Đề kiểm tra Đường tiệm cận của đồ thị hàm số lớp 12 (có lời giải) - Đề 3

Tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}$.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \frac{{x - 2}}{{x + 1}} = - \infty .$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \frac{{x - 2}}{{x + 1}} = + \infty .$

Vậy đường thẳng $x = - 1$là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Vậy chọn đáp án A.

Tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x + 3}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2 + \frac{5}{{x - 1}}} \right) = 2,$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x + 3}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {2 + \frac{5}{{x - 1}}} \right) = 2.$

Vậy đường thẳng $y = 2$là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

Vậy chọn đáp án B.

Từ đồ thị hàm số ta có:

+) Tập xác định $D = \mathbb{R}$ nên đáp án A, C bị loại.

+) Tiệm cận ngang $y = 2$nên đáp án B bị loại.

Vì: $\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {e^x} = + \infty .\\\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {e^x} = 0.\end{array} \right. \Rightarrow y = 0$là TCN của đồ thị hàm số $y = {e^x}$.

+) Đồ thị hàm số $y = \frac{{2{x^2} - 2}}{{{x^2} + 2}}$ có đường tiệm cận ngang $y = 2$vì

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2{x^2} - 2}}{{{x^2} + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {2 - \frac{6}{{{x^2} + 2}}} \right) = 2.\\\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2{x^2} - 2}}{{{x^2} + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2 - \frac{6}{{{x^2} + 2}}} \right) = 2.\end{array}$

Vậy chọn đáp án D.

Từ đồ thị hàm số ta có:

+) Tập xác định $D = \mathbb{R}$ nên đáp án A, B, D bị loại.

+) Đồ thị hàm số $y = \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{{x^2} + 1}}$ có đường tiệm cận ngang $y = 1$ vì

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{{x^2} + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {1 + \frac{{2x - 2}}{{{x^2} + 1}}} \right) = 1.\\\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{{x^2} + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {1 + \frac{{2x - 2}}{{{x^2} + 1}}} \right) = 1.\end{array}$

Tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}$.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = - 5 \Rightarrow y = - 5$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

Ta có $x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = - 2$.

Đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận $\Leftrightarrow m( - 2) - 8 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne - 4$.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x - 1}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2 - \frac{1}{x}}}{{1 + \frac{2}{x}}} = 2$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x - 1}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2 - \frac{1}{x}}}{{1 + \frac{2}{x}}} = 2$ nên đường thẳng $y = 2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{2x - 1}}{{x + 2}} = - \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} y = + \infty \Rightarrow$ đường thẳng $x = - 2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận.

Dựa vào đồ thị hàm số, ta suy ra

- Phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số: $x = 1$.

- Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số: $y = 1$.

TXĐ: $D = R\;\backslash {\mkern 1mu} \{ 1\}$

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x + 3}}{{2x - 2}} = + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{x + 3}}{{2x - 2}} = - \infty$

Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x = 1$.

TXĐ: $D = R\;\backslash {\mkern 1mu} \{ - 2\}$ . Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1 = - {2^ + }} \frac{{2x + 5}}{{2x + 4}} = + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{2x + 5}}{{2x + 4}} = - \infty$

Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x = - 2$.

a) Đúng

Có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = + \infty$. Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x = 2$

b) Sai

Có $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } f(x) = - 1$. Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y = - 1$

c) Đúng

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x = 2$ và tiệm cận ngang $y = - 1$. Vậy tổng số đường tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho là $2$.

d) Sai

Hàm số đồng biến trên hai khoảng $( - \infty ;2)$ và $(2; + \infty )$.

a) Sai

Có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = 4;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = 2$. Vậy đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng.

b) Đúng

Có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = 6;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = - \infty$. Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y = 6$

c) Sai

Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang $y = 6$. Vậy tổng số đường tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho là $1$.

d) Sai

Có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{f(x) + 2}} = \frac{1}{8};\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{f(x) + 2}} = 0$.

Vậy đồ thị hàm số $y = \frac{1}{{f(x) + 2}}$ có hai đường tiệm cận ngang là $y = \frac{1}{8}$ và $y = 0$.

Xét hàm số $y = f\left( x \right)$.Từ bảng biến thiên ta có:

+) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = + \infty$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 10$. Đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ có một tiệm cận ngang là đường thẳng $y = 10$.

+) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f\left( x \right) = - 3$,$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f\left( x \right) = + \infty$. Đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ có tiệm cận đứng là đường thẳng $x = - 2$.

+) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = + \infty$,$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = - \infty$. Đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$có tiệm cận đứng là đường thẳng $x = 2$.

