến hàm số $y = h\left( x \right)$ có $5$ điểm cực trị. Vậy câu d) đúng.

Xét phương trình $f\left( x \right) - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\,\left( {b2} \right)\\x = - 2\left( {b2} \right)\end{array} \right.$.

Do $f\left( x \right)$ là hàm số bậc bốn có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = - \infty$ nên $f\left( x \right) - 1 = a{\left( {x + 2} \right)^2}{\left( {x - 2} \right)^2}\;(a < 0)$.

Khi đó, $g\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{a{{\left( {x + 2} \right)}^2}{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{1}{{a\left( {x + 2} \right)}}$.

Do$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{a\left( {x + 2} \right)}} = 0$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{a\left( {x + 2} \right)}} = 0$, nên $y = 0\;$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số$g(x)$có 1 đường tiệm cận ngang.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } S\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } 200\left( {\frac{2}{3} - \frac{8}{{2 + t}}} \right) = 200.\frac{2}{3} = \frac{{400}}{3}$ $\Rightarrow a = 400\,;\,b = 3$

Vậy $P = a - 2b = 400 - 6 = 394$

Xét tử: $\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {{x^2} + 2x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\left( {b1} \right)\\x = 2\left( {b1} \right)\\x = - 2\left( {b2} \right)\end{array} \right.$.$\left( * \right)$

Xét mẫu: ${\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} + 2f\left( x \right) - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = 1\\f\left( x \right) = - 3\end{array} \right.$.

Với $f\left( x \right) = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\,\left( {b2} \right)\\x = a < - 2\left( {b1} \right)\\x = b > 2\left( {b1} \right)\end{array} \right.$.

Với $f\left( x \right) = - 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\,\,\,\left( {b2} \right)\\x = - 2\left( {b2} \right)\end{array} \right.$.

$\Rightarrow {\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} + 2f\left( x \right) - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\,\left( {b2} \right)\\x = a < - 2\left( {b1} \right)\\x = b > 2\left( {b1} \right)\\x = 2\,\left( {b2} \right)\\x = - 2\left( {b2} \right)\end{array} \right.$

Kết hợp với $\left( * \right)$ suy ra: $x = 0\,;\,x = a\,;\,x = b$; $x = 2$là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy có 4 đường tiệm cận.

Do tấm tôn có diện tích bằng $4{m^2}$ nên $xy = 4 \Leftrightarrow y = \frac{4}{x}$

Thùng có chiều cao là 0,5m và các kích thước còn lại của thùng là: $x - 1$ và $y - 1$

Thể tích của thùng là $V\left( x \right) = 0{,}5.\left( {x - 1} \right)\left( {y - 1} \right) = \frac{1}{2}\left( {x - 1} \right)\left( {\frac{4}{x} - 1} \right) = \frac{1}{2}\frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {4 - x} \right)}}{x}$

Suy ra: $y = \frac{1}{{V\left( x \right)}} = \frac{{2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {4 - x} \right)}}$

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{1}{{V\left( x \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {4 - x} \right)}} = + \infty$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{1}{{V\left( x \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {4 - x} \right)}} = - \infty$$\Rightarrow$ đường thẳng $x = 1$là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{1}{{V\left( x \right)}}$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{1}{{V\left( x \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {4 - x} \right)}} = - \infty$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \frac{1}{{V\left( x \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \frac{{2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {4 - x} \right)}} = + \infty$$\Rightarrow$ đường thẳng $x = 4$là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{1}{{V\left( x \right)}}$

Vậy đồ thị hàm số $y = \frac{1}{{V\left( x \right)}}$ có 2 đường tiệm cận đứng.

Hàm số xác định và liên tục trên $D = \left( { - \infty ;0} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right)$

Ta có: $a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x - \sqrt {{x^2} - 3x} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {2 - \sqrt {1 - \frac{3}{x}} } \right) = 1$

$b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {f\left( x \right) - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x - \sqrt {{x^2} - 3x} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3x}}{{x + \sqrt {{x^2} - 3x} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{3}{{1 + \sqrt {1 - \frac{3}{x}} }} = \frac{3}{2}$

$\Rightarrow y = x + \frac{3}{2}$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số khi $x \to + \infty$

$a = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x - \sqrt {{x^2} - 3x} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2 + \sqrt {1 - \frac{3}{x}} } \right) = 3$ $b = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {f\left( x \right) - 3x} \right) = - \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {x + \sqrt {{x^2} - 3x} } \right) = - \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{3x}}{{x - \sqrt {{x^2} - 3x} }} = - \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{3}{{1 + \sqrt {1 - \frac{3}{x}} }} = - \frac{3}{2}$ $\Rightarrow y = 3x - \frac{3}{2}$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số khi $x \to - \infty$

Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận xiên.

Do thể tích của bể là $1{m^3}$ nên $0{,}5xy = 1 \Leftrightarrow xy = 2$

Diện tích toàn phần của bể là $S\left( x \right) = xy + 2.0{,}5.x + 2.0{,}5.y = 2 + x + \frac{2}{x},\,\,\,\,\left( {x > 0} \right)$

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {S\left( x \right) - \left( {x + 2} \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{2}{x} = 0$

Suy ra đồ thị hàm số $S\left( x \right)$có đường tiệm cận xiên là $y = x + 2$$\Rightarrow a = 1;\,b = 2$

$P = {a^2} + {b^2} = 5$