Từ đó: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng.

Xét hàm số$y = \frac{1}{{2f\left( x \right) + 6}}$.Đặt $g\left( x \right) = \frac{1}{{2f\left( x \right) + 6}}$, ta có hàm số xác định trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ { \pm 2;a} \right\}$, trong đó $f\left( a \right) = - 3$ và $a \in \left( {2; + \infty } \right)$. Khi đó ta có

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } g\left( x \right) = \frac{1}{{2\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) + 6}} = 0$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g\left( x \right) = \frac{1}{{2\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) + 6}} = \frac{1}{{26}}$ nên $y = 0$ và $y = \frac{1}{{26}}$ là hai đường tiệm cận ngang.

Mặt khác ta có

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} g\left( x \right) = \frac{1}{{2\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} f\left( x \right) + 6}} = + \infty \Rightarrow x = - 2$ là tiệm cận đứng;

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ \pm }} g\left( x \right) = \frac{1}{{2\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ \pm }} f\left( x \right) + 6}} = 0 \Rightarrow x = 2$ không là tiệm cận đứng;

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} g\left( x \right) = \frac{1}{{2\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) + 6}} = + \infty \Rightarrow x = a$ là tiệm cận đứng;

Vậy đồ thị hàm số $y = \frac{1}{{2f\left( x \right) + 6}}$ có $4$ đường tiệm cận.

Từ đó: d) Đúng.

+) Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + {m^2} - 3}} = 0$ nên đồ thị hàm số luôn có 1 tiệm cận ngang là $y = 0$với mọi $m$

Từ đó: a) Sai; b) Đúng.

+) Với $m = - 1$ thì đồ thị hàm số $y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} + x - 2}}$.

Xét ${x^2} + x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 2\end{array} \right.$. Vì $x = 1$cũng là nghiệm của tử thức nên đồ thị hàm số $y$ chỉ nhận $x = - 2$ là tiệm cận đứng. Nên mệnh đề c) Sai.

+) Đồ thị hàm số $y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + {m^2} - 3}}$ có 1 tiệm cận ngang là $y = 0$.

Đồ thị hàm số $y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + {m^2} - 3}}$ có đúng hai đường tiệm cận.

$\Leftrightarrow$ Đồ thị hàm số $y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + {m^2} - 3}}$ có đúng 1 tiệm cận đứng.

$\Leftrightarrow$Phương trình ${x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + {m^2} - 3 = 0$ có nghiệm kép hoặc phương trình ${x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + {m^2} - 3 = 0$ có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 1.

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{\Delta = 0}\\{\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{\Delta > 0}\\{1 - \left( {2m + 1} \right) + {m^2} - 3 = 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{{\left( {2m + 1} \right)}^2} - 4\left( {{m^2} - 3} \right) = 0}\\{\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{{\left( {2m + 1} \right)}^2} - 4\left( {{m^2} - 3} \right) > 0}\\{{m^2} - 2m - 3 = 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{m = - \frac{{13}}{4}}\\\begin{array}{l}m = 3\\m = - 1\end{array}\end{array}} \right.$.

Vậy có ba giá trị của m thỏa mãn yêu cầu đề bài. Nên mệnh đề d) Đúng.

Đồ thị hàm số $y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2} - 2}}$ có đúng hai đường tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình $f\left( x \right) = {x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2} - 2 = 0$ có đúng 2 nghiệm phân biệt khác 1$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\f\left( 1 \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 1} \right)^2} - \left( {{m^2} - 2} \right) > 0\\1 + 2\left( {m - 1} \right) + {m^2} - 2 \ne 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2m + 3 > 0\\{m^2} + 2m - 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \frac{3}{2}\\m \ne 1\\m \ne - 3\end{array} \right.$.

Do $\left\{ \begin{array}{l}m \in \mathbb{Z}\\m \in \left[ { - 2025;2025} \right]\end{array} \right.$ nên $m \in \left\{ { - 2025, - 2024..., - 4, - 2, - 1{,}0} \right\}$

Vậy có 2025 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán

Đáp án: 2025

Xét ${f^2}\left( x \right) - 4f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = 0\\f\left( x \right) = 4\end{array} \right.$.

- Xét $f\left( x \right) = 0$ có 2 nghiệm ${x_1} < - 1$ và ${x_2} = 1$ là nghiệm bội 2 (do đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ tiếp xúc với trục hoành tại $x = 1$). Trường hợp này đồ thị hàm số $g\left( x \right)$ có 2 đường tiệm cận đứng.

- Xét $f\left( x \right) = 4$ có 2 nghiệm ${x_3} > 1$ và ${x_4} = - 1$ là nghiệm bội 2 (do đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$tiếp xúc với đường thẳng $y = 4$ tại $x = - 1$). Trường hợp này đồ thị hàm số $g\left( x \right)$ có 2 đường tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số $y = g\left( x \right)$ có 4 tiệm cận đứng.

Đáp án: 4

Đồ thị hàm số $y = f\left( {\left| x \right|} \right)$ được vẽ từ đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ bằng cách giữ nguyên phần đồ thị bên phải trục $Oy$, phần đồ thị phía bên trái trục $Oy$ bỏ đi, rồi lấy đối xứng phần đồ thị phía bên phải sang qua $Oy$. Ta được đồ thị hàm số $y = f\left( {\left| x \right|} \right)$ như hình vẽ bên dưới.

Vậy đồ thị hàm số $y = f\left( {\left| x \right|} \right)$ có tổng số 3 đường tiệm cận

Đáp án: 3

Đồ thị hàm số $y = \left| {f\left( x \right)} \right|$ được vẽ từ đồ đi hàm số $y = f\left( x \right)$ bằng cách giữ nguyên phần đồ thị phía trên của trục $Ox$, phần đồ thị phía dưới trục$Ox$thì lấy đối xứng lên qua $Ox$, rồi bỏ phần đồ thị phía dưới $Ox$đi.

Ta có đồ thị hàm $y = \left| {f\left( x \right)} \right|$ như hình vẽ.

Suy ra đồ thị hàm số $y = \left| {f\left( x \right)} \right|$có hai đường tiệm cận ngang là $y = 1$ và $y = 2$.

Vậy $m + n = 2 + 1 = 3$.

Đáp án: 3

Trả lời: 2.

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{4 - {x^2}}} = - 1$ nên đường thẳng $y = - 1$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{4 - {x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {2 - x} \right)\left( {2 + x} \right)}} = - \frac{1}{4}$nên đường thẳng $x = 2$ không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{4 - {x^2}}} = + \infty$nên đường thẳng $x = - 2$là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận.

Trả lời: 3.

Dựa vào đồ thị hàm số ta có:

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } g\left( x \right) = \frac{2}{{3.\left( { - 1} \right) - 2}} = - \frac{2}{5}$$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g\left( x \right) = \frac{2}{{3.1 - 2}} = 2$

Suy ra đồ thị hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận ngang.

Xét phương trình $3f\left( x \right) - 2 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = \frac{2}{3}$

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: phương trình $f\left( x \right) = \frac{2}{3}$ có duy nhất một nghiệm.

Vậy hàm số có 3 đường tiệm cận.

Trả lời: 1.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)\sin x}}{{{x^3} - 4x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {\frac{{\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)}}{{{x^2} - 4}} \cdot \frac{{\sin x}}{x}} \right] = - \frac{1}{2}$

Lại có $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)\sin x}}{{{x^3} - 4x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {\frac{{\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)}}{{{x^2} - 4}} \cdot \frac{{\sin x}}{x}} \right] = - \frac{1}{2}$

$3$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)\sin x}}{{{x^3} - 4x}} = + \infty$ ; $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)\sin x}}{{{x^3} - 4x}} = - \infty$

Vậy đồ thị hàm số chỉ có $1$ tiệm cận đứng là $x = - 2$

Trả lời: 6.

Dựa vào bảng biến thiên, phương trình $3f(x) - 2 = 0$(hay $f(x) = \frac{2}{3}$) có 4 nghiệm ${x_1},{x_2},{x_3},{x_4}$thỏa ${x_1} \in \left( { - \infty ; - 1} \right)$, ${x_2} \in \left( { - 1;0} \right)$, ${x_3} \in \left( {0;1} \right)$, ${x_4} \in \left( {1; + \infty } \right)$. Suy ra đồ thị hàm số $y = \frac{2}{{3f(x) - 2}}$có 4 tiệm cận đứng là $x = {x_1}$, $x = {x_2}$, $x = {x_3}$, $x = {x_4}$.

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{2}{{3f(x) - 2}} = 0$nên $y = 0$là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{2}{{3f(x) - 2}}$.

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{2}{{3f(x) - 2}} = 2$nên $y = 2$là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{2}{{3f(x) - 2}}$.

Do đó đồ thị hàm số $y = \frac{2}{{3f(x) - 2}}$có 2 tiệm cận ngang là $y = 0$, $y = 2$.

Vậy tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{2}{{3f(x) - 2}}$là 6.